中央财经大学王义东2004-2005(上)概率统计教案(1).ppt

,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , .,为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,第二章 第二节 离散型随机变量,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,一、离散型随机变量概率分布的定义,解: 依据概率分布的性质:,a0,从中解得,欲使上述函数为概率分布,应有,二、表示方法,（1）列表法：,（2）公式法,X,三、举例,例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X可取0、1、2为值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,常常表示为：,这就是X的概率分布.,例 4,如上图所示.电子线路中装有两个并联的继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机性,且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8,记X为线路中接通的继电器的个数. 求:(1)X的分布律. (2)线路接通的概率.,解:,(1).记Ai=第i个继电器接通,i=1,2. 两个继电器是否接通是相互独立的, A1和A2相互独立,另外P(A1)=P(A2)=0.8.下面求X的分布律. 首先:X可能取0,1,2,三个值. PX=0=P表示两个继电器都没接通,转下页,PX=1=P恰有一个继电器接通,PX=2=P两个继电器都接通, X的分布律为,2) 是并联电路 P(线路接通) =P(只要一个继电器接通)=PX1 =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96.,(二)常见的离散型随机变量的概率分布,(I) 两点分布,(,设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用=1, 2表示其样本空间. P(1)=p , P(2)=1-p,来源,X()=,1, = 1 0, = 2,200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定,例 5,X()=,1, 取到合格品 0, 取到不合格品,则 PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X B(1,0.98).,例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,(II),我们来求X的概率分布.,X的概率分布是：,男,女,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p.,X可取值0,1,2,3,4.,例7 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数,X的概率分布是：,不难求得，,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.,新生儿：“是男孩”，“是女孩”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 ),这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.,每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p.,用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次试验相互独立.,例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.,解: 设X为20只灯泡中次品的个数 ,则.,X B (20, 0.2)，,(见新版书上P34,旧版书P36表),下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系.,说明,设试验E只有两个结果:A和 . 记p=P(A),则P( )= 1- p ,0p1,我们把试验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记X为n次独立试验中结果A出现的次数.把描述第i次实验的随机变量记作Xi 则 Xi B(1,p), 且X1,X2 , ,Xn也是相互独立的(随机变量相互独立的严格定义第三章再讲).则有,X= X1+X2+Xn,一、泊松分布的定义及图形特点,设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作XP( ).,(III) 泊松分布,易见,例9,某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到3次寻的概率. (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.,解:,(1)PX=3=p(3;3)=(33/3!)e-30.2240 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解:,例 10,某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.,PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,请看演示,泊松分布,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .,二、二项分布与泊松分布,命题,对于二项分布B(n,p),当n充分大,p又很小时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,解:,例11,某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率.,将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则: X B(400, 0.02). 令=np=4000.02=8 于是: P一天内没有出租车出现故障=PX=0 =b(0;40