[高等教育]Matlab教程Ch.ppt

1,第5章 MATLAB符号运算,2,本章目标,理解符号运算的有关概念 掌握使用符号运算解决符号推导、微积分、方程等问题的方法,3,主要内容,5.1 数值运算与符号运算 5.2 符号变量和符号表达式 5.3 符号表示式的运算 5.4 微积分 5.5 方程求解,4,5,5.1数值运算与符号运算,数值运算在运算前必须先对变量赋值，再参加运算。 符号运算不需要对变量赋值就可运算，运算结果以标准的符号形式表达。,符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。,6,符号语言,引进字母表示，是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。 第一，用字母表示运算法则、运算定律以及计算公式。算法的一般化，深化和发展了对数的认识。 第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。 第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。,7,例如，交换律，结合律，分配律 例如，匀速运动中的速度v、时间t和路程s的关系是s=vt。 例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程。,8,“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”应从以下几个方面去理解。 第一，这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用数学式一般化地将它们表示出来。 第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某个未给出的或不易直观得到的值。 第三，用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。,9,用数学式表示是由特殊达到一般的过程，而由数学式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步体会字母表示数的意义。,10,另外，字母和表达式在不同场合有不同的意义。如： 5=2x+1表示x所满足的一个条件，事实上，x这里只占一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值； y=2x表示变量之间的关系，x是自变量，可以取定义域内任何数，y是因变量，y随x的变换而变化； （a+b）（ab）=ab表示一个一般化的算法，表示一个恒等式； 如果a和b分别表示矩形的长和宽，S表示矩形的面积，那么S=ab表示计算矩形面积公式，同时也表示矩形的面积随长和宽的变化而变化。,11,如果说数学是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式（如等式、不等式）就是这种语言的“句子”既然是语言，就会有相应的语法，数学的语法就是各种符号演算的法则和规定等只有学习、熟悉、掌握数学这种语言的语法，才能利用数学这种语言进行推理、计算、交流和理解问题,12,能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题（将问题用符号表示出来?符号化；选择算法，进行符号运算）,13,在某种意义上看来，符号感与数学运算是相辅相成的符号的运用成就了数学运算，反之，数学运算又促进了符号的运用没有数学运算的介入，符号将失去意义，更谈不上符号感的形成与发展所以，数学运算是符号感的发展和延续、是对符号感的补充与巩固符号感建立较好的学生，在数学运算中的理解、表述大都会较好，反之，数学运算的训练又会强化学生的符号感数学运算就是符号的运算，是更深层次的符号感的体现，它的逻辑性、抽象性对我们能力的培养及其后续发展有着不可替代的作用,14,5.2符号计算基础,5.2.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,15,例5.1考察符号变量和数值变量的差别。,在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,16,例5.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别,在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1) % 计算符号表达式值 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值,17,(2)syms函数 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,18,2. 建立符号表达式 例6.3用两种方法建立符号表达式。 在MATLAB窗口，输入命令： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V 2*U-V+6 %求符号表达式的值,19,例5.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 命令如下： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,20,例5.5建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y);,21,5.2.2 基本的符号运算,1. 符号表达式运算 (1)符号表达式的四则运算 例5.6符号表达式的四则运算示例。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %符号表达式的结果为最简形式 f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y),22,(2)因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,23,例5.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3; factor(A) %对A的每个元素分解因式,24,例5.8 计算表达式S的值。 命令如下： syms x y; s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); expand(s) %对s展开 collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项) factor(ans) % 对ans分解因式,25,(3)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例5.9化简 命令如下： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果,26,2. 符号矩阵运算 transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。 determ(S) 返回S矩阵的行列式值。 colspace(S) 返回S矩阵列空间的基。 Q,D=eigensys(S) Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。,27,5.2.3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,28,5.2 符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式在使用前必须说明 sym函数 f1=sym(ax2+bx+c) %创建符号变量f1和一个符号表达式 syms函数 clear syms a b c x whos Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object x 1x1 126 sym object,29,5.3 符号表示式的运算,5.3.1算术运算 clear f1 = sym(1/(a-b) ); f2 = sym(2*a/(a+b) ); f3 = sym( (a+1)*(b-1)* (a-b) ); f1+f2 %符号和 ans = 1/(a-b)+2*a/(a+b) f1*f3 %符号积 ans = (a+1)*(b-1) f1/f3 %符号商 ans = 1/(a-b)2/(a+1)/(b-1),30,5.3.2 函数运算,1合并、化简、展开等函数 collect函数：将表达式中相同幂次的项合并； factor函数：将表达式因式分解； simplify函数：利用数学中的函数规则对表达式进行化简； numden函数：将表示式从有理数形式转变成分子与分母形式。 2反函数 finverse（f,v） 对指定自变量为v的函数f(v)求反函数 3复合函数 compose(f,g) 求f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y) compose(f,g,z) 求 f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z) 4表达式替换函数 subs(s) 用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量 subs (s, old, new) 用符号或数值变量new替换s中的符号变量old,31,例,clear f1 =sym(exp(x)+x)*(x+2); f2 = sym(a3-1); f3 = sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5); f4 = sym(sin(x)2+cos(x)2); collect(f1) ans = x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x) expand(f1) ans = exp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x factor(f2) ans = (a-1)*(a2+a+1) m,n=numden(f3) %m为分子，n为分母 m = 1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4 n = a4 simplify(f4) ans = 1,32,例,clear syms x y finverse(1/tan(x) %求反函数，自变量为x ans = atan(1/x) f = x2+y; finverse(f,y) %求反函数，自变量为y ans = -x2+y clear syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) %求f = f(x) 和 g = g(y)的复合函数f(g(y) ans = 1/(1+sin(y)2),33,例,clear syms a b subs(a+b,a,4) %用4替代a+b中的a ans = 4+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) %多重替换 ans = cos(alpha)+sin(2) f=sym(x2+3*x+2) f = x2+3*x+2 subs(f, x, 2) %求解f当x=2时的值 ans = 12,34,5.4 微积分,5.4.1极限,35,36,5.4.2 微分,diff(f) 求表达式f对默认自变量的一次微分值； diff(f, t) 求表达式f对自变量t的一次微分值； diff(f,n) 求表达式f对默认自变量的n次微分值； diff(f,t,n) 求表达式f对自变量t的n次微分值。,37,38,5.4.3 积分,int(f) 求表达式f对默认自变量的积分值； int(f, t) 求表达式f对自变量t的不定积分值； int(f, a, b) 求表达式f对默认自变量的定积分 值，积分区间为a,b； int(f, t, a, b) 求表达式f对自变量t的定积分值，积 分区间为a,b,39,40,5.5 方程求解,5.5.1数学方程 数学方程的求解由函数solve实现： solve(f) 求解符号方程式f solve(f1,fn) 求解由f1,fn组成的数学方程组 5.5.2常微分方程