2019届高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用学案理北师大版.docx

2.9函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增加的增加的增加的增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是减少的(2)当x0时，x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()题组二教材改编2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元答案D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为(406030305060)45(万元)，故D错误3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件答案18解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 答案3解析设隔墙的长度为x(0x0，当p(30，)时，L(p)0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元答案4.24解析m6.5，m6，则f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是 万元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.则当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.答案19解析由图像可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 元答案95解析设每个售价定为x元，则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225当x95时，y最大命题点2构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0x0)型函数典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 答案5解析根据图像求得y(x6)211，年平均利润12，x10，当且仅当x5时等号成立要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x .答案2解析由题意可得BC，y26.当且仅当(2x0，解得x2.3，x为整数，3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.y(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x11532(6185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤 次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)答案8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%n0.1%，即n，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是 答案300解析由题意，总利润y当0x400时，y(x300)225 000，所以当x300时，ymax25 000；当x400时，y60 000100x20 000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元函数应用问题典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论规范解答解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W4分(2)当040时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以此时W的最大值为5 760.10分综合知，当x32时，W取得最大值6 104万美元12分解函数应用题的一般步骤：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dyx答案B解析由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()答案A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元(x280)，则有(p0.25)%，解得x320.故该公司的年收入为320万元4(2018湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2017年 B2018年C2019年 D2020年答案D解析设从2016年起，过了n(nN)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，则n3.8，由题意取n4，则n2 0162 020.故选D.5某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3答案A解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.6某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.1(10.5)232.因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元7某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k ，经过5小时，1个病毒能繁殖为 个答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，2e，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.8西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L(x0)则当年广告费投入 万元时，该公司的年利润最大答案4解析由题意得L221.5，当且仅当，即x4时等号成立当0，即x4时，L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.答案20解析设内接矩形另一边长为y m，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x50，所以这两位同学会影响其他同学休息12某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到150.1x万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，此时每套供货价格为3032(元)，书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0x150.依题意，单套丛书利润Pxx30，所以P120.因为0x0，则(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，此时，Pmax20120100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，总费用最小答案40解析设每小时的总费用为y元，则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为Wy(0.06v296)0.6v248，当且仅当0.6v，即v40时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系数x .答案解析由题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.15(2018潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位