高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题21 等差数列与等比数列1

专题21 等差数列与等比数列【标题01】忽略了等比数列定义中的关键词和式子中的隐含条件【习题01】下列各组数成等比数列的是。 ； ； ； ； A B C D【经典错解】观察计算得都是等比数列，故选择.【详细正解】数列显然是等比数列，对于数列，它不是等比数列，看起来，数列后面一项除以前面一项是一个常数，但是题目中并没有告诉我们，当时，显然不是等比数列，因为0不能作分母. 所以不是等比数列.对于选项，有的同学可能认为和一样，不是等比数列，因为题目中没有说明，题目虽然没有直接说明，但是它隐含地告诉我们了，因为，所以.故选择.【习题01针对训练】若、是等比数列中相邻的三项，则。 A或 B或 C D【标题02】没有弄清等比数列的首项导致代等比数列的通项出现错误【习题02】某工厂去年产值为，计划今后年内每一年比上一年增长，这年的最后一年产值为.A B C D【经典错解】由题得，故选择.【详细正解】由题得第一年的产值为，所以，故选择.【习题02针对训练】在小于的自然数中，所有被除余的数之和是多少？【标题03】没有弄清等比数列的各项的符号规律【习题03】在等比数列中，则。 A或 B C或 D【经典错解】由等比中项的性质得，所以选择.【详细正解】由等比中项的性质得，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以选择.【习题03针对训练】如果成等比数列，则. A B C D【标题04】忽略了凸多边形的定义导致多解【习题04】一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，那么. A B C D或【经典错解】由题得 故选择.【详细正解】由题得 当时，所以舍去.故选择.【深度剖析】（1）经典错解错在忽略了凸多边形的定义导致多解. （2）要想是凸多边形，则它的每一个内角必须小于.【习题04针对训练】一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，其它的内角依次增加，那么.【标题05】化简时忽略了等式的性质把方程两边同时除以了导致漏解【习题05】在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项，公差及前项和【经典错解】设该数列的公差为，前项和为，且为和的等比中项，所以解得， 前项和为【详细正解】设该数列的公差为，前项和为，且为和的等比中项，所以解得或 前项和为或【习题05针对训练】已知等差数列前三项的和为，前三项的积为（1）求等差数列的通项公式；（2）若数列单调递增，求数列的前项和【标题06】对项和公式理解不透彻【习题06】已知等差数列的首项，公差，且分别是等比数列的，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列对任意正整数均有成立，求的值.【经典错解】（1），且成等比数列，即， 又 （2） ，即，又 得 (后面利用等比数列的求和公式求和)【详细正解】（1），且成等比数列，即， 又 （2） ，即，又 得 ，则【习题06针对训练】各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【标题07】利用项和公式求数列通项时没有分类讨论【习题07】已知数列的前项和为，满足，则的通项公式为_【经典错解】由，得 【详细正解】由，得.时，. 时，当时不符合上式，【习题07针对训练】已知数列的首项，其前n项和为若，则 【标题08】利用等比数列的前项和公式时没有分类讨论【习题08】设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.【经典错解】，【详细正解】若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 ,即因为，所以所以解得 【习题08针对训练】已知等比数列中，,则等比数列的公比= .【标题09】对等比数列各项的特征没有掌握全面【习题09】是成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【经典错解】则a,x,b等比. 若成等比数列，则，所以不一定有,选.【详细正解】不一定等比， 如.若成等比数列，则，所以不一定有,选.【深度剖析】（1）经典错解错在对等比数列各项的特征没有掌握全面.（2）等比数列的各项都不能为零，公比也不能为零.这一点在解题时要注意.【习题09针对训练】设等比数列的公比为，前项和，求的取值范围.【标题10】对等差数列的项的符号特征分析不到位忽略了等号【习题10】等差数列中, ，,则该数列的前_项之和最大.【经典错解】由题得所以 令，所以数列的前项和最大.【详细正解】由题得所以 令，所以 ，所以数列的前或前项和最大.【习题10针对训练】设等差数列的前项和为，首项为，且，求：（1）求公差；（2）数列的通项公式；（3）求数列前多少项和最大，并求其最大值【标题11】审题“第九项开始为正”错误 【习题11】在等差数列中，从第项开始为正数，则公差的取值范围是 .【经典错解】设数列为公差为，由题意可得：；代入可得 解得故公差的取值范围为【详细正解】设数列为公差为，由题意可得：，；代入可得，解得，故公差的取值范围为.【深度剖析】（1）经典错解错在审题“第九项开始为正”错误.（2）从第项开始为正数，意思是“第项小于等于零，第项大于零”，错解只是理解为“第项是正数”，忽略了“开始”这个关键词.解题时，要认真审题，特别是一些关键词，注意等价转换.【习题11针对训练】在等差数列中，从第项开始比大，则公差的取值范围是 .【标题12】解题过程中忽略了的范围导致把数列的性质判断出错【习题12】等差数列的前n项和为，求.【经典错解】由题得，两式相减 所以数列是一个等比数列，所以【详细正解】由题得，两式相减 由题得所以数列不是一个等比数列，从第项起等比，所以【习题12针对训练】已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【标题13】没有理清和的关系直接代入出错【习题13】设为等差数列的前项和，且，.求的通项公式； 求的前项和.【经典错解】（1）由题得所以（2）令当时，当时，综上所述，【详细正解】（1）由题得所以（2）令当时，当时，综上所述，【点评】（1）经典错解错在没有理清和的关系直接代入出错. (2)数列的项是先负后正，所以，因为数列前5项加了绝对值后是正数了，而是5个负数相加，它们刚好是相反数. 所以结果是错误的. (3)如果数列的项是先正后负，则有，可以直接代第一种情况的结论.如果不能理解，就老老实实代好了.【习题13针对训练】已知等比数列中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.(1)求；(2)设,求数列的前项和.【标题14】忽略了数列是关于自然数的函数导致图像分析错误【习题14】若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（ ）A. 2012 B. 2013 C.2014 D.2015【经典错解】由题得所以当时，由于等差数列的前项和是关于的二次函数，所以二次函数的对称轴是由二次函数的图像得，所以使前项和成立的最大自然数是2013，故选B.【详细正解】由题得 由题得，由题得，所以使前项和成立的最大自然数是2014，故选C. 【习题14针对训练】若是等差数列,若，且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值是（ ）A. 23 B. 24 C.25 D.13高中数学经典错题深度剖析及针对训练第21讲：等差数列与等比数列参考答案【习题01针对训练答案】【习题01针对训练解析】由题得 所以.当时，所以舍去. 故选择.【习题02针对训练答案】【习题04针对训练答案】【习题04针对训练解析】由题得当时，所以舍去，所以填.【习题05针对训练答案】（1）或(2) 【习题05针对训练解析】（1）设等差数列的公差为，则，由题意得，解得或，所以由等差数列通项公式可得，或故或（2）由数列单调递增得数列的前项和 【习题06针对训练答案】(1)(2) 【习题06针对训练解析】（1）由 得 ，得 即： 由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 【习题07针对训练答案】【习题07针对训练解析】把已知中的用代换得，两式相减得，又，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为【习题08针对训练答案】或.【习题08针对训练解析】当时，显然满足题意. 当时，综合得或.【习题09针对训练答案】【习题09针对训练解析】是等比数列，且前项和，且 当时，；当时，即.上式等价于 或 , 由得,由得,的取值范围为.【习题11针对训练答案】 【习题11针对训练解析】依题意可知， 解得. 故填.【习题12针对训练答案】（1），；（2）【习题12针对训练解析】（1）由题意知数列是公差为的等差数列 又因为 所以 当时，； 当时，