2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(浙江.理)含详解.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知是实数，是纯虚数，则= （A）1 （B）-1 （C） （D）-（2）已知U=R，A=,B=,则 （A） （B） （C） （D）（3）已知，b都是实数，那么“”是“b”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）在的展开式中，含的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知是等比数列，则=（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）（7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是 （A）3 （B）5 （C） （D）（8）若则= （A） （B）2 （C） （D）（9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D）（10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线二填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）已知0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=。（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点 若，则= 8 。（13）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则。（14）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 9/2 。关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。（15）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t= 1 。（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 40 （用数字作答)。（17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于 思路一：可考虑特殊情形，比如x0，可得a1；y0可得b1。所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。点P（a，b）确定的平面区域就是一个正方形，面积为1 。三解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？ （19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。 （）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。（20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。 （）求曲线C的方程； （）求出直线的方程，使得为常数。（21）（本题15分）已知是实数，函数。（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。（22）（本题14分）已知数列，记求证：当时，（）；（）；（）。2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分1A2D3D4A5C6C7D8B9C10B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分28分11121314 1511640171一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知是实数，是纯虚数，则=( A )（A）1 （B）-1 （C） （D）-解析：本小题主要考查复数的概念。由是纯虚数，则且故=1.（2）已知U=R，A=,B=,则 ( D ) （A） （B）（C） （D）解析：本小题主要考查集合运算。（3）已知，b都是实数，那么“”是“b”的( D )（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“b”既不能推出 “b”；反之，由“b”也不能推出“”。故“”是“b”的既不充分也不必要条件。（4）在的展开式中，含的项的系数是( A ) （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为（5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是( C )（A）0 （B）1 （C）2 （D）4解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为： =作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个.（6）已知是等比数列，则=( C )（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得 数列仍是等比数列:其首项是公比为所以, （7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D ) （A）3 （B）5 （C） （D）解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为，依题即，双曲线的离心率（8）若则=( B ) （A） （B）2 （C） （D）解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由可知，两边同时除以得平方得 ,解得或用观察法.（9）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是( C ) （A）1 （B）2 （C） （D）解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。展开则的最大值是;或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可. （10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( B )（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。 考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线 AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！ 还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！二填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）已知0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=_解析：本小题主要考查三点共线问题。 (舍负).（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点 若，则=_8_。解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线过椭圆的左焦点,在 中，又，（13）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_。解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即,（14）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于_。解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。（15）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_1_解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间0，3上的最大值为2，知解得检验时, 不符,而时满足题意.（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_40_（用数字作答)。解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，不同的安排方案共有种。（17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_1_。解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，恒成立，；同理，以,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.三解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？18本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力方法一：DABEFCHG（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，DABEFCyzx又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。 （）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分14分（）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到故白球有5个（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望（）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，故记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于故袋中红球个数最少（20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。 （）求曲线C的方程； （）求出直线的方程，使得为常数。本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15分（）解：设为上的点，则，到直线的距离为由题设得化简，得曲线的方程为（）解法一：ABOQyxlM设，直线，则，从而在中，因为，所以 .，当时，从而所求直线方程为解法二：设，直线，则，从而过垂直于的直线ABOQyxlMHl1因为，所以，当时，从而所求直线方程为（21）（本题15分）已知是实数，函数。（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。21本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分15分（）解：函数的定义域为，（）若，则，有单调递增区间若，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递