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第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值试题 理 北师大版(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a()A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)3x212,x0,2x2时,f(x)2时,f(x)0,x2是f(x)的极小值点.答案D2.函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B.1 C.0 D.不存在解析f(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,即a23a180,a6或a0时,f(x)2x0;当x0时,f(x)3x233(x1)(x1),当x0,f(x)是增函数,当1x0时,f(x)0时,ex1,aex0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若400,求f(x)在(0,)内的极值.解(1)由题意可知xr,所求的定义域为(,r)(r,).f(x),f(x).所以当xr时,f(x)0;当rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(,r),(r,);f(x)的单调递增区间为(r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,)上单调递减.因此,xr是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,)内的极大值为f(r)100,f(x)在(0,)内无极小值;综上,f(x)在(0,)内极大值为100,无极小值.10.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,).(2)当k10,即k1时,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当0k11,即1k2时,f(x)在0,k1上单调递减,在k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1;当k11,即k2时,f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上,当k1时,f(x)在0,1上的最小值为f(0)k;当1k0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,若tab,则t的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.9解析f(x)12x22ax2b,则f(1)122a2b0,则ab6,又a0,b0,则tab9,当且仅当ab3时取等号.答案D12.(2017上饶调研)若函数f(x)x3x2在区间(a,a5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.5,0) B.(5,0)C.3,0) D.(3,0)解析由题意,f(x)x22xx(x2),故f(x)在(,2),(0,)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其图像如图所示.令x3x2得,x0或x3,则结合图像可知,解得a3,0),故选C.答案C13.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_.解析令f(x)3x23a0,得x,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1).答案(1,1)14.(2017济南模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)若当x1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.解(1)f(x)2x,依题意,有f(1)0,故a.从而f(x),且f(x)的定义域为,当x0;当1x时,f(x)时,f(x)0.f(x)在区间,上单调递增,在上单调递减.(2)f(x)的定义域为(a,),f(x).方程2x22ax10的判别式4a28,若0,即a时,f(x)
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