闭区间连续函数整体性质的证明.ppt

4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,一、性质的证明 3.2 给出了闭区间连续函数的三个性质:有界性、最值性和零点定理，没有给予证明。本节除给出这三个性质的证明外，还要引入一个新 概念一致连续，并证明闭区间的连续函数必是一致连续（第四个性质）。这四个性质都是建立在实数连续性的基础之上。因此，他们的证明要应用4。1中描述实数集连续性的定理。 定理1.（有界性) 若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 有界，即 ，有 证法 有已知条件得到函数有 在 的每一点的某个领域有界。要将函数 在每一点的领域有界扩充到在闭区间 有界，可应用有限覆盖定理，从而能找到 。 证明 已知函数 在 连续，根据连续定义，,有 从而 ， 即 ,函数 在开区间 有界。显然，开区间集 覆盖闭区间 .根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间,也覆盖闭区间 ，且 ，有 。 取 。于是， ，且 ， 有 。 定理2、（最值性）若函数 在闭区间 连续，则函数 在 取到最小 值 与最大值 ，即在 上存在 与 ，使 与 且 ，有 。 证法 只给出取到最大值的证明。根据定理1，函数 在 有界。设,。只须证明， ，使 ，即函数 在 取到最大值。 证明 设 。用反证法。假设 ，有 。显然，函数 在 连续，且 。于是，函数 在 也连续。根据定理1，存在 ， 有 或 即 不是数集 的上确界，矛盾。于是 ，使 。,定理3.（零点定理） 若函数 在闭区间 连续，且 （即 与 异号），则在开区间 内至少存在一点 ，使 。 证明 不妨设 。用反证法。假设 ， 有 ，将闭区间 二等分，分点是 。已知 ，如果 ，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反；如果 ，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反。于是，两个闭区间 与 必有一个使函数 在其两个端点的函数值的符号相反。将此闭区间表为为 ，有 。,再将 二等分，必有一个闭区间，函数 在其两个端点 的函数值符号相反。将此闭区间表为 ,有 。 用二等分方法无限进行下去，得到闭区间列 ，且 1） 2） 。 对每个闭区间 ，有 。根据闭区间套定理 (4.1定理1)，存在唯一数 属于所有的闭区间，且 （1）,而 ，且 ，设 。一方面，已知函数 在 连续，根据连续符号大的保号性， ，即 有 ；另一方面，由（1）式，当 充分大时，有 。已知 ，即函数 在 中某点的函数值小于0，矛盾。于是， 。 同法可证 。所以闭区间 内至少存在一点 ， 使 。 二、一致连续性 设函数 在区间 连续。即 函数 在 连续。根据 连续定义， （满足连续定义的 有无限多，取较大者）， ，有 。 从连续的定义不难看到， 的大小，一方面与给定的 有关；另一方面与点 的位置也有关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置的不同，,的大小也在变化。如图4.2，当 暂时固定时，在点 附近，函数图像变化比较“慢”，对应的 较大；在 附近，函数图像变化比较“快”，对应的 较小。于是，当 暂时固定时， ， ，有 。 无限多个 ，存在无限多个 ，那么在无限多个 中是否存在最小的正数呢？换句话说，对无限多个 是否存在一个通用的 （ 即 ，,图 4.2,有 ）呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的不存在通用的 ，有的存在通用的 。 定义 设函数 在区间 上有定义。若 （通用的 ）， ，有 称函数 在 一致连续（或均匀连续）。 根据一致连续的定义，若函数 在 一致连续，则函数 在 必连续。事实上，将 固定，令 变化，即函数 在 连续。因为 是 的任意一点，所以函数 在 连续。 一致连续的否定就是非一致连续。现将一致连续与非一致连续列表对比如下：函数 在区间,例1. 证明函数 在 一致连续，在 非一致连续。 证明 要使不等式 成立。从不等式 ,解得 。取 。 于是， 有 即函数 在 一致连续。,有 即函数 在 非一致连续。 例2. 证明：函数 在 一致连续。 证明 ，要使不等式 成立。取 。于是， 有,即函数 在 一致连续。 定理4.（一致连续性） 若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 一致连续。 证法 应用反正法与致密性定理。 证明 假设函数 在 非一致连续，即 有 取 ， 有,， 有 ， 有 这样在闭区间 内构造两个有界数列 与 。 根据致密