湖南省株洲市2019届高三数学教学质量统一检测试题（一）文.docx

株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 已知集合，则 =A BCD2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于 A B C D3. 下列说法中，错误的是 A. 若命题，则命题；甲乙9 8 8 3 3 72 1 0 9 2 9 B.“”是“”的必要不充分条件；C“若，则中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题；D函数的图像关于对称 . 4. 如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩，已知甲的中位数是90，则从乙的5次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为 甲乙9 8 8 3 3 72 1 x 9 2 9 A. B. C. D. 5.已知正项等比数列的前项和为， 与的等差中项为，且，则 （第4题图）A B C D6. 已知直线的倾斜角为，则 = A B C D 7. 在中，点为斜边的中点，则 A B C D 22211正视图侧视图俯视图8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9. 将函数的图象向右平移个单位，（第8题图）再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是A. 最小正周期为 B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称 D. 在上是增函数10. 过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A 1 B C D11.双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为A B C D12.已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知向量，若，则 .14若满足约束条件，则的最大值为_15. 在锐角中，角的对边分别为，已知,，则的面积为 16. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是_三解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本题满分12分）设数列的前项和为，已知 .（）求通项公式； （）设 ，求数列的前项和18. （本题满分12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，（）求证：平面平面；（）若三棱锥体积为，求与面BAF所成角的正弦值19. （本题满分12分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：200 250 300 350 400 450 500 克频率/组距0.0060.00480.0040.00320.001（）按分层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取个，再从这个黄桃中随机抽个，求这个黄桃质量至少有一个不小于克的概率；（）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：所有黄桃均以元/千克收购；低于克的黄桃以5元/个收购，高于或等于克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据：）20. （本题满分12分）已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由21. （本题满分12分） 已知函数（其中）.（）讨论的单调性；（）若设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为 （）求直线 的极坐标方程；（）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求. 23（本题满分10分）选修4 -5：不等式选讲已知函数（为实数）（）当时，求函数的最小值；（）若，解不等式株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题答案（文科） 总分：150分 时量：120分钟一. 选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求请将答案填涂在答题卡上.题号123456789101112答案CBDBCACABDAC二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13已知向量，若，则 . 14若满足约束条件，则的最大值为_615. 在锐角中，角的对边分别为，已知,，则的面积为 解：由正弦定理及，得，为锐角三角形，解得，.16. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是_. 三、解答题（共6小题，总计70分）17. （本题满分12分）设数列的前项和为，已知 .（）求通项公式；（）设 ，求数列的前项和.解：（）相减得：-3分 又-6分（）-8分-12分18. （本题满分12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，（）求证：平面平面；（）若三棱锥体积为，求与面BAF所成角的正弦值解：（）证明：作，AD为两个面的交线6分 （）因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，所以|AB|=1, 连接BH，易知为线与面BAF所成的角，10分 在直角BDH中， 所以与面BAF所成角的正弦值为12分19. （本题满分12分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（）按分层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取个，再从这个黄桃中随机抽个，求这个黄桃质量至少有一个不小于克的概率；200 250 300 350 400 450 500 克频率/组距0.0060.00480.0040.00320.001（）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：所有黄桃均以元/千克收购；低于克的黄桃以5元/个收购，高于或等于克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）解：（）由题得黄桃质量在和的比例为，应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.-2分记抽取质量在的黄桃为，质量在的黄桃为，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下种：-4分其中质量至少有一个不小于克的 7种情况，故所求概率为.-6分（）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在的频率为同理，黄桃质量在的频率依次为-7分若按方案收购：黄桃质量低于克的个数为个黄桃质量不低于克的个数为个收益为元-8分若按方案收购：根据题意各段黄桃个数依次为，于是总收益为-9分（元）-11分方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.-12分20. （本题满分12分）已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6（）求椭圆的标准方程；（）过点的动直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由解：（）由题意， 的周长为， ， 椭圆的标准方程为-5分 （）假设存在常数满足条件。（1）当过点的直线的斜率不存在时，当时，； -7分 （2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，化简得，. -8分 -9分，解得： 即时，；综上所述，当时， -12分 21. （本题满分12分） 已知函数（其中）.（）讨论的单调性；（）若设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围。解：（）的定义域为 -1分 （i）若，则.由得或；由得在上单调递增，在上单调递减； -3分 （ii）若，则在上单调递增；-4分 （iii）若，则，由得或；由得在上单调递增，在上单调递减. -5分 （）,由得， 解得 -8分设 ，则-9分在上单调递减；当时，-10分， 的最大值为. -12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为 （）求直线 的极坐标方程；（）设曲线与曲线的一个交点为（不为极点），直线与的交点为，求.解：（） -4分（）法1：由得 -5分点A的极坐标，又点B在直线OA上，所以设B的极坐标