2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案.docx

31.5空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题 学生用书P601空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b32空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b .3空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离dAB|. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同()(2)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则.()(3)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2a3b30.()(4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|.()答案：(1)(2)(3)(4) 已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6) Bab(2，1，6)Cab10 D.|a|6答案：D 与向量m(0，1，2)共线的向量是()A(2，0，4) B(3，6，12)C(1，1，2) D.答案：D 已知a(2，1，3)，b(4，5，x)，若ab，则x_答案：1 已知A点的坐标是(1，2，6)，B点的坐标是(1，2，6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是_答案：探究点1空间向量的坐标运算学生用书P61(1)已知a(2，1，2)，b(0，1，4)，求ab，ab，ab，(2a)(b)，(ab)(ab)；(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，1，2)，(4，5，1)，(2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标：()；()【解】(1)ab(2，1，2)(0，1，4)(20，11，24)(2，2，2)；ab(2，1，2)(0，1，4)(20，11，24)(2，0，6)；ab(2，1，2)(0，1，4)20(1)(1)(2)47；(2a)(b)2(ab)2(7)14；(ab)(ab)(2，2，2)(2，0，6)22202(6)8.(2)由题意知，(2，6，3)，(4，3，1)()(6，3，4)(3，2)，则点P的坐标为(3，2)设P(x，y，z)，则(x2，y1，z2)因为()(3，2)，所以解得x5，y，z0，则点P的坐标为(5，0)关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标 1.已知a(1，1，0)，b(0，1，1)，c(1，0，1)，pab，qa2bc，则pq()A1 B1C0 D.2解析：选A.因为pab(1，0，1)，qa2bc(0，3，1)，所以pq1003(1)11，故选A.2已知ABC中，A(2，5，3)，(4，1，2)，(3，2，5)，求顶点B、C的坐标及.解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以(x2，y5，z3)，(x1x，y1y，z1z)因为(4，1，2)，所以，解得，所以B的坐标为(6，4，5)因为(3，2，5)，所以，解得，所以C的坐标为(9，6，10)，(7，1，7)探究点2坐标形式下的平行与垂直学生用书P61已知空间三点A(2，0，2)、B(1，1，2)、C(3，0，4)设a，b.(1)设|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.【解】(1)因为(2，1，2)且c，所以设c(2，2)(R)，所以|c|3|3.解得1.所以c(2，1，2)或c(2，1，2)(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.变条件将本例(2)中“若kab与ka2b互相垂直”改为“若kab与akb互相平行”，其他条件不变，求k的值解：a(12，10，22)(1，1，0)，b(32，00，42)(1，0，2)，所以kab(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)akb(1，1，0)(k，0，2k)(1k，1，2k)，因为kab与akb平行，所以kab(akb)，即(k1，k，2)(1k，1，2k)，所以则或判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行(2)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行1.已知a(1，2，y)，b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1 Bx，y4Cx2，y D.x1，y1解析：选B.由题意知，a2b(2x1，4，4y)，2ab(2x，3，2y2)因为(a2b)(2ab)，所以存在实数，使a2b(2ab)，所以解得2已知空间三点O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BHOA，则点H的坐标为_解析：设H(x，y，z)，则(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1，1，0)因为BHOA，所以0，即xy10，又点H在直线OA上，所以，即，联立解得所以点H的坐标为.答案：探究点3向量夹角与长度的计算学生用书P62如图，直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，N是A1A的中点(1)求的模；(2)求cos，的值【解】如图，以C为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)所以|.(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)所以(1，1，2)，(0，1，2)，所以3，|，|.所以cos，.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算(4)转化：转化为夹角与距离问题已知空间三点A(1，2，3)，B(2，1，5)，C(3，2，5)求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值解：(1)因为(2，1，5)(1，2，3)(1，3，2)，(3，2，5)(1，2，3)(2，0，8)，所以| ，| 2.(2)因为(1，3，2)(2，0，8)12(3)02(8)14，所以cos，.因此，向量，夹角的余弦值为.1已知向量a(0，1，1)，b(4，1，0)，|ab|，且0，则()A2 B3C4 D.5解析：选B.ab(0，1，1)(4，1，0)(4，1，)，由已知得|ab|，且0，解得3.2已知点A(1，3，1)，B(1，3，4)，若2，则点P的坐标是_解析：设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)，则解得即P(1，3，3)答案：(1，3，3)3已知向量a(1，2，2)，b(2，4，4)，c(2，x，4)(1)判断a，b的位置关系；(2)若ac，求|c|；(3)若bc，求c在a方向上的投影的长解：(1)因为a(1，2，2)，b(2，4，4)，所以b2a，所以ab.(2)因为ac，所以，解得x4.所以c(2，4，4)，从而|c|6.(3)因为bc，所以bc0，即(2，4，4)(2，x，4)44x160，解得x5，所以c(2，5，4)所以c在a方向上的投影的长为|c|cosa，c|c|0. 学生用书P63知识结构深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a(x，y)而在空间中则表示为a(x，y，z)(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.学生用书P135(单独成册)A基础达标1已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则ab2c()A(9，3，0) B(0，2，1)C(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选C.ab2c(1，0，1)(2，1，1)(6，2，0)(3，1，0)(6，2，0)(9，3，0)2已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A2 B3C4 D.5解析：选B.设BC边的中点为D，则()(1，2，2)，所以|3.3若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，满足条件(ca)(2b)2，则x的值为()A2 B2C0 D.1解析：选A.因为ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)，所以(ca)(2b)2(1x)22x2.所以x2.4若ABC中，C90，A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，则k的值为()A. BC2 D.解析：选D.(6，1，2k)，(3，2，k)，则(6)(3)22k(k)2k2200，所以k.5(2018四川南充高二(下)月考)已知向量a(1，2，3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D.150解析：选C.ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，而|a|，所以cosa，c，a，c120.6已知点A(1，1，3)，B(2，2)，C(3，3，9)三点共线，则实数_，_解析：因为(1，1，23)，(2，2，6)，由A，B，C三点共线，得，即，解得0，0.答案：007在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC一定是_三角形解析：因为(3，4，8)，(5，1，7)，(2，3，1)，所以|，|5，|，所以|2|2|2，所以ABC一定为直角三角形答案：直角8若a(x，2，2)，b(2，3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，又|a|0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)9已知向量a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且ab，bc.(1)求向量a，b，c；(2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2，4，1)，b(2，4，1)又由bc得bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得z2，此时c(3，2，2)(2)由第一问得，ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为cos .10已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1，2)，B(1，2，1)，C(1，1，3)，D(3，5，3)，求证：四边形ABCD是一个梯形证明：因为(1，2，1)(3，1，2)(2，3，3)，(3，5，3)(1，1，3)(4，6，6)，且，所以与共线又因为AB与CD不共线，所以ABCD.又因为(3，5，3)(3，1，2)(0，4，1)，(1，1，3)(1，2，1)(2，1，2)，且，所以与不平行所以四边形ABCD为梯形B能力提升11从点P(1，2，3)出发，沿着向量v(4，1，8)方向取点Q，使|PQ|18，则Q点的坐标为()A(7，0，19)B(9，4，13)C(7，0，19)或(9，4，13)D(1，2，3)或(1，2，3)解析：选C.设Q(x0，y0，z0)，则v，即(x01，y02，z03)(4，1，8)由|PQ|18得 18，所以2，所以(x01，y02，z03)2(4，1，8)，所以或12已知O为坐标原点，(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：选C.设，则(1，2，32)，(2，1，22)，所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)23()2所以当时，最小，此时(，)，即点Q的坐标为(，)13已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求分别以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量，均垂直，且|a|，求向量a的坐标解：(1)因为(2，1，3)，(1，3，2)，所以|，|，所以cosBAC，所以S|sin 607.(2)设a(x，y，z)，则a2xy3z0，ax3y2z0，|a|x2y2z23，解得xyz1或xyz1，所以a(1，1，1)或(1，1，1)14(选做题)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.设ABAP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由解：因为PA平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PA