高等教育出版社,量子力学教程第二版课后答案,周世勋,陈灏着.pdf

1 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m 与温度 T 成反比，即 m T=b（常量） ； 并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 = ， （1） 以及 cv =， （2） ddv vv =， （3） 有 , 1 18 )( )( 5 = = = = kT hc v v e hc c d c d d dv 这里的 的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。 本题关注的是取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对的一 阶导数为零， 由此可求得相应的的值， 记作 m 。 但要注意的是， 还需要验证 对的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就 是要求的，具体如下： 2 0 1 1 5 1 18 6 = + = kT hc kT hc e kT hc e hc 0 1 1 5= + kT hc e kT hc kT hc e kT hc = )1 (5 如果令x= kT hc ，则上述方程为 xe x = )1 (5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此 解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = 把x以及三个物理常量代入到上式便知 KmT m = 3 109 . 2 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。 12 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ 2 cE e h 由于(1)、(3)方程中，由于=)(xU，要等式成立，必须 0)( 1 =x 0)( 2 =x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为0)( 2)( 2 22 2 2 =+x mE dx xd h 令 2 2 2 h mE k=，得 0)( )( 2 2 2 2 2 =+xk dx xd 其解为 kxBkxAxcossin)( 2 += 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 )0()0( 12 = )()( 32 aa= 0= B 0sin=kaA ), 3 , 2 , 1( 0sin 0 L Q = = nnka ka A x a n Ax sin)( 2 = 11 由归一化条件 1)( 2 = dxx 得 1sin 0 22 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sinsin x a n a x a A sin 2 )( 2 2 = = 2 2 2 h Q mE k= ), 3 , 2 , 1( 2 2 2 22 L h =nn ma En 可见E是量子化的。 对应于 n E 的归一化的定态波函数为 = ax axU xU , 0 , 0 )( 0 运动，求束缚态( 0 0UE ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 = = = = = = = 0 222 2 )(1dxexAdxx x 2 3 4 1 A = = = = 2/3 2 = = = =A x xex 22/3 2)( = = = = )0( x 0)(= = = =x )0( U，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为 ，方向沿轴负向，则总势能为 )0( )( = = = =xxexV ， 0 V 0 ）（）（ = = = =xxeUx 势能曲线如图所示。则透射系数为 ) (2 2 exp 1 2 0 x x dxExeUD h 式中E为电子能量。0 1 = = = =x， 2 x由下式确定 0) (2 0 = = = = = = = =ExeUp e EU x = = = = 0 2 令 20 sin e EU x = = = =，则有 )(2 3 2 ) 3 cos ( )(22 sin2)(2) (2 0 0 2 0 3 0 0 2 0 20 00 1 2 EU e EU EU e EU d e EU EUdxExeU x x = = = = = = = = = = = = 透射系数 )(2 3 2 exp 0 0 EU e EU D h 5指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 2 2 2 4 dx d x； 2 ； = = = = n K 1 解： 2 2 2 4 dx d x是线性算符 46 2 2 2 2 21 2 2 2 1 22 2 2 2 11 2 2 2 2211 2 2 2 44 )(4)(4)(4 u dx d xcu dx d xc uc dx d xuc dx d xucuc dx d x + + + + = = = = + + + += = = =+ + + +Q 2 不是线性算符 2 22 2 11 2 2 2 22121 2 1 2 1 2 2211 2 ucuc ucuuccucucuc + + + + + + + + + + += = = =+ + + +Q = = = = n K1 是线性算符 = = = = = = = = = = = = = = = = + + + += = = =+ + + += = = =+ + + + N K N K N K N K n K ucucucucucuc 1 22 1 11 1 22 1 11 1 2211 6指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 2 2 4 dx d dx d i dx d ， 不是厄米算符不是厄米算符不是厄米算符不是厄米算符 ，当当当当 解解解解： dx d dx dx d dx dx d dx dx d dx dx d x dx dx d dx dx d *)( *)( * * 00 * * * - = = = = = = = = = = = = 是厄米算符是厄米算符是厄米算符是厄米算符 dx d i dx dx d idx dx d i dx dx d iidx dx d i = = = = = = = = = = = = *)( *)( * * * - 47 是厄米算符是厄米算符是厄米算符是厄米算符 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 2 4 *)4( *4 * 4 * 4 * 4 * 4 *4 4* dx d dx dx d dx dx d dx dx d dx d dx dx d dx d dx dx d dx d dx d dx dx d = = = = = = = = + + + += = = = = = = = = = = = 7、下列函数哪些是算符 2 2 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ 2 x， x e， xsin， xcos3， xxcossin+ + + + 解：2)( 2 2 2 = = = =x dx d 2 x不是 2 2 dx d 的本征函数。 xx ee dx d = = = = 2 2 x e不是 2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为 1。 xx dx d x dx d sin)(cos)(sin 2 2 = = = = = = = 可见，xsin是 2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 )cos3(cos3)sin3()cos3( 2 2 xxx dx d x dx d = = = = = = = = xcos3 是 2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 )cos(sin cossinsin(cos)cos(sin 2 2 xx xxxx dx d xx dx d + + + + = = = = = = = = = = = =+ + + +） xxcossin+ + + +是 2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 48 8、试求算符 dx d ieF ix = = = = 的本征函数。 解：F 的本征方程为 FF= = = = c dx d Fe dx d Fed dx d FeddxiFe d F dx d ie ix ixixix ix lnln )()( + + + + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 即即即即 ix Fe ce = = = = （FF是是是是 的本征值） 9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的 表达式。 解： = = = = 2 , 2 , 0 )( a x a x xU 方程（分区域） ： ： = = = =)(xU 0)(= = = =x I ) 2 ( a x ： = = = =)(xU 0)(= = = =x III ) 2 ( a x ： II II E dx d = = = = 2 22 2 h 0 2 22 2 = = = =+ + + + II II E dx d h 令 2 2 2 h E k = = = = 49 0 2 2 2 = = = =+ + + + II II k dx d )sin( + + + += = = =kxA II 标准条件： = = = = = = = = ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( aa aa IIIII III 0)sin(= = = =+ + + + kxA 0 A 0)sin(= = = =+ + + + kx 取 0 2 = = = = a k ， 即 2 a k= = = = ) 2 (sin)( a xkAx II + + + += = = = 0sin= = = =kaA 0sin = = = =ka nka = = = = ) , 2 , 1(L= = = =n n a k = = = = 粒子的波函数为 + + + + = = = = 2 , 0 2 ), 2 (sin )( a x a x a x a n A x 粒子的能级为 a kn kE 22 222 2 2 = = = = = = = h ) , 3 , 2 , 1(L= = = =n 由归一化条件，得 + + + += = = = = = = 2/ 2/ 22 2 ) 2 (sin)(1 a a dx a x a n Adx + + + + = = = = 2/ 2/ 2 ) 2 ( 2 cos1 2 1 a a dx a x a n A + + + + = = = = 2/ 2/ 22 ) 2 ( 2 cos 2 a a dx a x a n A a A 50 2 2 22 ) 2 ( 2 sin 22 a a a x a n n a AA a + + + + = = = = 2 2 A a = = = = a A 2 = = = = 粒子的归一化波函数为 + + + + = = = = 2 , 0 2 ), 2 (sin 2 )( a x a x a x a n a x 10、证明：处于 1s、2p 和 3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分 别为 000 94aaa、的球壳处的几率最（ 0 a为第一玻尔轨道半径） 。 证：drrRdrrs 2 2 1010 )( :1= = = = drre a ar2/23 0 0 4) 1 ( = = = = 0 /223 0 10 4) 1 ()( ar er a r = = = = 0 /22 0 3 0 10 ) 2 2() 1 (4 ar er a r adr d = = = = 0 /2 0 3 0 ) 1 1() 1 (8 ar rer aa = = = = 令 0 10 = = = = dr d ，则得 0 11 = = = =r 011 ar= = = = )1() 2 1() 1 (8 0 /2 000 3 0 2 10 2 ar e a r a r r aadr d = = = = ) 24 1() 1 (8 0 /2 2 0 2 0 3 0 ar e a r a r a + + + + = = = = 51 0 0 2 10 2 11 = = = =r dr d 0 11 = = = =r为几率最小处。 0 011 2 10 2 dr d 0= = = =r为几率最小位置。 0 3 2 6 7 0 2 3232 98415 8 )( :3 a r er a Rrd = = = = = = = 0 3 2 5 0 7 0 32 ) 3 2 5( 98415 8 a r er a r adr d = = = = 令 0 32 = = = = dr d ，得 , 0 31 = = = =r 032 9ar= = = = 52 同理可知 0 31 = = = =r为几率最小处。 032 9ar= = = =为几率最大处。 11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解： 22 2 1 1 2 2 )( x xex = = = = 22 2 3 2 11 2 )()( x exxx = = = = = = = 22 )( 4 32 3 1x exx dx d = = = = 22 )1( 4 22 3 x xex = = = = 22 )251( 4 4422 3 2 1 2 x exx dx d + + + + = = = = 令 0 1 = = = = dx d ，得 0 1 = = = =x， 0 0 2 2 1 xx = = = = = = = = = = = = h 0 0 2 1 2 1 = = = =x dx d ， 0 1 = = = =x为几率最小处。 0 2 1 2 1 2 2 t时处于弱电场 / 0 t e = = = =之中( 为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。 解：取电场方向为x轴正方向，则有 / t xeexeH = = = = = = = = 22 2 1 0 x e = = = = 22 2 1 1 2 x xe = = = = = = = = dxtHH 0 * 110 )( = = = =dxxeee tx )( 2 / 0 2 22 = = = =dxexe e xt 22 2/ 2 0 2 2 2 2222 22 / 2 0 + + + + = = = =dxe x e x e e xxt + + + += = = =dxee e xt 22 2 / 2 0 1 2 /0/ 22 tt e e e e = = = = = = = = = = = t ti t deH i ta 0 101 mk 1 )( h 81 = = = = t t ti t de i e 0 ) ( 0 2 h )1( ) 1 ( 1 2 ) ( 0 = = = = t ti e i i e h 当经过很长时间以后，即当 t时，0 / t e。 ) 1( 2 )( 0 1 = ii e ta h ) 1(2 )( 2222 22 0 2 2 110 + = h e ta ) 1(2 22 22 0 2 + = h e 实际上在5t以后即可用上述结果。 # 第七章 自旋与全同粒子 7.1.证明：i zyx = = = = 证：由对易关系 zxyyx i 2= = = = 及 反对易关系0= = = =+ + + + xyyx ， 得 zyx i = = = = 上式两边乘 z ，得 2 zzyx i = = = = 1 2 = = = = z i zyx = = = = 7.2 求在自旋态)( 2 1 z S中， x S 和 y S 的测不准关系： ?)()( 22 = = = = yx SS 82 解：在 z S 表象中)( 2 1 z S、 x S 、 y S 的矩阵表示分别为 = 0 1 )( 2 1 z S = = = = 01 10 2 h x S = 0 0 2 i i Sy h 在)( 2 1 z S态中 0 0 1 01 10 2 )0 1 ( 2 1 2 1 = = + h xx SS 40 1 01 10 201 10 2 )0 1 ( 2 22 2 1 2 1 hhh = = + xx SS 4 )( 2 2 22 h = xxx SSS 0 0 1 0 0 2 )0 1 ( 2 1 2 1 = = + i i SS yy h 40 1 0 0 20 0 2 )0 1 ( 2 22 2 1 2 1 hhh = = + i i i i SS yy 4 )( 2 2 22 h = yyy SSS 16 )()( 4 22 h = yx SS 讨论：由 x S 、 y S 的对易关系 x S ， y S z Si h= = = = 要求 4 )()( 2 2 22z yx S SS h 16 )()( 4 22 h = yx SS 在)( 2 1 z S态中， 2 h = = = = z S 16 )()( 4 22 h yx SS 可见式符合上式的要求。 83 7.3.求 = = = = = = = = 0 0 2 01 10 2 i i SS yx hh 及及及及的本征值和所属的本征函数。 解： x S 的久期方程为 0 2 2 = = = = h h 2 0) 2 ( 22 hh = = = = = = = x S 的本征值为 2 h 。 设对应于本征值 2 h 的本征函数为 = 1 1 2/1 b a 由本征方程 2/12/1 2 h = x S ，得 = 1 1 1 1 201 10 2b a b a hh 11 1 1 1 1 ab b a a b = = 由归一化条件 1 2/12/1 = + ，得 1),( 1 1* 1 * 1 = a a aa 即 12 2 1 =a 2 1 2 1 11 =ba 对应于本征值 2 h 的本征函数为 = 1 1 2 1 2/1 设对应于本征值 2 h 的本征函数为 = 2 2 2/1 b a 由本征方程 = 2 2 2/12/1 2 b a Sx h 22 2 2 2 2 ab b a a b = = 84 由归一化条件，得 1),( 2 2* 2 * 2 = a a aa 即 12 2 2 =a 2 1 2 1 22 =ba 对应于本征值 2 h 的本征函数为 = 1 1 2 1 2/1 同理可求得 y S 的本征值为 2 h 。其相应的本征函数分别为 = i 1 2 1 2 1 = i 1 2 1 2 1 7.4 求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影 cos cos cos zyxn SSSS+= 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量 z S 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出 现？ z S 的平均值是多少？ 解：在 z S 表象， n S 的矩阵元为 cos 10 01 2 cos 0 0 2 cos 01 10 2 + + = hhh i i Sn + = coscoscos coscoscos 2i i Sn h 其相应的久期方程为 0 cos 2 )cos(cos 2 )cos(cos 2 cos 2 = + hh hh i i 即0)cos(cos 4 cos 4 22 2 2 2 2 =+ hh 85 0 4 2 2 = h ) 1coscoscos( 222 =+利用 2 h = 所以 n S 的本征值为 2 h 。 设对应于 2 h = = = = n S的本征函数的矩阵表示为 = b a Sn)( 2 1 ，则 = + b a b a i i 2coscoscos coscoscos 2 hh bbia=+cos)cos(cos cos1 coscos + + = i b 由归一化条件，得 22 * ),(1 2 1 2 1 ba b a ba+= = + 1 cos1 coscos2 2 2 = + + +a i a 1 cos1 22 = + a + + + = )cos1 (2 coscos 1 cos1 )( 2 1 i Sn + + + = )cos1 (2 coscos 1 cos1 )( 2 1 i Sn 2 1 2 1 )cos1 (2 coscos 2 cos1 1 0 )cos1 (2 coscos 0 1 2 cos1 )( 2 1 + + + + = + + + + = i i Sn 86 2 1 2 1 )cos1 (2 coscos 2 cos1 1 0 )cos1 (2 coscos 0 1 2 cos1 )( 2 1 + + + + = + + + + = i i Sn 可见， z S 的可能值为 2 2 hh 相应的几率为 2 cos1+ 2 cos1 )cos1 (2 coscos 22 = + + cos 22 cos1 22 cos1 2 hhh = + = z S 同理可求得 对应于 2 h = n S的本征函数为 + = )cos1 (2 coscos 2 cos1 )( 2 1 i Sn 在此态中， z S 的可能值为 2 2 hh 相应的几率为 2 cos1 2 cos1+ cos 2 h = z S 7.5设氢的状态是 = ),()( 2 3 ),()( 2 1 1021 1121 YrR YrR 求轨道角动量z分量 z L 和自旋角动量z分量 z S 的平均值； 求总磁矩 S e L e M 2 rrr = 87 的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示） 。 解：可改写成 = 1 0 ),()( 2 3 0 1 ),()( 2 1 10211121 YrRYrR zz SYrRSYrR(),()( 2 3 )(),()( 2 1 2 11021 2 11121 = 从的表达式中可看出 z L 的可能值为 h 0 相应的几率为 4 1 4 3 4 h = z L z S 的可能值为 2 h 2 h 相应的几率 2 i C为 4 1 4 3 44 3 24 1 2 2hhh = ziiz SCS ) 4 ( 422 hh = ee S e L e M zzz B M e 4 1 42 = h 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两 个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波 函数构成？ 解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为 i ， j ，则体系可能的状态为 )()()( 3211 qqq iii = )()()( 3212 qqq jjj = 88 )()()( )()()()()()( 3 1 132 2313213 qqq qqqqqq jii jiijii + += )()()( )()()()()()( 3 1 132 2313214 qqq qqqqqq ijj ijjijj + += 7.7 证明 )3()2() 1( , SSS 和 A 组成的正交归一系。 解：)()()()( 22/112/122/112/1 ) 1() 1( zzzzSS SSSS + = )()()()( 22/112/112/122/1zzzz SSSS + = 1 )()( 22/122/1 = = + zz SS )()()()( 22/112/122/112/1 )2() 1( zzzzSS SSSS + = )()()()( 22/112/112/122/1zzzz SSSS + = =0 )()()()( )()( 2 1 22/112/122/112/1 22/112/1 )3() 1( zzzz zzSS SSSS SS + + = )()()()( )()()()( 2 1 22/112/112/122/1 22/112/112/122/1 zzzz zzzz SSSS SSSS + + + += 0)()( 2 1 22/122/1 += + zz SS 同理可证其它的正交归一关系。 )()()()( )()()()( 2 1 22/112/122/112/1 22/112/122/112/1 )3()3( zzzz zzzzSS SSSS SSSS + + + += )()()()( 2 1 22/112/122/112/1zzzz SSSS + = )()()()( 2 1 12/122/122/112/1zzzz SSSS + + 89 )()()()( 2 1 12/112/112/122/1zzzz SSSS + + )()()()( 2 1 12/122/112/122/1zzzz SSSS + + 1 2 1 00 2 1 =+= 7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是 22 2 1 )(rrU=。如果 电子之间的库仑能和)(rU相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处 于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程 )()()()( 2 2 rErrUr =+ h )()( 2 1 )()( 2 22 2 2 2 2 2 22 rErrr zyx =+ + + h )()( 2 1 )()( 2 22 2