数理方程课程总结(精简).ppt

1 考试时间：5月12日上午(第十三周周一) 考前集中答疑安排： 地点：科技楼南楼602（应用数学系办公室） 时间：5月11日全天 2 第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： (适用有界区域、两个变量) 分离变量法、固有函数法、作辅助函数法 方程和边界 条件齐次 方程非齐次， 定解条件齐次 边界条件非齐次 3 几种常见的固有函数系的形式 (1) (2) (3) (4) 以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的泊松方程是适用的。 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为(5) 4 (4) (3) (2) (1) 几种非齐次边界条件相应的辅助函数 的表达式： 以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热 传导方程都适用。 注意特殊情形：课件中2.5节的例 2 5 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： 对圆域采用极坐标 对于矩形域 采用直角坐标系 用分离变量法 第2章主要内容 6 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (Q) 思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程 可用分离变量法求解问题(Q) 第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) 思路2 将问题(P)的解看成两部分，令 和分别满足 第2章主要内容 8 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (P1) (P2) 和 固有函 数法 分离变 量法 第2章主要内容 9 第5章主要内容 (贝塞尔函数的应用) 分离变量法的想法 1.阶贝塞尔方程的固有值问题 阶贝塞尔方程的通解可表示为 固有值和固有函数分别为 (33 ) (32 ) 10 第5章主要内容 (25) (26) 2.阶贝塞尔函数的递推公式 (27) (28) 特别的， (29) 11 第5章主要内容 3. 傅里叶-贝塞尔级数 (42) 其中系数由下式确定 (43) 4. 贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子 12 (3) (4) (18 ) 1无限长弦自由振动问题 的达朗贝尔解为公式 (13 ) 其中方程(3)的通解形式为 行波法或达朗贝尔解法 第3章主要内容 (适用无界区域) 13 2无限长弦强迫振动问题 的解为公式 (1) (2) (26 ) 第3章主要内容 3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题 书上例子很重要 14 书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5. 15 几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 3. 4. 特别的， 2. 5. 延迟定理的 逆变换形式 16 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为1 2 (6) 空间上格林第二公式 第4章主要内容 (6 ) 平面上格林公式 二维、三维拉普拉斯方程边值问题 17 (8) 3调和函数的积分表达式(三维情形) 二维情形下，调和函数的积分表达式 第4章主要内容 (8) 18 性质1(12) 调和函数的基本性质4 设函数 它在上连续，且不为常数， 则 内的调和函数，是区域性质3 它的最大值、 最小值只能在边界 上达到 (极值原理)。 性质2 (13) (平均值定理 ) 第4章主要内容 利用极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程 狄利克雷问题解的唯一性。 5 补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性处理问题（例如格林函数性质5、 习题四第8题等） 20 (19) (17) 其中 如果三维拉普拉斯方程的狄利克雷问题 上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在 那么问题(19)的解可表示为 (20) 6 21 (19 ) 如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题 上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在 那么问题(19)的解可表示为 (20) (17) 其中 7 22 求解上半空间内的狄利克雷问题 (23) (22) 上半空间的格林函数为 (24) 得到定解问题(22)(23)的解 (26) 8 23 求解上半平面内的狄利克雷问题 (23) (22) 上半平面的格林函数为 (24) (2