ch06记忆特性随机过程.ppt

*1 随机过程教程 第6讲 记忆特性随机过程 *2 记忆特性随机过程 l纯粹独立随机过程 设有时间连续（时间离散随机 ）过程 ，任 意时刻 ， 相互独立，称为纯 粹独立随机过程。 N维时， *3 纯粹独立随机过程 l时间连续 客观上难以存在 但可以作为理想白噪声的模型 l时间离散 客观上是存在的 常作为时间离散白噪声的模型 特例：独立同分布序列：离散纯粹独立随机过 程的每个随机变量都具有相同的概率分布函数 。 *4 l独立增量过程 设有时间连续（时间离散随机 ）过程 ，任 意时刻 ， 相互 独立，称为独立增量随机过程。 概率分布只和 有关，和起点 无关 称为齐次独立增量随机过程 独立增量过程 *5 独立增量过程 lpmf和cdf的表示 记 概率密度函数为 *6 离散时间独立增量过程的例子：和过程 l定义： 为一个独立同分布序列， 为和过程。 *7 l性质 pmf性质 l和过程的例子 二项计数过程 一维随机游走过程 离散独立增量过程 *8 醉汉开始从一根电线杆的位置出发（其坐标为x=0 ， x坐标向 右为正，向左为负），假定醉汉的步长为l，他走的每一步的 取向是随机的，与前一步的方向无关。如果醉汉在每个时间间 隔内向右行走一步的几率为p，则向左走一步的几率为q=1-p ，记录醉汉向右走了R步， 向左走了L步， 即总共走了N步。 那末醉汉在行走了 N步以后，离电线杆的距离为 x，其中 x=(R-L)l。然而我们更感兴趣的是醉汉在行走N 步以后，离电 线杆的距离x的概率P 。 一维随机游走过程和二项计数过程 *9 参数为p的bernoulli独立同分布序列Xn，其和过程Yn 称为二项计数过程。 离散独立增量过程 *10 离散独立增量过程 *11 离散独立增量过程 *12 离散独立增量过程 以均值和方差为例 *13 离散独立增量过程 *14 连续时间独立增量过程 lPoisson过程 Poisson过程的导出过程 lWiener过程 *15 定义 称一个随机过程 是一个计数计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)1) N(t)取非负整数值；取非负整数值； 2）若s0和充分小的 ，有 其中 为 的高阶无穷小。又称 为Poission过程 的强度系数 Poission过程的定义 发生的概事件率和 时间近似成正比 *18 定理 若N(t),t0为Poission过程，则 可得到Poission过程的等价定义: 1）N(0)=0 ， 2）独立增量过程; 3）发生的概事件率和时间近似成正比 此即 Poission过程 *19 l一阶概率质量函数 Poission过程 *20 Poisson过程的一阶概率密度函数 极值点 K=3, 黄线 K=5, 绿线 K=7, 红线 *21 Poisson过程的数字特征 *22 例例 设设N(t)N(t)表示表示0,t0,t时段内事件时段内事件A A的发生次数的发生次数, ,且且 N(t),tN(t),t 0 0 形成强度为形成强度为 的的PoissonPoisson过程过程. . 如果每次事件如果每次事件A A 发生时以概率发生时以概率p p能够被记录下来能够被记录下来, , 并以并以M(t)M(t)表示到表示到t t时刻时刻 记录下来的事件总数记录下来的事件总数, , 试证明试证明M(t),tM(t),t 0 0 形成强度为形成强度为 p p 的的PoissonPoisson流流. . 解：对照解：对照PoissonPoisson过程的定义过程的定义 1) M(t),t1) M(t),t 00是一计数过程,且M(0)=0 ; ; 2) 2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记 录独立，故录独立，故M(t),tM(t),t 00具有独立增量性； 只需验证 3) *23 由全概率公式，由全概率公式， *24 设首次地震发生(t=0)后的一段时间内，破坏性余震 发生序列是一个强度为(次/小时)的泊松过程.任意 时刻t0,以V(t)表示t时刻之前最后一次破坏性余震直 到t时刻所经历的时间;以W(t)表示t时刻之后直到下 一次破坏性余震发生的剩余时间. (1)求V(t)与W(t)的分布函数; V(t)与W(t)独立吗? (2)已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已 过了s小时,求未来t小时内没有破坏性余震发生的概 率. *25 解解: (1): (1) *26 因为因为泊松过程是独立增量过程, 故故V(t)V(t)与与W(t)W(t)独立独立. . (2)(2) *27 设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事 件发生的次数，令 ， 表示第k个事件发生的 时刻; 表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即 先讨论到达时间间隔先讨论到达时间间隔 的的T T k k 分布分布. . 泊松过程的性质:Poisson间隔 *28 定理 到达时间间隔序列到达时间间隔序列 相互独立相互独立 同分布，且服从参数为同分布，且服从参数为 的指数分布的指数分布. . 定理 提供了Poisson过程的参数估计方法. PoissonPoisson过程停留于某个状态的时间过程停留于某个状态的时间 PoissonPoisson间隔是指数分布随机变量间隔是指数分布随机变量 总结: 泊松过程的性质:Poisson间隔 *29 参数参数 的的极大似然估计极大似然估计: : 一般地一般地, , 若从若从0 0时刻开始时刻开始, , 观察到观察到PoissonPoisson过程过程 N(t),tN(t),t 00的一段样本轨道的一段样本轨道: : 1, 1, n n的取值的取值: : t1t2,tn , t1t2,tn , 由于由于, , 1 1 , , 2 2 - - 1 1 , , n n - - n-1n-1独立同指数分布 独立同指数分布, , 于是似然于是似然 函数为函数为 令令 得得 的极大似然估计为的极大似然估计为: : *30 定理 到达时间 的概率密度函数为 定理 提供了Poisson过程的参数参数 的区间估计法的区间估计法: : 根据定理根据定理, , 的概率密度函数为的概率密度函数为 备查备查：1 1） 的特征函数为的特征函数为 分布函数为分布函数为 ： *31 *32 定理 若计数过程N(t),t0的到达时间间隔序列 是相互独立同参数为的指数分布，则 N(t),t0是参数为的泊松过程. 定理 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验 的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的随机数 , 将其作为Ti, i=1, 即可得到Poisson过程的一条样本 轨道. *33 设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系 统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为 的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的 顾客人数.求 （1）EN(t) ; （2）第n位顾客等候服务时间的数学期望; (3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率. 提示提示: : 的分布函数是的分布函数是 例 *34 解解: :（1 1）, N(t),t, N(t),t00为强度为强度possion possion 过程，故过程，故 EN(t)=t =t ； （2 2）记第）记第n n位顾客完成服务的时间为位顾客完成服务的时间为 ，第n位顾 客等候服务时间为 (3)(3)根据定理根据定理 或或 *35 Poisson过程性质:事件发生时刻的均匀性 l设Poisson过程在 内事件只发生了一次，x 为在 内事件发生的时刻 （证明略） l说明了Poisson过程事件发生的时刻具有均匀性 *36 Wiener过程 一维Wiener过程 l一维随机游走过程的推广 l均值 l方差 l一阶概率密度函数 l高阶概率密度函数 X(t)是一个粒子在时刻t 的位置，满足条件： (1) X(0)=0 (2) X(t)是一个齐次独