（黄冈名师）高考数学核心素养提升练二十九6.2等差数列及其前n项和理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练二十九等差数列及其前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.等差数列an中,a1=1,an=100(n3).若an的公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A.3,7,9,15,100 B.4,10,12,34,100C.5,11,16,30,100 D.4,10,13,43,100【解析】选B.由等差数列的通项公式得,公差d=.又因为dN,n3,所以n-1可能为3,9,11,33,99,n的所有可能取值为4,10,12,34,100.2.在张丘建算经中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布几何?” ()A.30尺B.60尺C.90尺D.120尺【解析】选C.由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列,等差数列an中,首项与第三十项分别为a1=5,a30=1,所以S30=90(尺).【变式备选】我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【解析】选A.依题意,金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2.由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.3.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.由题意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98.【一题多解】选C.由等差数列性质可知:S9=9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d=1,所以a100=a10+90d=98.【变式备选】(2018大同模拟)在等差数列an中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于() A.290B.300C.580D.600【解析】选B.由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1.由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29,所以S20=10(a2+a19)=300.4.(2018全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.3=2a1+d+4a1+d9a1+9d=6a1+7d3a1+2d=06+2d=0d=-3,所以a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.【变式备选】数列an首项a1=1,对于任意m,nN*,有an+m=an+3m,则an的前5项和S5=()A.121B.25C.31D.35【解析】选D.令m=1,有an+1=an+3,所以an是等差数列,首项为1,公差为3, 所以an=1+3=3n-2,所以S5=5a3=5=35.5.在数列an中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(nN*),则|a1|+|a2|+|a10|的值是()A.-10B.10C.50D.70【解析】选C.由2an+1-an+2=an得2an+1=an+2+an,即数列an是等差数列,由a2=8,a5=2,可得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,当1n6时,an0,当n7时,an0,(S8-S5)(S9-S5)|a8|B.|a7|a8|C.|a7|=|a8|D.|a7|=0【解析】选B.因为(S8-S5)(S9-S5)0,所以(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)0,因为an为等差数列,所以a6+a7+a8=3a7,a6+a7+a8+a9=2(a7+a8),所以a7(a7+a8)0,所以a70,且|a7|a8|.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在等差数列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11=_.【解析】因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.答案:997.设等差数列an的前n项和为Sn, =-2,Sm=0, =3,则正整数m的值为_.【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn, =-2,Sm=0, =3,所以am=Sm-=2,= -Sm=3,数列的公差d=1,am+=-=5,即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.由Sm=(3-m)m+1=0,解得正整数m的值为5.答案:5【变式备选】设Sn是等差数列an的前n项和,若S40,且S8=3S4,S12=S8,则=_.【解析】当S40,且S8=3S4,S12=S8时,由等差数列的性质得:S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),所以2(3S4-S4)=S4+(3S4-3S4),解得=2.答案:28.已知数列an的通项公式为an=(-1)n2n+1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为_.a1a2a3a4a5a6【解析】由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列an的第1+2+3+9+3=+3=48项,而a48=(-1)4896+1=97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案:97三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=2,Sn=(n2),证明是等差数列.【证明】因为Sn=,所以2Sn-1Sn+Sn=Sn-1,即Sn-1-Sn=2SnSn-1,故-=2(n2),又=,因此数列是首项为,公差为2的等差数列.10.已知数列an的前n项和为Sn,an0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(nN*).(1)求a2的值并证明:an+2-an=2.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,所以a2=.2anan+1=4Sn-3,2an+1an+2=4Sn+1-3-得,2an+1(an+2-an)=4an+1.因为an+10,所以an+2-an=2.(2)由(1)可知:数列a1,a3,a5,a2k-1,为等差数列,公差为2,首项为1,所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n为奇数时,an=n.数列a2,a4,a6,a2k,为等差数列,公差为2,首项为,所以a2k=+2(k-1)=2k-,即n为偶数时,an=n-.综上所述,an=.(20分钟40分)1.(5分)如果数列an满足a1=2,a2=1,且=(n2),则这个数列的第10项等于()A.B.C. D.【解析】选C.因为=,所以1-=-1,即+=2,所以+=,故是等差数列.又因为d=-=,所以=+9=5,故a10=.【变式备选】已知数列an中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=()A.B.C.D.【解析】选D.设等差数列的公差为d,则=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.2.(5分)(2019衡水模拟)若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列an的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为a1=19,an+1-an=-3,所以数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设an的前k项和数值最大,则有kN*,所以所以k,因为kN*,所以k=7.所以满足条件的n的值为7.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选B.因为a1=19,an+1-an=-3,所以数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以Sn=19n+n(n-1)(-3)=-n2+n.显然是关于n的二次函数,开口向下,所以当n=时,Sn=-n2+n取得最大值,又因为kN*,所以k=7.所以满足条件的n的值为7.3.(5分)(2019长沙模拟)已知函数f(x)=cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4(x30和m0,再利用等差数列的性质进行求解.【解析】函数f(x)=cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1,x2(x10,则由余弦函数的图象知x3,x4构成等差数列,可得公差d=-=,则x3=-=-0,显然不可能;若m0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,构成等差数列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cos x3=cos=-.答案:-4.(12分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn,因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,则当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n,当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|= 【变式备选】(2018沈阳质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求数列an的通项公式.(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,求T5的值和Tn的表达式.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由题意知解得故an=2n-7(nN*).(2)由an=2n-70,得n,即n3,所以当n3时,an=2n-70.由(1)知Sn=n2-6n,所以当n3时,Tn=-Sn=6n-n2;当n4时,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=n2-6n+18.故T5=13,Tn=5.(13分)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117, a2+a5=22.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足bn=,是否存在非零实数c使得bn为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为数列an为等差数列,所以a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的