《信号分析与处理》备课教案(第二章)(2)

上次课回顾： 1介绍了“差分方程”经典解法的基本思路、规则和求解方法，总结了 具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。 2介绍了“冲激响应”和“单位样值响应”的基本概念和实质，对“单 位样值响应”的求解基本思路、规则和求解方法进行了详细说明，总结了 具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。 上次课“思考题”： 1在上次课例题中求系统的“零状态响应”时，能否用 作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系0)4(3y 数。 2在上次课例题中求系统的“冲激响应”时，求解 和 能否用1C2 和 作为初始条件来求解？能否用 作1)0(h0)( 0)(yh 为初始条件来求解？ 2.5.卷积积分 基本思想：在时域中，为便于求得线性时不变LTI连续时间系统的“零状 态响应”，可以考虑将任意信号分解为单元信号，如果每一个单元信号在 系统中产生的零状态响应易于求得，那么根据系统的“线性时不变”特性， 就可以利用叠加原理方便求得原信号在系统中产生的零状态响应，这就是 卷积积分方法的基本思想。 依据这一基本思想，一般可以将任意激励信号分解为冲击信号之和， 然后利用系统的冲击响应（就是冲击信号激励系统而产生的响应），就可 44 以方便地求得系统对任意信号的零状态响应。 一、信号的时域分解与卷积积分 1、信号的时域分解 问 ？)(1tf)(tP 由此可见，对于类似于 这样的矩形脉冲信号，只要它的宽度与)(1tf 信号的宽度相同，那么总有：)(tP)(tPA 在 的极限情况下， 变为 ， 变为 ，而 就变成0nd)(ntP ，原式也变为积分式：)()(tnt 信号分析与处理教案 第二章：单输入单输出系统的时域分析 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 45 dtfnttfn)( )()(limli00 上式表明，时域里任一函数 可以近似地分解为一系列矩形窄脉 冲之和，并且当上述矩形窄脉冲的脉宽趋于无限小时， 实质上已经)(tf 可认为是分解为一系列冲激函数之和，以积分形式进行描述表明，时域里 任一函数 就等于该函数与单位冲激函数的卷积。)(tf 2、任意信号作用下的零状态响应 3、卷积积分的定义 46 上式表明：对于一给定线性时不变连续时间系统，它的零状态响应 ，可以通过该系统的冲激响应 与激励信号 的卷积运算求得。)(tyf )(th)(tf 例 已知一线性时不变系统的冲击响应 ，系统的激励为单)()(tet 位阶跃信号 ，试求该系统的零状态响应 。)(tfyf 解： ，注意积分变量为 。dtethftytf )()()()( ) 因为， 时， ；而 时， ，因此积分限应为：0)(t0)(t ，故 为ttyf )(1( )()(0 00)()(tede dedtt tttf tt激励 响应 = ?)(t 信号分析与处理教案 第二章：单输入单输出系统的时域分析 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 47 二、卷积积分的图解法 卷积是一种数学运算，利用图解法可以使其运算关系形象直观，便于 理解。知道了两个卷积信号的图形，可以利用图解法直接求出其卷积值。 设有两函数 和 ，其图形分别如图(a),(b)所示。假设)(1tf2t 与 的卷积为 ,则有：)(1tf2tdtff )()(21 注意：t为参变量，积分变量为 。在进行 图解运算前首先将 和 变换为 和 ，它们与原始信号波)(1tf2t)(1f2f 形完全相同，只是横坐标变为 。 为求得任意 时刻的卷积值，图解方法的卷积过程可分解为如下六步：t （1）换元： 换为 得到 和 ，如图(a)。t)(1f2f （2）反褶：将 以纵轴为对称轴进行反褶 得到 ，如图(b)。)(2f )(2f 48 （3）平移：将 自左向右平移 得到 ，如图(c)。)(2ft)(2tf （4）相乘： 与 相乘。波形重叠有值，不重叠为零，如图(d)。1t （5）积分： 与 乘积曲线下的面积即为 时刻的卷积值，见)(f)2tf t 图(d)中的阴影部分。 （6）绘图：以 为横坐标，将与 对应的积分值绘成曲线，就是卷积积分tt 的图形，如图(e)所示。)()(21ftf 信号分析与处理教案 第二章：单输入单输出系统的时域分析 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 49 50 三、卷积积分的重要性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质(或运算规则)，灵活 地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的） 。 、卷积代数特性 、奇异函数的卷积特性 1 )()()(tfttf )000tf )()()()( 211221 tftttf 2 f 3 tdfdttf )()()( 、卷积的微积分特性 1 nnn dtfftfdttfdt )()()()( 21212 2 )()( 21 tdfffff 3 tdttttf )()()( 12)21 信号分析与处理教案 第二章：单输入单输出系统的时域分析 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 51 解：因为， tdfdftftftf )()()()( 21)2121 所以， )(tf)()(00)1(2 tetetedet 故， 21)(1()2 tft 总结：求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如 指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 要求：P40 例2-14、P42 例2-15 52 思考题： 1卷积积分用于时域分析的本质是什么？ 2到现在为止，求解线性时不变连续时间系统的“零状态响应”有几种 方法？它们分别在什么情况下使用？ 预习内容： P46“卷积和“，具体内容包括： 1“卷积和“的基本思想、