高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十）理

课时跟踪检测（十）1(2018届高三西安八校联考)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC，垂足为M.EA平面ABC，CFAE，AE3，AC4，CF1.(1)证明：BFEM；(2)求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：EA平面ABC，BMEA，又BMAC，ACEAA，BM平面ACFE，BMEM.在RtABC中，AC4，BAC30，AB2，BC2，又BMAC，则AM3，BM，CM1.FM，EM3，EF2，FM2EM2EF2，EMFM.又FMBMM，由得EM平面BMF，EMBF.(2)如图，以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC，AE所在的直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，(，3,3)，(，1,1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由得令x，得y1，z2，平面BEF的一个法向量为n(，1,2)因为EA平面ABC，所以取平面ABC的一个法向量为(0,0,3)设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则cos |cosn，|.故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.2(2017云南调研)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，ABC90，AB，BC1，AD2，ACD60，E为CD的中点(1)求证：BC平面PAE；(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值解：(1)证明：AB，BC1，ABC90，AC 2，BCA60.在ACD中，AD2，AC2，ACD60，由余弦定理可得：AD2AC2CD22ACCDcosACD，CD4，AC2AD2CD2，ACD是直角三角形又E为CD的中点，AECDCE2，又ACD60，ACE是等边三角形， CAE60BCA，BCAE.又AE平面PAE，BC平面PAE，BC平面PAE.(2)由(1)可知BAE90，以点A为原点，以AB，AE，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(，3,0)，(，0，2)，(，1，2)，(，3，2)设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x1，则y0，z，n，cosn，直线PD与平面PBC所成角的正弦值为.3(2017武昌调研)如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值解：(1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)设S(x，y，z)，显然x0，y0，z0，则(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)由|，得 ，解得x1.由|1，得y2z21.由|2，得y2z24y10.由，解得y，z.S，0，0，DSAS，DSBS，又ASBSS，SD平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则n，n，n0，n0.又，(0,2,0)，取z12，得n(，0,2)(2,0,0)，cos，n.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.4(2017宝鸡质检)如图，在矩形ABCD中，AB1，AD2，点E为AD的中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上(1)求证：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值解：(1)证明：点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，PO平面BCDE，POCE，CE，BE，BE2CE24BC2，BECE，又POBEO，CE平面PBE，BPCE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于DC的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则B，C，D，P ，(1,0,0)，(0,2,0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z1，可得n1，为平面PCD的一个法向量设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令z2，可得n2(2,0，)，为平面PBC的一个法向量cosn1，n2，由图可知二面角BPCD为钝角，故二面角BPCD的余弦值为.5如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E是PD的中点，点F是PC的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)若底面ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角CAFD的大小为60？解：易知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2a，AD2b，AP2c，则A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)连接BD，交AC于点O，连接OE，则O(a，b,0)，又E是PD的中点，所以E(0，b，c)(1)证明：因为(2a,0，2c)，(a,0，c)，所以2，所以，即PBEO.因为PB平面AEC，EO平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为四边形ABCD为正方形，所以ab，则A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，P(0,0,2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c)，因为z轴平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为n(x,1,0)，而(2a,2a,0)，所以n2ax2a0，得x1，所以n(1,1,0)因为y轴平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为m(1,0，z)，而(a，a，c)，所以macz0，得z，所以mm(c,0，a)