自动控制理论第版夏德钤　翁贻方第三章　线性系统的时域分析.ppt

第三章 线性系统的时域分析,建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。 控制系统的时域分析包括三个方面：稳定性，暂态性能和稳态性能。 系统时域响应在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。 控制系统的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和参数，系统的初始状态以及输入信号的形式。 在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。,典型的输入信号,常用的典型输入信号有以下种 .阶跃函数,， t0 A， t0,A=1时，为单位阶跃函数,典型的输入信号,斜坡函数,， t0 At， t0,A=1时，为单位斜坡函数。 斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。,典型的输入信号,3.加速度函数,， t0 A ， t0,时，称为单位抛 物线函数，这时 在分析随动系统时常用斜 坡函数和加速度函数。,典型的输入信号,.脉冲函数,当时，令 得单位脉冲函数 ， 的面积等于， 即有 的积分就是单位阶跃函数 的拉氏变换为1。,典型的输入信号,正弦函数,系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第五章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。,一阶系统的时域响应,一阶系统的框图如下 系统的传函为,分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应,一阶系统的时域响应,单位阶跃响应,一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，它的特点是：,（）在t=0处，曲线的斜率为 。 （）t= 时，曲线上升到稳态值的63.2%。 （）t= 时，输出达稳态值的95%， 。 可见一阶系统的时间常数 反映了系统的响应速度， ，响应快。,当系统的输出达到稳态值的95%或98%时，我们认为系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为 。,一阶系统的时域响应,单位斜坡响应,输出与输入的误差为,当 时，,越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。,一阶系统的时域响应,单位脉冲响应,也可直接由单位阶跃响应的求导得出上式结果 一阶系统的特征可用一个参量时间常数 来表示,一阶系统的时域响应,响应时间为（） t=0时，单位阶跃响应的变化率为 t=0时，单位脉冲响应的幅值为 单位斜坡响应的稳态误差为 一阶系统的单位脉冲响应，单位 阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统 对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数 反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。 这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。,二阶系统的时域响应,在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然实际中的系统不尽是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此对二阶系统的响应进行重点讨论。,二阶系统的时域响应,令 则,上式为典型二阶系统的传递函数。 阻尼比或衰减系数 无阻尼自然震荡角频率 由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为,二阶系统的时域响应,一二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的响应分三种情况讨论 过阻尼 的情况 闭环极点为, 是小于零的两个实根,二阶系统的时域响应,系统的单位阶跃响应可求得如下：,按不同极点的情况求系数,二阶系统的时域响应,求拉氏反变换，得,可见，单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成，而暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项的衰减指数，当 时，后一项的衰减指数远大于前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期有影响。所以对过阻尼二阶系统，当 时，可以近似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：,二阶系统的时域响应,近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。,系统的响应时间为,相当于惯性时间常数,在工程上，当 时，使用上述近似关系已有足够的准确度了,此时系统的单位阶跃响应为：,二阶系统的时域响应,欠阻尼 的情况 系统的闭环极点为,是一对共轭复数极点，因为实部极点为负 所以位于左半平面。单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为：, 二阶系统的时域响应,查拉氏变换表，可求得：,欠阻尼时，系统的阶跃响应 的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为,称为阻尼自然振荡频率。,是无阻尼等幅振荡， 为系统的无阻尼自然频率。,.临界阻尼 的情况,当 时，闭环极点为：,单位阶跃响应的拉氏变换为,求其拉氏反变换，得,此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。,二阶系统有两个参数 和 ，阻尼比 是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。,二阶系统的时域响应,二阶系统的时域响应,取横坐标为 ，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：,从图可见： （） 越小，振荡越厉害，当 增大到以后，曲线变为单调上升。 （） 之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。 （）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （）过阻尼系统过渡过程时间长。,二阶系统的时域响应,二二阶系统暂态响应的性能指标 二阶系统的特征参量阻尼比 和无阻尼自然振荡角频率 对系统的响应具有决定性的影响。 现在针对阻尼 的情况，讨论暂态响应指标与特征参量的关系。 欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为,（）,1.上升时间 在暂态过程中，第一次达到稳态值的时间 在（）式中令c(t)=1，可得,二阶系统的时域响应,因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取n=1,于是,峰值时间 响应由零上升到第一个峰值所需的时间,对（）求一阶系数，并令其为零，得,二阶系统的时域响应,移项并约去公因子后得,到达第一个峰值时 ，从而得,二阶系统的时域响应,3最大超调量,最大超调量发生在 时刻，将 代入（）式，便得,从上式可见， 完全由 决定，,调整时间,与稳态值 之间的差值达到允许范围（取或）时的暂态过程时间,满足上式的 值有多个，按定义，其中最小的值是调整时间,为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数项衰减到0.05或0.02时，暂态过程结束，因此忽略正弦函数的影响，得到,二阶系统的时域响应,由此可求得,近似与 成反比,在设计系统时， 通常由要求的决定，所以 由 所决定,二阶系统的时域响应,结论： （）根据 值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性 ，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时间较长，系统反应迟缓 ，响应为单调曲线，调整时间比 的情况短 ，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。 一般希望二阶系统工作在欠阻尼 状态下，但 不能过小，否则 大， 多， 长，为了限制超调量， 应在0.40.8之间，这时超调量将在25%2.5%之间,二阶系统的时域响应,因为 只和 有关，常根据允许的 来选择,（）以闭环极点在平面上的位置可以大致估计 和 的大小 与闭环极点，到实轴的距离 成反比 可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离 成反比 在 一定时，可通过改变 来改变 ， 越大， 越短,二阶系统的时域响应,例：已知单位反馈系统的开环传递函数为,确定系统的 和 ，并求最大超调量 和调整时间,解：因为 可得,二阶系统的时域响应,三二阶系统的脉冲响应,通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应,二阶系统的时域响应,临界阻尼和过阻尼情况，单位脉冲响应总是大于，系统的单位阶跃响应是单调曲线 欠阻尼时，响应曲线围绕零值衰减振荡,根据单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系，单位脉冲响应以 一段曲线下所包围的面积等于 ，曲线与t 轴所包围面积的总和（或数和）为,高阶系统的时域响应,凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中s的最高幕次n2. 高阶系统闭环传函的一般形式为,或,高阶系统的时域响应,系统的单位阶跃响应为,从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应分量的合成,.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数决定。系统极点在左半平面离虚轴越远，响应的分量衰减得越快。,高阶系统的时域响应,.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近，则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的系数 很小）。若某个极点 附近没有零点，且距离原点较近，则 就大，对暂态分量的影响就大。 由于以上两点，对于系数很小的分量和衰减很快的分量常常忽略，用低阶系统的响应去近似高阶系统的响应。这就是合理的简化，既不改变问题的性质，又使处理过程简单。,高阶系统的时域响应,.如果高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其他极点实部的五分之一还要小，并且附近不存在零点可以认为系统的响应主要由该极点决定这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为系统的主导极点 如果找到一对共轭复数主导极点，高阶系统就可近似地作为二阶系统分析。,线性系统的稳定性,一稳定的基本概念 一个线性系统正常工作的首要条件是系统必须保持稳定这向我们提出两个问题：什么样的系统是稳定的；线性系统稳定的充分必要条件是什么 一个控制系统，如果在扰动的作用下，偏离了原有的平衡状态，而当扰动消失后，又能回到原来的平衡状态，则该系统为稳定系统；反之，当扰动消失后，系统不能回到原有的平衡状态，或偏离量随时间增长而增长，则该系统为不稳定系统 在实际使用中，系统总要受到各种扰动的作用，显然不稳定系统就无法工作,线性系统的稳定性,高阶系统的单位阶跃响应为,如果系统稳定，其暂态分量的各个项随着时间的增长应很快趋近于，从上式看：指数项的系数 应为负值，就是说实数极点应位于负实轴上；振荡衰减项的指数部分 应为负值，也就是说共轭复数极点的实部应为负，即共轭复数极点位于左半平面；系统中只要有一个极点位于右半平面，或虚轴上，暂态分量就是发散的或不衰减的，系统就不稳定,由此可得到线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于左半平面,线性系统的稳定性,二劳斯稳定判据 线性系统的稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（左半平面）但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的而劳斯判据，避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据,劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式,线性系统的稳定性,并将各系数排列成劳斯表,线性系统的稳定性,表中的有关系数为,一直进行到求得的b值全部等于零为止。,线性系统的稳定性,这一计算过程一直进行到与 对应的一行为止。 为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，并不改变结论的性质。,劳斯判据：系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。,线性系统的稳定性,例3-2 设反馈控制系统如图 所示，求满足稳定要求时K的临界值。 解：闭环传函,系统的特征方程为,列出劳斯表,根据劳斯判据，要使系统稳定，其第一列均为正数，即,K0，30-K0 0K30,得到满足稳定的临界值,线性系统的稳定性,（1）若得 负值 ，应将结果改 假定我们不取K为负值。 （2）实际上要求系统工作在K小于临界值的状态，当K=临界值时，系统的单位阶跃响应是等幅振荡，相当于有一对共轭负数极点位于虚轴上。显然不能正常工作。,2 .劳斯判据的两种特殊情况 （1）某行第一列的系数为零，该行其余各项中某些项不等于零。 在这种情况下，可以用一个很小的正数 来代替零值项，然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项。如果 上面一行的系数符号与 下面一行的系数符号相反，表明有一个符号变化。,线性系统的稳定性,例3-3 特征方程为,劳斯表为,考察第一列各项系数。当 时， 是一个很大的负 数因此第一列各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的,线性系统的稳定性,（）某行所有系数均为零的情况 如果出现这种情况，则表明在平面中有对称于原点的实根，或共轭虚根存在。可用下述方法处理 第一步：取元素全为零的前一行，以其系数组成辅助方程，式中的均为偶次（根是对称出现的） 第二步：求辅助方程对的导数，以其系数代替全为零值的一行， 第三步：用通常的方法继续求下面各行的系数，并判断稳定性 第四步：解辅导方程，得各对称根,线性系统的稳定性,例已知系统特征方程，判断稳定性,劳斯表为,将辅助方程求导后的系数作为 行的元素，并往下计算各行，得：,线性系统的稳定性,劳斯表的第一列各项符号没有改变，因此系统在右半平面没有极点但由于 行的各项为零，说明有共轭虚数极点。可由辅助方程求出。解,得,线性系统的稳定性,小结： 系统稳定的充要条件是系统的特征根位于左半平面 劳斯判据不仅可判定系统的稳定性，还可给出使系统稳定的某一参数的范围。 劳斯判据没有也不能说明为避免系统不稳定，应该争取的校正途径,系统的稳态误差分析,我们曾经规定了系统暂态响应性能指标现在要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能力 稳态误差：一个稳定系统经过足够长的时间后其暂态响应已衰减到微不足道，稳态响应的期望值与实际值之间的误差 我们不考虑由于元件的不灵敏，零点漂移和老化所造成的永久性误差稳态误差只与输入信号的形式和系统结构参量有关,线性系统的稳定性,一、控制系统的类型 对控制系统按照跟踪阶跃输入信号，斜坡输入信号和抛物线输入信号的能力进行分类设系统的开环传函为,线性系统的稳定性,二、误差传递函数 、单位反馈系统的误差传递函数 闭：,误差信号,定义,为单位反馈系统的误差传递函数 系统对输入信号的稳态误差可由终值定理求得，为：,线性系统的稳定性,例一阶系统,(a) (b),线性系统的稳定性,例二阶系统,(a) (b),这两个都是型系统（ =1），对阶跃输入的稳态误差为，对斜坡输入的稳态误差为一个常数。,线性系统的稳定性,扰动误差传递函数 干扰误差传函的形式随干扰信号源在系统中作用点的改变而不同，现只说明一种情形，根据同样方法可以推出其他情形的扰动误差传函。,令 ，得等效框图,线性系统的稳定性,扰动稳态误差,扰动误差传函,而在 时，,线性系统的稳定性,三静态误差系数 静态