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数学建模培训 初等模型 曹可 二九年四月 一、数列建模 数列是最基本的概念之一。 1805年，英国和法国进进行了一场场惨烈的海战战。其中，尼尔 森担任英国统帅统帅 ，他的对对手则则是大名鼎鼎的拿破仑仑。尼尔森的 舰队舰队 有27艘战舰战舰 ，而拿破仑仑的舰队舰队 却有33艘战舰战舰 。根据以往的 战战争经验经验 ，若两军军相遇，一方损损失兵力大约约是对对方兵力的10 。 如果按照这这一公式计计算，显显然人多势势众的法军军将获胜获胜 ，而且在 第11次遭遇战战中全歼歼英军军，如表所示。 n1234567891011 Bri27.023.720.717.915.312.910.68.56.54.52.7 Fra33.030.327.925.924.122.521.320.219.318.718.2 模型1：谁将是胜利者 但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。 当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘） 、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。 现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的 5，列表如下计算： n1234 Bri13.012.712.512.4 Fra3.02.41.71.1 战战役A情况 战战役B情况（法军军在战战役A中逃脱的1艘战舰战舰 加入战战斗） n123413141516 Bri 26. 0 25. 1 24. 3 23. 5 19. 1 18. 8 18. 6 18. 5 Fra 18. 0 16. 7 15. 4 14. 2 4.73.82.81.9 战战役C情况（法军军剩余兵力全部参加战战斗） n123414151617 Bri19.018.317.617.013.213.012.812.7 Fra14.013.112.111.33.83.12.41.8 最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。 点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。 模型2：动态系统中的平衡点 模型2.1：出租车的调配问题 一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家 分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地 距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数 据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。 现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况， 如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这 就需要支付一定的调度费用。 试对上述问题提出决策分析！ 甲地乙地 40% 30% 60%70% 分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙 地的出租车数量，由历史统计规律可知 如果存在平衡状态，即Jn= Jn1及 Yn= Yn1，解得 这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此 后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1） n1234.n. 甲地3000300030003000.3000. 乙地4000400040004000.4000. 表1 进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时， 甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡， 是否需要进行调配？ n01234567 甲地70004200336031083032.43009.723002.916 3000.875 乙地02800364038923967.63990.283997.084 3999.125 表2 车辆数量模拟（一） n01234567 甲地50003600318030543016.23004.863001.458 3000.437 乙地20003400382039463983.83995.143998.542 3999.563 表3 车辆数量模拟（二） n01234567 甲地20002700291029732991.92997.572999.271 2999.781 乙地50004300409040274008.14002.434000.729 4000.219 表4 车辆数量模拟（三） n01234567 甲地02100273029192975.72992.712997.813 2999.344 乙地70004900427040814024.34007.294002.187 4000.656 表5 车辆数量模拟（四） 经过模拟（表2表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。Jn的极限是3000， Yn的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！ 点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学 建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的 迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！ 模型2.2：竞争的捕食者模型 在非洲，有一个地方栖息着一种特别的斑点猫头鹰。它们 在那儿跟老鹰同处于食物链的最高层，本应无忧无虑，但是由 于它们的捕食对象相同、相互竞争，因此随时有种群灭绝的危 险。 试建立数学模型研究它们数量之间的关系！ 分析：首先，假定一个种群的数量增加跟其自身数量成正 比，则在不考虑死亡的情况下。 令On代表斑点猫头鹰第n天的数量，Tn代表老鹰第第n天的 数量，则有 斑点猫头鹰的增加量为 老鹰的增加量为 现在考虑种群的死亡问题，由于它们是那个地区的霸主， 倒不担心被别的动物吞食。它们的死亡主要由于缺乏食物造 成。这里假定一个种群数量的减少跟它的数量与其竞争对手数 量的乘积成正比，则有 斑点猫头鹰的变化量为 老鹰的变化量为 则该动态系统的状态转移方程为 现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】 进一步分析：考查该动态系统平衡点的稳定性。 现在考虑以下四种初始情况下斑点猫头鹰和老鹰的变化。 情况1情况2情况3情况4 斑点猫头鹰头老鹰鹰20019920110 下面四个图分别对应四种情况。 情况1：两个种群数量始终 保持不变，永远相互共存下去。 但这仅仅是最理想化的情况。 天数 数量 200 150 老鹰 斑点猫头鹰 情况2：斑点猫头鹰成为胜利 者，老鹰最后灭绝了。尽管斑点 猫头鹰的数量仅比情况1多一只， 老鹰的数量比情况1少一只，老鹰 种群在争夺食物的大战中不敌对 手，甚至灭绝。 天数 数量 199 151 老鹰 斑点猫头鹰 情况3：老鹰成为胜利者，斑 点猫头鹰最后灭绝了。尽管斑点 猫头鹰的数量仅比情况1少一只， 老鹰的数量比情况1多一只，老鹰 种群在争夺食物的大战中成为胜 利者，斑点猫头鹰惨遭灭绝。 天数 数量 201 149 老鹰 斑点猫头鹰 情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 猫头鹰种群惨遭灭绝。 天数 数量 10 老鹰 斑点猫头鹰 情况1是最理想化的情况。情况2和情况3表明，即使系统只 有细微偏差，但最后结果却截然不同。情况1、情况2和情况3尽 管在初始数量相差不多，但最终结果相差悬殊。 模型评价：综合上述讨论，可以看出竞争捕食者模型是一 个对初始值非常敏感的模型。平衡点（150，200）是一个不稳 定的平衡点，即使初值非常接近它，最后发展的结果始终不能 达到这个平衡点，甚至偏离很远。要得到更好的分析结果，必 须修正原来的假设，添加更多的因素，考虑用更好的建模方法。 月份12345678910111213 幼兔101123581321345589 成年兔01123581321345589144 兔子数（对对 ） 1123581321345589144233 幼兔比率1.0 0.0 0.5 0.33333 0.40000 0.37500 0.38462 0.38095 0.38235 0.38182 0.38202 0.38194 0.38197 成兔比率0.0 1.0 0.5 0.66667 0.60000 0.62500 0.61538 0.61905 0.61765 0.61818 0.61798 0.61806 0.61803 练习：兔子的繁殖问题。 由一对幼兔开始，一年后可以繁殖多少对兔子？假设兔子 的生殖能力是这样的：每一对兔子每一个月可以生一对兔子， 并且兔子在出生满一个月以后就具有生殖能力。 试用数学建模的方法来讨论上述问题，并分析兔群的增长 规律。 二、图解法建模 图象分析是一种十分直观的数学方法，在简单的定性分析 中很实用。难以量化的研究对象，不容易用解析法处理，这时 可以根据数与形的关系，利用图象中曲线的关系推断结论，借 助图象来描述研究对象。图解法可以取得一目了然的效果，但 也有自身的缺点（例如，量化不彻底，不易表示三个以上变量 之间的关系，要深入研究还要利用其他的数学工具，比如概率 统计、线性规划等）。 模型：核军备竞赛 【资料】二十世纪六七十年代的冷战时期，美苏实行所谓 核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战 的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两 国总统同意进行进一步裁减核武器，俄罗斯总统普京建议两国 各自裁减1500枚战略核武器。 蘑菇云 二战中美国投放日本长崎的原子弹“胖子” 世界核武器分布图 核武器 （nuclear weapon） 利用能自持进行核裂变或聚变反应释放的能量，产生爆炸 作用，并具有大规模杀伤破坏效应的武器的总称。其中主要利 用铀235(U-235) 或钚239(239Pu)等重原子核的裂变链式反应原 理制成的裂变武器,通常称为原子弹;主要利用重氢(D，氘 do) 或超重氢(T，氚 chun)等轻原子核的热核反应原理制成的热 核武器或聚变武器，通常称为氢弹。 在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？ 试建立数学模型，在给核威慑战略做出一些合理、简化的 假设下，定性的分析、回答上述问题。 模型分析：核军备竞赛的基本想法是当自己在遭到对发的 突然袭击后能有足够的核武器幸存下来，以便给予对方“致命 打击”。 核军备竞赛的方法有： （1）努力增加自己的核武器。从数量上压倒对方，但这 样作战下去双方都感到负担过重。 （2）引进多弹道导弹和多弹头导弹。 （3）加固导弹库或者建造核潜艇来保护导弹，使之不易 受到攻击。 模型假设：以双方的（战略）核导弹数量为对象，描述双 方核军备的大小，假定双方采取如下同样的核威慑战略。 （1）认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地。 （2）己方在经受第一次核打击后，应保存有足够的核导 弹，给对方以毁灭性的打击（工业、交通中心等）。 （3）在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只 能攻击对方的一个核导弹基地，且摧毁这个基地的可能性是常 数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力说决定。 （4）假定双方拥有的核导弹相同，具备相同的攻击精度 和防御能力。 模型建立：（图的模型） 记y=f(x)为甲方拥有x枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所 需的最小核导弹数， x=g(y)为乙方拥有y枚核导弹时，甲方采 取核威慑战略所需的最小核导弹数。 对于y=f(x)，当x=0时y=y0，y0是甲方在实施第一次核打击 后已经没有核导弹时，乙方对甲方以毁灭性打击所需的核导弹 数，简称乙方的威慑值；对于x=g(y)，当y=0时x=x0，x0是乙方 在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，甲方对乙方以毁灭 性打击所需的核导弹数，简称甲方的威慑值。 根据y=f(x)的定义，当yf(x)时乙方是安全的（在核威慑战 略意义下），不妨称该区域为乙安全区，曲线y=f(x)为乙安全 线。类似的， xg(y)的区域为甲安全区， x=g(y)为甲安全线。 两个安全区的公共部分即为双方安全区，是核军备竞赛的稳定 区域。两条安全线的交点P(xm，ym)是核军备竞赛的平衡点，xm 和ym则为稳定状态下甲乙双方分别拥有的最小核导弹数。 平衡点如何达到的呢？（如图1-1、1-2） x y x0 y0 甲安全区 乙安全区 双方安全区 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图1-1 x y x0 y0 甲安全区 乙安全区 双方安全区 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图1-2 x1 y1 不妨假设甲方最初只有x0枚核导弹（威慑值），乙方为了 自己的安全至少要拥有y1枚核导弹；而甲方为了安全需要将核 导弹数量增加到x1，如此循环下去，双方的核导弹数量就会趋 向xm和ym。 模型的精细化：现实中，平衡点P(xm，ym)并不是固定的， 如果一方使用加固导弹库、反弹道导弹或其它手段，两条安全 线和稳定点将发生变化。 x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图2-1 情况1：若甲方加强防御能 力，则乙方的威慑值y0将变大， 其它因素不变，那么乙安全线 y=f(x)的上移会使平衡点变为 ，显然 说明虽然甲方的防御是被动 的，但也会使双方的核军备竞赛 升级。（如图2-1） x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图2-2 乙方仿效甲方做法，同样 加强防御能力，则甲方的威慑 值x0也将变大，那么甲安全线 y=f(x)的右移会使平衡点变为 ，显然 说明双方的被动防御，使 双方的核军备竞赛进一步升级。 （如图2-2） 情况2：若甲方改进核导弹机动性（固定发射改进为移动发 射），则甲方的残存率增大，于是x减少，甲安全线x=g(y)向y 轴靠近（如图3-1、3-2），平衡点变为 ，显然 说明甲方的这种单独行为，使双方的核导弹数量有所减少。 x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图3-1 x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图3-2 同时，乙方也改进核导弹机动性，则乙方的残存率也增大， 于是y减少，乙安全线y=f(x)向x轴靠近（如图3-3、3-4），平衡 点变为 ，显然 说明双方的这种行为，使双方的核导弹数量进一步减少。 x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图3-3 x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图3-4 情况3：若双方都发展多弹 头导弹，每个弹头可以独立的 摧毁目标，则双方的威慑值x0、 y0均减少，双方安全线有类似变 化，二者的综合影响则可能使平 衡点变为 或 ， 究竟会使双方的核导弹增加还是 减少，需要更多信息及更详细的 分析。（如图4） x y x0 y0 y=f(x) x=g(y ) P(xm，ym) 图4 点评：核军备竞赛问题初看起来似乎与数学无缘，但是如果 把所谓核威慑战略作一些合理、简化的假设，就能够用一个简单的 图的模型，来描述双方核武器数量相互制约、达到平衡的过程，并 由此对核军备竞赛中的一些现象作出解释，这种定性分析的建模方 法是值得借鉴的。 练习：核军备竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点变 化。 （1）甲方提高导弹导航系统的性能。 （2）甲方增加导弹爆破的威力。 （3）甲方发展电子干扰系统。 （4）双方建立反导弹系统。 三、比例、类比关系建模 比例是最基本、最初等的数学概念之一，很多实际对象蕴 含着比例关系。 通常，如果y与x成正比，可以记为yx或者y=kx（其中k称 为比例因子）等等。 例如，一个均匀物体的重量M和它的体积V成正比， M V；对于形状相似的物体，它的表面积S和它的特征长度L2 成正比， S L2，它的体积V和特征长度L3成正比， V L3， 则它的体积V和表面积S的比例关系为 利用这种关系转换，可以简单的构造有关问题的轮廓模型。 类比分析建模方法就是根据两个（或者两类）系统某些属性或 关系的相似性去猜测两者的其它属性或关系。其中，物理系统 的类比分析使用已经很广泛，例如人的肌肉跟弹簧的类比等。 模型一：如何估计动物的体重 问题的提出：生猪收购站或屠宰场的工作人员都希望能从 生猪的身长估计出它的体重，以便提高工作效率。因此研究四 足动物躯干（不含头尾）的长度与它的体重的关系有着现实的 意义。 分析：动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学 复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值 的模型。因此为简化起见，我们仅在十分粗略的假设基础上， 利用类比的方法，借助力学弹性梁理论的某些结果，建立四足 动物身长和体重的比例关系，从而可以根据猪的长度大约估计 出猪的体重。 模型的应用：利用这个结果，对于某一种四足动物，比如 生猪、羊、牛等，就可根据大量试验，从统计数据中找出这个 比例常数，从它的躯体长度估算出它的体重。 模型二：划艇比赛的成绩 划艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、 四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现比 较各种划艇1964-1970年4次2000m比赛的最好成绩（包括1964 年和1968年的两次奥运会和两次世锦赛），发现他们之间有相 当一致的差别，似乎成绩与浆手数量之间存在某种联系，试建 立数学模型来解释这种关系。 艇种 2000m成绩绩t（min） 艇长长 l（m ） 艇宽宽 b（m ） l/b 艇重/浆浆 手数 1234平均 单单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3 双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6 四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1 八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7 模型分析：在这个问题中，由于划艇的速度、阻力、浆手 的输出功率等变量之间的精确关系不易找出，各时刻划艇的绝 对速度也很难得到，建立精确的模型来描述划艇的运动是困难 的，而我们现在关心的只是划完全程的时间，因此我们可以在 不太精确的假设下用比例分析的方法组建模型来描述它。 根据表中数据，可以看出，浆手数n增加时，艇的尺寸l、b 及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0 /n变化不大。若假设l/b是 常数，即各种艇的形状相同，则可得到艇浸没面积和排水体积 之间的关系。若假定w0 /n是常数，则可得到艇和浆手总重量与 浆手数之间的关系。此外还需对浆手体重、划桨功率、阻力与 艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物 理定律建立需要的模型。 模型假设： （1）艇速v是常数，根据流体力学，所受阻力f与浸没部分 表面积s成正比，与v2成正比。 （2）各种艇的规格相同， l/b是常数；艇重w0 与浆手数n成 正比。 （3）所有浆手的体重w都相同；在比赛中每个浆手的输出 功率p保持不变，且p 与w成正比（ p 与肌肉体积、肺体积成正 比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与w成正比）。 符号说明： v：艇速 f：艇在前进中受水的阻力 s：艇浸没部分的表面积 l：艇长 b：艇宽 w0：艇重 w：浆手的体重 V：艇的排水体积 W：艇和浆手的总重量 p：浆手的输出功率 t：划艇的比赛时间 模型构成：有n名浆手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘 积成正比，即 由假设（1）、（3） 因此 由假设（2），艇的排水体积V与浸没面积s的关系是 又根据艇重艇重w0与浆手数n成正比，所以艇和浆手的总重 量W= w0+ nw也与n成正比，即 而由阿基米德定律，艇的排水体积V与总重量W成正比，即 故 所以， 因为比赛成绩t（时间）与艇速v成反比，于是 这就是根据模型假设和几条物理规律得到的划艇比赛成绩 与浆手数量之间的关系。 模型检验：为了检验上述关系，令 利用数据拟合（最小二乘法、计算机拟合），得到 模型评价：这个模型建立在一些不太精确的假设基础上， 因为我们只关心各种艇之间的相对速度，所以数学工具只用到 了比例方法。用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的 表达式，但对于我们的建模目的来说已经足够了。最后结果与 实际数据吻合的如此只好，恐怕有很大巧合的成分。 练习：毛毛细雨和倾盆大雨落在手上的感觉截然不同，即 速度不同。试利用类比的方法讨论雨点速度与质量的关系模型。 模型三：商品包装的规律 我们知道许多商品都是包装出售的，同一种商品的包装也 有大小不同的规格。而且我们也注意到，同一种商品大包装的 单位价格比小包装的单位价格低。 试建立数学模型，分析商品包装的内在规律。 模型假设：面对错综复杂的生产过程和包装形式，为简化 问题的讨论，现给出如下假设 （1）商品的生产和包装的工作效率是固定不变的。 （2）商品包装的成本只由包装的劳动力投入和包装材料的 成本构成。 （3）商品包装的形状是相似的，包装材料相似。 符号说明： a：生产一件商品的成本 b：包装一件商品的成本（b1、b2分别表示劳动力和包装材 料的成本） w：每件商品的重量 s：每件商品的表面积 v：每件商品的体积 c：每件商品的单位成本 模型构成：由假设（1），我们可以认为商品的生产成本a 正比于商品的货物量w，即 显然，包装的劳动力成本b1正比于商品的货物量，即 由假设（3）商品包装材料的成本b2正比于货物的表面积s， 而商品的表面积s与体积有如下的比率关系 商品的体积又正比于货物量，于是我们有 每件商品的单位成本c为 这就是包装货物量为w时单位商品总成本c的数学模型！ 不难看出， c是w的减函数，表明当包装增大时每件商品的 单位成本将下降，这与我们平时的生活经验是一致的。 如果这个模型只是告诉我们上面的事实，它就显得十分平庸 ，因为它没有超出我们经验上的认识。仅这一点，这个模型的价值 就很有限。我们看能否从模型得出其它更深入的结论？ 我们从定性分析的角度进一步讨论模型的性质。 我们看商品单位成本c随货物量w增加的下降速率 它也是货物量w的减函数，表明当包装比较大时商品单位 成本的降低越来越慢。 因此，当我们购买商品时，并不一定是越大的包装越合算。 一般人不一定了解这一点！ 四、其它的初等模型 模型一：双层玻璃的功效问题 北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目 的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分 析结果。 分析：本问题与热量的传播形式、温度有关。热量传播的 途径有传导、对流、辐射。 检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是 热传导物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T，则 单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 Q，与T成正比，与d成反比，即: Q=kT