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学科教育论文浅谈导数的应用【摘要】导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以解析几何相联系，可以在知识的网络交汇处设计问题。因此，在教学中，要突出导数的应用。【关键词】导数；应用；函数；不等式【ABSTRACT】THEDERIVATIVEWIDESPREADAPPLICATION,SOLVEDTHEFUNCTIONPROBLEMFORUSTOPROVIDETHEPOWERFULTOOL,MIGHTSOLVEINTHEFUNCTIONMOSTVALUEPROBLEMWITHTHEDERIVATIVE,THEINEQUALITYQUESTION,BUTMIGHTALSOTHEANALYTICGEOMETRYRELATE,MIGHTINTHEKNOWLEDGENETWORKINTERSECTIONPOINTDESIGNQUESTIONTHEREFORE,INTHETEACHING,MUSTHIGHLIGHTTHEDERIVATIVETHEAPPLICATION【KEYWORDS】DERIVATIVE；USING；FUNCTION；INEQUALITY导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用，谈一点个人的感悟和体会。1以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律，由于受作图的局限性，这种规律的揭示有时往往不尽人意导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间。例1（2007浙江卷）设是函数FX的导函数，将YFXF′X和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）例22005江西卷已知函数YXF′X的图象如右图所示（其中F′X）是函数FX的导函数，下面四个图象中YFX的图象大致是（C）分析由图象知，F′1F′10，所以X1是函数FX的极值点，又因为在（1，0）上，F′X0，在0,1上，F′X0，因此在1，1上，FX单调递减，故选C。2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。例3已知FXX3BX2CXD是定义在R上的函数,其图象交X轴于A、B、C三点,点B的坐标为2,0,且FX在［1，0］和［0，2］有相反的单调性①求C的值②若函数FX在［0，2］和［4，5］也有相反的单调性,FX的图象上是否存在一点M,使得FX在点M的切线斜率为3B若存在,求出M点的坐标若不存在,说明理由分析①F′X3X22BXC，∵FX在［1，0］和［0，2］有相反的单调性∴X0是FX的一个极值点,故F′00∴C0②令F′X0得3X22BX0，X10,X2因为FX在［0，2］和［4，5］有相反的单调性,∴F′X在［0，2］和［4，5］有相反的符号故2≤2B3≤4，6≤B≤3假设存在点MX0,Y0使得FX在点M的切线斜率为3B,则F′X03B即3X022BX03B0∵△4B2433B4BB9,而F′X03B∴△0故不存在点MX0,Y0使得FX在点M的切线斜率为3B3证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为FX＞0（＜0）再通过求FX的最值，实现对不等式证明，导数应用为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性。例4（1）求证当A≥1时，不等式对于N∈R恒成立（2）对于在（0,1）中的任一个常A，问是否存在X00使得EX0X01AX022EX0成立如果存在，求出符合条件的一个X0；否则说明理由。分析（1）证明Ⅰ在X≥0时，要使EXX1≤AX2E｜X｜2成立。只需证EX≤A2X2EXX1即需证1≤A2X2X1EX①令YXA2X2X1EX，求导数Y′XAX1EXX1EXEX2AXXEX∴Y′XXA1EX，又A≥1，求X≥0，故Y′X≥0∴FX为增函数，故FX≥Y01，从而①式得证（Ⅱ）在时X≤0时，要使EXX1≤AX2E｜X｜2成立。只需证EX≤A2X2EXX1，即需证1≤AX22E2XX1EX②令MXAX22E2XX1EX，求导数得M′XXE2X［EXAX1］而ΦXEXAX1在X≤0时为增函数故ΦX≤Φ01A≤0，从而MX≤0∴MX在X≤0时为减函数，则MX≥M01，从而②式得证由于①②讨论可知，原不等式EXX1≤AX2E｜X｜2在A≥1时，恒成立（2）解EX0X01≤AX02｜X｜2EX0将变形为AX022X01EX010③要找一个X00，使③式成立，只需找到函TXAX22X1EX1的最小值，满足TXMIN0即可，对TX求导数T′XXA1EX令T′X0得EX1A，则XLNA，取X0LNA在0XLNA时，T′X0，在XLNA时，T′X0TX在XLNA时，取得最小值TX0A2LNA2ALNA11下面只需证明A2LNA2ALNAA10，在0A1时成立即可又令PAA2LNA2ALNAA1，对PA关于A求导数则P′A12LNA2≥0，从而PA为增函数则PAP10，从而A2LNA2ALNAA10得证于是TX的最小值TLNA0因此可找到一个常数X0LNA0A1，使得③式成立最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式转化的思想构造一个函数，（函数的思想方法）然后求这个函数的极（最）值，应用恒成立关系就可以证明，对于应用导数解决实践问题，关键是建立恰当的数学模型。4求曲线YF（X）在点（X0，Y0）处的切线的斜率，运用导数的几何意义函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。例5已知函数FXLNX，GX12X2AA为常数，若直线L与YFX和YGX的图象都相切，且L与YFX的图象相切于定点P（1，F（1））（1）求直线L的方程及A的值；（2）当K∈R时，讨论关于X的方程FX21GXK的实数解的个数分析（1）∵F′X，∴F′11∴K11,又切点为P（1，F（1），即（1，0）∴L的解析式为YX1，∵L与YGX相切，由YX1Y12X2A,消去Y得X22X2A20∴△（2）24（2A2）0，得A12（2）令H（X）FX21GXLNX2112X212∵H′X2X1X2XXX1X11X2，则H′X0，HX为增函数，1＜X＜0或X＞1时，H′X0，HX为减函数。故X1时，H（X）取极大值LN2，X0时，H（X）取极小值12。因此当K∈LN2，∞），原方程无解；当KLN2时，原方程有两解；当12＜K＜LN2时，原方程有四解；当K12时，原方程有三解；当K＜12时，原方程有两解。5利用导数求函数极（最）值解答这类问题的方法是①根据求导法则对函数求出导数。②令导数等于0，解出导函数的零点。③分区间讨论，得出函数的单调区间。④判断极值点，求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较，求出最值。例6设X1、X2是函数FXAX3BX2A2XA0的两个极值点（1）若X11,X22，求函数FX的解析式；（2）若｜X1｜｜X2｜22，求FX的最大值；分析（1）∵FXAX3BX2A2XA0，∴F′XAX3BX2A2XA0
