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2.6 逻辑函数的化简方法 n2.6.1 逻辑函数的最简形式 n同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少 的电子器件实现这个逻辑函数。 n逻辑函数的八种表达式： “与或非”式： 例 “或非或非”式：例 “与非与非”式：例 “或与”式： 例 “与或”式： 例 1 “或与非”式：例 最常用的为“与或”、“或与”两种逻辑表达式 最简“与或”式的标准：.含的“与”项最少； .各与项中含的变量数最少。 最简“或与”式的标准：.含的“或”项最少； .各或项中含的变量数最少。 以后主要讨论“与或”式的化简。 “与非与”式：例 “或非或”式：例 2 2.6.2 公式化简法 用基本公式和常用公式消去多余的逻辑变量和多余的 与项和或项。 例： 1.并项法：运用公式： 消去 B 和 两个 因子。 3 2.吸收法： 利用公式： 消去AB项。 例： 4 3.消项法：利用公式： 消去BC项或包含BC的项（BCD、BCDEF等等）。 5 利用公式： ，消去因子 。 例: 4.消因子法： 6 利用 配项： 例: 利用 配项： 例: 5.配项法： 7 逻辑函数表示方法有真值表、逻辑表达式、逻辑图、 波形图和卡诺图。 一、表示最小项的卡诺图: 任一逻辑函数均可写成 最小项之和形式： 2.6.3 卡诺图化简法 也可以用真值表来表示： ABCY 0000 0011 0100 0111 1001 1011 1100 1110 也可以用卡诺图表示 8 n卡诺图：将n变量的全部最小项各用一个小方块表示， 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列 起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。 n逻辑函数的卡诺图是一个特定的方格图。图中的每一个 小方格代表了逻辑函数的一个最小项，且任意两个相邻小 方格所代表的最小项只有一个变量不同。 n 二变量 卡诺图 ABY 00 01 10 11 B A 01 0 1 m0 m1 m2 m3 m0 m1 m2 m3 9 三变量卡诺图： A BC ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。 00011110 0 1 真值表 卡诺图 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 10 有时为了方便，用二进制对应的十进制数（最小项的 编号）表示单元格的编号。 A B C 编号 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 A BC00 011110 0 1 逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。 11 01 0001 0123 1167 1045 C AB 00011110 00264 11375 AB C Y=F(A,B,C) 00011110 00132 14576 BA C Y=F(C,B,A) 另外几种表示方法 12 ABCDm 00000 00011 00102 00113 01004 01015 01106 01117 10008 10019 101010 101111 110012 110113 111014 111115 四变量卡诺图： 00011110 00 01 11 10 CD AB 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 13 四变量卡诺图单元格的编号: AB CD 00011110 00 01 11 10 Y=F(A,B,C,D) 00011110 0004128 0115139 11371511 10261410 AB CD 14 五变量卡诺图及单元格的编号: CDE AB000 001 011 010 110 111 101 100 0001326754 0189111014151312 112425272630312928 101617191822232120 15 二、用卡诺图表示逻辑函数： n真值表卡诺图 二变量真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 二变量卡诺图 01 11 A B 1 0 1 0 输出变量Y的值 16 0 1 00011110 A BC 0000 0111 三变量真值表 三变量卡诺图 ABCY 0000 0010 0100 0110 1000 1011 1101 1111 0 1 00011110 A BC 0000 0111 17 四变量真值表 ABCDY 00000 00011 00100 00110 01001 01010 01101 01110 10001 10011 10101 10111 11000 11010 11100 11111 四变量卡诺图 00011110 00 01 11 10 CD AB 0100 1010 1111 0001 18 逻辑代数式卡诺图 A B 0 1 0 101 11 0 1 00011110 A BC 0000 0111 一般与或表达式可直接填写卡诺图 19 总结：用卡诺图表示逻辑函数： 可由真值表直接填入卡诺图。 对任何一个最小项逻辑函数表达式，可将其所具有的最 小项在卡诺图中相应的方格中填1得到该函数的卡诺图。 一般与或表达式可直接填写卡诺图。 例： 00011110 00 01 11 10 CD AB 1 11 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20 卡诺图逻辑代数式 00011110 00101 11010 BC A BC A 00011110 00000 11111 化简问题 21 三、 用卡诺图化简逻辑函数 n在卡诺图中，凡几何相邻的小方格（紧邻的小方格或与 轴线对称的小方格）都具有逻辑相邻性，它们之间只有一 个变量不同，可圈在一起，利用 进行合并。 00011110 00010 10010 BC A 、合并最小项的规则 两个相邻的小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变 量： 22 00011110 0111 1111 BC A 00011110 001 01111 11111 101 CD AB 注意：一行的两头或一列的两头也是相邻的。 23 00011110 01111 11111 BC A 4（22）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去2 个变量。 00011110 00111 011111 111111 10111 CD AB 注意：行的两头或列的两头也是相邻的；四个角也是 相邻的。 24 00011110 01111 11111 BC A 8（23）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去3 个变量。 00011110 001111 011111 1111 1011 CD AB 2n 个相邻小方格可合并为一个乘积项，且消去 n个变量. 25 注意： 相邻单元的个数必须是2n个，并组成矩形时， 才可以合并。 AB CD 0001 1110 00 01 11 10 AB CD 00011110 00 01 11 10 26 、卡诺图化简法的步骤： 1、将逻辑表达式转换成与或式，填入卡诺图。 2、找出可以合并的最小项。 3、选择乘积项，得到最简与或表达式。 选择乘积项（画圈）的原则： 1、应把卡诺图中所有的1圈完; 2、圈的个数应最少; 3、圈越大越好; 4、每个圈中必须包含一个新的最小项，否则得到 的乘积项是多余的。 27 A BC 0 1 00 01 11 10 1 1 11 1 例1：用卡诺图化简法将下式化简为最简与或表达式： 1 1 A BC 0 1 00 01 11 10 1 11 1 化简结果不是唯一的。 1 28 例2：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) A 00011110 00 01 11 10 CD AB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29 例3：化简 AB CD 00011110 00 01 11 10 AB CD 00011110 00 01 11 10 30 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简 2.7.1 约束项，任意项和逻辑函数式中的无关项 以上所讨论的逻辑函数，其函数值是完全确定的1或0 ， 然而在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样的 情况： 由于外部条件的限制，输入变量的某些组合不会出现， 即不允许出现或不可能出现； 电路输入变量的某些组合值对输出没有影响。 第种情况中，把对输入变量取值的限制称为约束， 把这些组变量取值组合对应的最小项称为约束项。 第种情况中，把这些组变量取值组合对应的最小项 称为任意项。 31 n例如：A,B,C三个逻辑变量，A=1表示电动机正转， B=1表示它反转，C=1表示停止。 ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 约束项 约束项的值为0 ABC只能取值001,010， 100，而其余最小项则为 约束项。 32 n通常用约束条件来描述约束的具体内容，上例中约束条 件可表示为： 或写成： m0+m3+m5+m6+m7=0 33 n由于约束项的值始终等于0，所以既可以把约束项写进 函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函 数值。同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写 进去，因为输入变量的取值使任意项为1时，函数值是1还 是0无所谓。 n因此，我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无 关项。 n约束项的表示方法： 1、在函数式中用约束条件来表示； 2、在真值表中用（或）来表示； 3、在卡诺图中用（或）来表示； 34 n如上例： m0+m3+m5+m6+m7=0 ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 B C A 00011110 0 1 35 n例如：A,B,C三个逻辑变量，A=1表示正在写作业A， B=1表示正在写作业B ，C=1表示正在写作业C 。 nABC只能取值000，001，010，100，而其余最小项 为约束项。 ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 约束项 约束项的值为0 ABCY 0000 0011 0101 1001 0 1 1 1 36 例如：三八妇女节看电影，票只能发给本单位的女职工。 A,B,C三个逻辑变量，A=1表示本单位，B=1表示女职工 ，C=1表示有票 。结果Y，Y=1表示能入场看电影。 ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 ABCY 0000 0100 1000 1100 1111 ABCY 001 011 101 可能的取值组合 约束项 0 0 0 0 1 37 2.7.2 具有无关项的逻辑函数的化简 n在卡诺图中，究竟将作为1（即认为函数式中包含有 这个最小项）还是作为0（即认为函数式中不包含这个最小 项）对待，原则上，应以得到的相邻最小项矩形组合最大 ，而且矩形组合数目最少为原则。 ABCY 0000 0011 0101 011 1001 101 110 111 例1： 写作业 00011110 0011 11 BC A m3+m5+m6+m7=0 38 ABCY 0000 001 0100 011 1000 101 1100 1111 00011110 000 1010 BC A BC A 例2： 妇女节看电影 00011110 0