大学物理第1章质点运动学.ppt

大学物理,第一章 质点运动学,1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate),参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性）,在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然,坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等.,1.1.2、时间和空间的计量,时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的标准单位是秒。1967年定义秒为铯133原子基态的两个超精细能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适用了。,1、时间及其计量,2、空间及其计量,空间反映物质运动的广延性。在巴黎国际标准局标准米尺；1983年定义米为真空中光在1/299792458s时间内所行经的距离。空间范围从宇宙范围的尺度1026 m(约200亿光年）到微粒的尺度10-15 m.极限的空间长度为普朗克长度10-35m,小于此值，现有的空间概念就不适用了。,1.1.3、质点（mass point）,相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础.,具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。,在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体的运动。,1.2.1、位置矢量(position vector),位置矢量的方向:,位置矢量的大小：,在直角坐标系中位置矢量为:,参考系坐标系原点和坐标轴钟,在直角坐标系中，在t 时刻某质点在点P的位置可用坐标系原点O指向点P的有向线段 表示，矢量 称为位置矢量，简称位矢.,1.2.2、运动方程,质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。,在直角坐标系中，,根据轨迹的形状，质点运动分为直线运动 和 曲线运动。,质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹。,轨迹方程(trajectory),从运动方程中消去t，则可得：,或：,在直角坐标系中：,从质点初位置到质点末位置所引的矢量 定义为位移。,位移矢量的大小,位移矢量的方向,1.2.3、位移矢量(displacement) 路程,1） 和 是两个不同的概念。,4 ）位移只取决于初末位置，与原点的选择无关 （位矢与原点的选择有关）。,思考：,1.2.4、速度矢量（Velocity）: 表示质点运动快慢及方向的物理量,1、平均速度,2、速度,方向沿切向，并指向前进方向。,在直角坐标系中：,速度大小,定义：,定义：平均加速度 =,大小：,瞬时加速度:,方向：t0 时 的极限方向。在曲线运动中， 总是指向曲线的凹侧。,1.2.5、加速度矢量（acceleration）:表示速度变化快慢的物理量,在直角坐标系中：,加速度的方向,加速度的大小,其中分量为,运动学中的两类问题,2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称为运动学的第二类问题,解 根据质点速度的定义,则有,速度的大小,根据质点加速度的定义,例题1-1 已知质点的运动方程是,式中R,都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。,加速度的大小,则有,根据矢量的点积运算，分别计算,质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。,例题1-2 一质点作平面运动，已知加速度为 ，其中A、B、均为正常数，且AB, A0, B0。初始条件为t=0时， 。求该质点的运动轨迹。,解 这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨迹方程的问题。,由加速度三个分量,的定义可得,从x, y的表示式中消去t ，即可得质点的运动轨迹方程为:,结果表明，质点的运动轨迹为椭圆。,例题1-3 一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为a=3+2x。若在x=0处，其速度v0=5m/s，求质点运动到x=3m处时所具有的速度。,解 已知 ，由加速度的定义式得：,根据初始条件作定积分,速度的方向沿x轴正向。,解 选取竖直向上为y轴的正方向，坐标原点在抛点处。,设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为k，则空气阻力为,此时小球的加速度为,即,作变换,整理则得,例题1-4 以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m 的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？,根据初始条件，作定积分,可得,当小球达到最大高度H 时，v = 0。可得,例题1-5 已知一质点由静止出发，它的加速度在x轴和y轴上的分量分别为ax=10t和ay=15t 2 。求t=5s 时质点的速度和位置。,解 取质点的出发点为坐标原点，由定义得,根据题意，初始条件为 t=0 ,v0x=0 ,v0y=0 ，对上式进行积分，得,t=5s代入上式得,利用初始条件t=0 , x0=0 , y0=0 ，对 vx , vy 进行积分，得,s代入上式得,切向（tangential）单位矢量,法向（normal）单位矢量,1.3.1、自然坐标系,其方向都是随位置（时间）变化的,在质点运动的轨迹上任取一点O作为自然坐标系的原点，沿轨迹规定一个弧长正方向,则可以用由原点到质点所在位置的弧长S来描述质点的位置,在自然坐标系中弧长s是可正可负的坐标量，当质点P 位于O点弧长正方向一侧时取正值，处于O点另一侧时去负值。,称为切向加速度,称为法向加速度,速度矢量表示为,加速度矢量表示为,1.3.2、质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度,由加速度的定义,是矢量，方向垂直于,并指向圆心，与,的方向一致。,的长度等于1，于是有,由于,质点速率变化的快慢,质点速度方向变化的快慢,切向加速度,法向加速度,加速度的大小,1.3.4、圆周运动的角量描述,1、角位置（angular position）：,3、角位移(angular displacement)：,1.3.3 一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度,曲线上任一点P的附近极短的一段曲线上，可用与它相切处曲率半径为的圆弧来代替,则一般平面曲线运动的切向加速度和法向加速度。,2、运动方程,曲率半径：,（瞬时）角速度,4、角速度(angular velocity),平均角速度,5、角加速度(angular acceleration),平均角加速度,（瞬时）角加速度,角速度是矢量，其方向垂直于质点运动的平面，指向由右手螺旋法则确定：当四指沿运动方向弯曲时，大拇指的指向就是角速度的方向。,匀速率圆周运动：角速度是恒量，角加速度为零； 变速率圆周运动：角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。角加速度是恒量时，质点作匀变速圆周运动。 在匀变速圆周运动中的角位置、角速度和角加速度间的关系与匀加速直线运动中的位移、速度和加速度间的关系形式上完全类似，它可写为,1.3.5、角量与线量的关系,在dt 时间内质点的位移,质点的速度,由加速度的定义,切向加速度,法向加速度,圆周运动的第二类运动学问题,解 （1）由角速度和角加速度的定义，得,把 t = 2s代入运动方程、角速度和角加速度方程，可得,例题1-6 一质点作半径为 R=1.0m的圆周运动，其运动方程为 =2t3+3t，其中 以 rad 计，t 以 s 计。 试求：（1）t = 2s时质点的角位置、角速度和角加速度。 （2） t = 2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。,（2）根据线量与角量的关系，可得,加速度,加速度的大小,设加速度与法向加速度的夹角为，则,例题1-7 如图所示，汽车以5m/s的匀速率在广场上沿半径为 R=250m的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行50m而停止，试求： （1）汽车在关闭油门前运动的加速度。 （2）汽车在关闭油门后4s时运动的加速度。,解 （1）汽车关闭油门前时作匀速率圆周运动，其切向加速度和法向加速度分别为,则，其方向指向环心O。,（2）汽车在关闭油门后滑行50m而停止。汽车的切向加速度为,油门关闭4（s）时，汽车的速率为,此时法向加速度为:,总加速度的大小为:,总加速度与速度的夹角为,例题1-8 一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减速，经t=50s后静止。 （1）求角加速度和从制动开始到静止时飞轮的转数N为多少？ ( 2）求制动开始t=25s时飞轮的角速度 (3）设飞轮的半径R=1m时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度,解 （1）由匀变速圆周运动基本公式,从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为,( 2）t=25s时飞轮的角速度为,(3）t=25s时，飞轮边缘上一点的速度为,切向加速度和法向加速度为,解 设加速度与速度方向的夹角为，则,所以,两边积分,例题1-9 质点沿半径为 R 的圆轨道运动，初速度为v0，加速度与速 度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间的关系,解: 取t=0时质点的位置O为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻t质点的速度为v，自然坐标为s .,（1）,代入t=1s，可得质点的速度和加速度的大小为,例题1-10 质点沿半径R=3m的圆周运动，如图所示。已知切向加速度at=3m/s2, t=0 时质点在O点，其速度v0=0 ，试求： （1）t=1s时质点速度和加速度的大小； （2）第2秒内质点所通过的路程。,利用初始条件作定积分,（2）由 得 ，利用初始条件作定积分,代入数据可得第2秒内质点通过的路程为,同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。,物体运动的描述依赖于观察者所处的参考系,S（oxy)系和S(oxy)系在t=0时重合，P,P点重合。在t 时间内S相对S位移D，则,伽利略速度相加原理,若u为常量，则,在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质点的运动，所得的加速度相同。,位移相加原理,而位移相加原理是相对同一参考系来说的。这里默认了长度和时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度和时间的测量是绝对的牛顿时空观。,适用条件:,宏观、低速情况,例题1-11 一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以15 km/h 速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。,解 选地面为S系，车为S系， S系相对S系运动速率为u=15km/h。所求雨滴相对地面的速度为 ，雨滴相对车的速度为 。根据伽利略速度相加定理，则有,由已知条件得与地面的夹角,且 与u 垂直，故可得,例题1-12 在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以2m/s的速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向，今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x，y单位矢量分别用 表示），求在A船上看B船的速度。,解 选地面为S系，A船为S系，B船为运动物体， S系相对S系运动速度为,根据伽利略速度相加定理，则B船对S系的运动速度为,B船对S系的运动速度为,解 选地面为S系，劈形物体为S系。在两参