2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲曲线与方程讲义理（含解析）.docx

第8讲曲线与方程考纲解读1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题(重点)2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：根据曲线确定方程，可用待定系数法；求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点预测2020年高考将会有以下两种命题方式：用定义法求曲线的方程；由已知条件直接求曲线的方程题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上考查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.求曲线方程的基本步骤1概念辨析(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析(2x，y)，(3x，y)，则(2x)(3x)(y)2x26，化简得y2x，轨迹为抛物线(2)方程x所表示的曲线是()A双曲线的一部分 B椭圆的一部分C圆的一部分 D直线的一部分答案B解析x 两边平方，可变为x24y21(x0)，表示的曲线为椭圆的一部分(3)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.(4)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案x2y24(y0)解析由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M，N两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r|MN|2，所以点P的轨迹方程是x2y24(y0)题型 定义法求轨迹方程1过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ax212y By212xCy212x Dx212y答案A解析由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，其方程为x212y.2如图所示，已知点C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解由(x)2y24知圆心C(，0)，半径r2.0，2，MQAP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2.又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线由c，a1，得b21，由此点Q的轨迹方程为x2y21.条件探究若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x)2y24”改为“圆C的方程(x)2y216”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程解由(x)2y216知圆心C(，0)，半径r4.0，2，QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|r4.根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆由c，a2，得b.因此点Q的轨迹方程为1.定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制见巩固迁移 ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆的圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_答案1(x3)解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)题型 直接法求轨迹方程1(2018豫北名校联考)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_答案(x10)2y236(y0)解析设A(x，y)，由题意可知D.又|CD|3，229，即(x10)2y236，由于A，B，C三点不共线，点A不能落在x轴上，即y0，点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)2已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且过点P所引的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解(1)由题意，得c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点如举例说明1.(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形 1(2018银川模拟)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1.又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.故选D.2已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|.又|O1A|，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.题型 相关点法(代入法)求轨迹方程1动点P在抛物线y2x21上移动，若P与点Q(0，1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为()Ay2x2 By4x2Cy6x2 Dy8x2答案B解析设M(x，y)，P(x0，y0)，因为P与点Q(0，1)连线的中点为M，所以x02x，y02y1，又因为点P在抛物线y2x21上移动，所以2y12(2x)21，即y4x2.故选B.2如图，已知P是椭圆y21上一点，PMx轴于M.若.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求的值解(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且xx1，(xx1，yy1)(0，yy1)，(x1x，y)(0，y)，由得(0，yy1)(0，y)yy1y，即y1(1)y.P(x1，y1)在椭圆y21上，则y1，(1)2y21，故(1)2y21即为所求的N点的轨迹方程(2)要使点N的轨迹为圆，则(1)2，解得或.所以当或时，N