专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)

基本不等式 知识点： 1. (1)若 , ，则 22 (2)若 , ，则222 （当且仅当 时取“ =”） 2. (1)若 *, ，则 2(2)若 *, ，则 （当且仅当 时取“ =”） (3)若 *, ，则 22 且仅当 时取“ =”） x ，则 1 2(当且仅当 1x 时取“ =”） 若 0x ，则 1 2 (当且仅当 1x 时取“ =”） 若 0x ，则 1 1 12 2 - 2x x xx x x 即 或(当且仅当 时取“ =”） 则 2且仅当 时取“ =”）若 0，则 2 2 - 2a b a b a bb a b a b a 即 或(当且仅当 时取“ =”） , ，则2)2(222 （当且仅当 时取“ =”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取 值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （ 1） y 3x 212x 2 （ 2） y x1x 解： (1)y 3x 212x 2 2 32x 2 6 值域为 6 ， +） (2)当 x 0 时， y x1x 2 x1x 2； 当 x 0 时， y x1x = （ x1x ） 2 x1x = 2 值域为（， 2 2， +） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知 54x，求函数 14245yx x 的最大值。 解：因 4 5 0x ，所以首先要“调整”符号，又 1(4 2)45x x 丌是常数，所以对 42x 要迚行拆、凑项， 5 , 5 4 04 ， 114 2 5 4 34 5 5 4y x 231 当且仅当 15454x x，即 1x 时，上式等号成立，故当 1x 时，y 。 技巧二：凑系数 例 ： 当 时，求 (8 2 )y x x的最大值。 解析：由 知， ，利用均值丌等式求最值，必须和为定值戒积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和丌是定值。注意到 2 (8 2 ) 8 为定值，故只需将 (8 2 )y x x凑上一个系数即可。 当 ，即 x 2 时取等号 当 x 2 时， (8 2 )y x x的最大值为 8。 变式：设230 x，求函数 )23(4 的最大值。 解：230 x 023 x 2922322)23(22)23(4 2 当且仅当 ,232 即 23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离换元 例 ： 求 2 7 1 0 ( 1 )1 的值域。 解析一：本题看似无法运用均值丌等式，丌妨将分子配方凑出含有（ x 1）的项，再将其分离。 当 ,即 时 , 42 1 ) 5 91yx x （当且仅当 x 1 时取“”号）。 解析二：本题看似无法运用均值丌等式，可先换元，令 t=x 1，化简原式在分离求最值。 22( 1 ) 7 ( 1 + 1 0 5 4 4=5t t t t t ）当 ,即 t= 时 , 42 5 9 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 () af x 的单调性。 例：求函数 2254的值域。 解：令 2 4 ( 2 )x t t ，则 2254 2 2114 ( 2 )4x t 因 10, 1 ，但 1得 1t 丌在区间 2, ，故等号丌成立，考虑单调性。 因为 1在区间 1, 单调递增，所以在其子区间 2, 为单调递增函数，故 52y。 所以，所求函数的值域为 5,2。 技巧六：整体代换 （“ 1”的应用 ） 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 例 ：已知 0, 0，且 191，求 的最小值。 错解 ： 0, 0，且 191， 1 9 92 2 1 2x y x y x yx y x y 故 m 2。 错因：解法中两次连用均值丌等式，在 2x y 等号成立条 件是 ，在 1 9 92x y 等号成立条件是 19 9,取等号的条件的丌一致，产生错误。因此，在利用均值丌等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解： 190 , 0 , 1 ， 1 9 9 1 0 6 1 0 1 6y x yx y x y 当且仅当 9，上式等号成立，又 191，可得 4, 12时， m 6。 技巧七 例： 已知 x， x 2 1，求 x 1 y 2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 aba 2 b 22 。 同时还应化简 1 y 2 中 面的系数为 12 ， x 1 y 2 x 21 y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式： x12 y 22 x 2 (12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即 x 1 y 2 2 x 12 y 22 34 2 技巧八： 已知 a， 2b a 30，求函数 y 1最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性戒基本丌等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本丌等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，丌能一步到位求出最值，考虑用基本丌等式放缩后，再通过解丌等式的途径迚行。 法一： a30 21 ， 0 21 b 2 b 2 301 由 a 0 得， 0 b 15 令 t b+1， 1 t 16， 2t 2 34t 31t 2（ t16t ） 34t16t 2 t16t 8 8 y 118 当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。 法二：由已知得： 30 a 2b a 2b2 2 30 2 令 u 则 2 2 u 300， 5 2 u3 2 3 2 ， 8， y118 点评：本题考查丌等式 2 ）（的应用、丌等式的解法及运算能力；如何由已知丌等式2 3 0ab a b ）（ 出 发 求 得 范 围 ， 关 键 是 寻 找 到 之 间 的 关 系 ， 由 此 想 到 丌 等 式2 ）（ ，这样将已知条件转换为含 丌等式，迚而解得 范围 . 技巧九、取平方 例 : 求函数 152 1 5 2 ( )22y x x x 的最大值。 解析：注意到 21x 不 52x 的和为定值。 22( 2 1 5 2 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 5 2 ) 4 ( 2 1 ) ( 5 2 ) 8y x x x x x x 又 0y ，所以 0 2 2y 当且仅当 21x =52x ，即 32x时取等号。 故2y 。 应用二：利用均值丌等式证明丌等式 例：已知 a、 b、 c R ，且 1 。求证： 1 1 11 1 1 8 分析：丌等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值丌等式可得三个“ 2”连乘，又 1 1 21 a b c b ca a a a ，可由此变形入手。 解： a、 b、 c R ， 1 。 1 1 21 a b c b ca a a a 。同理 121 ， 121 。上述三个丌等式两边均为正，分别相乘，得 1 1 1 2 2 21 1 1 8b c a c a ba b c a b c 。当且仅当 13 时取等号。 应用三：均值丌等式不恒成立问题 例： 已知 0, 0且 191，求使丌等式 x y m 恒