等腰三角形2(恢复).ppt

,等腰三角形,羊场镇初级中学 张荣芝,我们在上一节学习了等腰三角形的性质。现在你能回答我一些问题吗？,1.等腰三角形的两腰相等；,2.等腰三角形的两个底角相等,（简称“在同一个三角形中，等边对等角”）,3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“等腰三角形三线合一”）,4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。,思考：,A,B,O,解：过点O作OCAB于点C， 则ACO=BCO 在AOC与BOC中， AB ACO=BCO OC=OC AOCBOC（AAS）， AO=BO .,一、复习：,1、等腰三角形的性质定理是什么？,等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角）,2、这个定理的逆命题是什么？,如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。,3、猜想这个命题正确吗？,已知：ABC中，B =C,求证： AB=AC,证明：,作BAC的平分线AD,在 BAD和 CAD中，,B=C， 1=2， AD=AD, BAD CAD（AAS）,AB=AC（全等三角形的对应边 相等）,1,2,思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?,已知,（等角对等边）,如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。,在ABC中，,B=C （ ）, AC=AB.,用符号语言表示为：,这也是一个判定两条线段相等根据之一.,（简写成“等角对等边”）,等腰三角形的判定方法,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”),应用格式: 在ABC中 B=C AB=AC （等角对等边）,练习1,问：如图,下列推理正确吗?,（等角对等边）,（等角对等边）,错，因为都不是在同一个三角形中。,例1 :求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,从求证看：要证AB=AC，需证B=C，,分析：,从已知看：因为1=2，ADBC 可以找出B，C与的关系。,证明：,ADBC， 1=B（两直线平行， 同位角相等）， 2=C（两直线平行， 内错角相等）。 1=2， B=C， AB=AC（等角对等边）。,练习2,如图，标杆AB高5m ，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一条直线上，量得DE4m，绳子CD和CE要多长？,例3：,解：选取比例尺为1：100 （即以1cm代表1m）,作线段DE4cm，,作线段DE的垂直平分线 MN，与DE交于点B，,在MN上截取BC2.5cm，,连接CD，CE，CDE就是所求的等腰三角形.量出CD的长,就可以计算出要求的绳长,自己试一试!,练习3,证明： AD BC ADB=DBC BD 平分 ABC ABD=DBC ABD=ADB AB=AD(等角对等边),1、等腰三角形的判定方法有下列几种： 。,2、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 。,3、运用等腰三角形的判定定理时，应注意 。,小结,定义，判定定理,条件和结论刚好相反。,在同一个三角形中,本课小结,2、等腰三角形的判定方法,（1）依据等腰三角形的定义（两边相等等腰三角形）,运用这一方法，进行有关的证明.,（2）依据等腰三角形的判定定理(两角相等等腰三角形),5、已知底边和底边上的高，作等腰三角形.,1、等腰三角形的判定定理,3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 。,条件和结论刚好相反。,4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意 。,在同一个三角形中,再见,等边三角形,羊场镇初级中学 张荣芝,无处不在的数学,情境引入,无处不在的数学,情境引入,无处不在的数学,情境引入,无处不在的数学,情境引入,无处不在的数学,情境引入,无处不在的数学,情境引入,你发现了什么？,这就是今天我们要学的,等边三角形,等边三角形,探究新知,数学教师网收集整理,29,等边对等角,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,知识回顾,你了解它们吗？,等边三角形,探索新知,AB=BC=CA,提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？,根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质： 从边看；从角看；从重要线段看,A,B,C,三边之间 ABACBC 三角之间 ABC,探究新知,数学教师网收集整理,33,等边三角形:,(正三角形),三条边都相等的三角形.,等边三角形是特殊的等腰三角形.,学习园地,数学教师网收集整理,34,1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?, AB=AC=BC A=B=C(在同一个三角形中等边对等角), A+B+C=180 A=B=C=60,探索星空：探究性质一, 等边三角形的三个内角都相等,并且 每一个角都等于60.,等边三角形的性质, 等边三角形的三边都相等,探究新知,探索结论:,1.等边三角形的内角都相等,且等于60 ,2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.,等边三角形性质定理,A,B,C,D,E,F,3.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的平分线互相重合。,6,5,4,3,2,1,8,10,9,7,数学教师网收集整理,38,等边三角形的性质,2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ,3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.,4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.,1 .三条边相等,思考题,？,一个三角形满足什么条件 就是等边三角形?,探究新知, 三个角都相等的三角形是等边三角形., 有一个角是60的等腰三角形是等边 三角形.,探究新知,怎样判断三角形ABC是等边三角形？,方法一：三角形的三边相等；,方法三：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,方法二：三角形的三角相等；,Why？,你能说明理由吗？,探索新知,数学教师网收集整理,42,等边三角形的判定方法:,1.三边相等的三角形是等边三角形.,2.三个内角都等于60 的三角形是等边三角形.,3.有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.,我们已经知道等腰三角形和等边三角形的特征，那么它们之间有什么关系呢？,等腰三角形,数学教师网收集整理,44,试一试你能行,、下列四个说法中，不正确的有（ ） （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60的三角形是等边三角形。 有一个是60的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。 、等边三角形的对称轴有（ ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条,（选择）,数学教师网收集整理,45,尝试舞台,例4 等边三角形ABC的周长等于21， 求：（1）各边的长； （2）各角的度数。,解：（1）ABBCCA， 又 ABBCCA21（已知） ABBCCA21/37（）,（2）ABBCCA，（已知） A BC60 （等边三角形的每个内角都等于60）,A,B,C,1.三边都相等的三角形叫做_三角形. 2.等边三角形的每个内角都等于_度. 3.等边三角形有_条对称轴.,练习1,等边,60,3,4、已知ABC中，A=B=60，AB=3cm 则ABC的周长_,5、 ABC是等腰三角形，周长为15cm且A=60，则BC=_,9,5,(2)若D、E分别 是AB、AC上的中点， ADE是等边三角形吗？,例1,(1),例2：如图B是AP上一点，APC、 BDP都是等边三角形，联结BC和DP.图中隐藏着一对全等三角形，你能找出他们吗？(1)试着说明道理,2.如图，等边三角形中，是上的高， ， 图中有哪些与BD相等的线段？,与BD相等的线段有：DC、FC、FD、BE、DE、AE、AF,数学教师网收集整理,50,体会.分享,请你说一说这节课的收获和体验让大家与你一起分享 ？,数学教师网收集整理,51,等边三角形的性质:,三个角都相等，且都为60,三线合一,三条边都相等,轴对称图形，有三条对称轴,数学教师网收集整理,52,等边三角形的判定:,三个角都等于60的三角形,三条边都相等的三角形,有一个角等于60的等腰三角形,数学教师网收集整理,53,反馈练习：等边三角形ABC的周长等于12， 求：（1）各边的长； （2）各角的度数。,2已知：如图，P、Q是ABC的边BC上 的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ, 求BAC的大小,想一想,课外活动小组在一次测量活动中,测得APB60APBP200m,他们便得到了一个结论:池塘最长处不小 于200m.他们的结论对吗?,B,解：,AP=BP=200m， APB= 60 ABAPPB=200m,从而APB是等边三角形，AB的长是200m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的。,A,60,P,1、ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD, 求证:BD=DE,小试牛刀：(书本P66 第14题),2、如图， ABC中，D、E是BC边上的三等分点， AED是等边三角形，则BAC为（ ）度？ 3、在ABC中，AB=AC，以AB、AC为边在ABC的外侧作两个等边三角形ABE和ACD，且EDC=40，则ABC（ ）度？,等腰三角形底边中点到两腰的距离有什么关系?你可以将等腰三角形ABC沿对称轴AD折叠,观察DE与DF的关系.,教学流程,拓展与升华,谈谈你的收获,1、等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。 2、等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是600。 （2）等边三角形是轴对称图形。 3、等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。,数学教师网收集整理,60,12.3.2等边三角形(2),羊场镇初级中学 张荣芝,复习回顾,1、等边三角形的概念：,2、等边三角形的性质：,3、等边三角形的判定：,等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.,（1）定义法；,（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；,（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形；,等边三角形的性质 1 .三条边相等 2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一 个角都等于60 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.,等边三角形的判定方法:,1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.,将两个含有30的同样的三角尺如图摆 放在一起你能借助这个图形,找到RtABC的 直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?,BC= AB,你会用学过的方法证明吗?,ABAD,B=60,AB=AD=BD(有一个角是60等腰三角形是等边三角形),又BC=CD= BD,BC= AB,证法一,ABC与ADC关于AC轴对称 ABAD ABD是等边三角形 又ACBDBCDC1/2AB,巩固新知,在直角三角形中,如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半。,数学式:,你还能用其它方法证明吗?,定理,另证：在BA上截取BE=BC，连接EC 则BCE是等边三角形，所以 BEC= 60，而A= 30， 所以ECA= 30， 所以AE=EC，于是有 BC= AB,这是一个判定两条线段成倍半关系的重要方法,已知: RtABC中,ACB=900 , A=300. 求证：,证明：在ACB 内部作 ACD=A=300,交 AB于D,ADC是等腰三角形，BCD是等边三角形,则DCB=B=600,AD=CD=BD=BC,你能用一句话来描述你的结论吗？,300,另证：,想一想：,300角所对的直角边BC与斜边AB有什么关系？,定理1 直角三角形中，300角所对的直角边等于斜 边的一半,几何语言： 在Rt ABC中 A30 AB2BC或,比一比：看 谁 算 的 快,1.如图：在RtABC中 A=300,AB+BC=12cm 则AB=_cm,2.如图:ABC是等边三角形，ADBC,DEAB,若AB=8cm, BD=， BE=_,3.在RtABC中，C=900 ，B=2A ，B和A各是多少度，边AB和BC之间有什么关系？,比一比：看 谁 算 的 快,例5.下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB7.4m,A30立柱BC 、 DE要多长?,解:DEAC, BCAC, A30 可得 2BCAB, 2DEAD BC1/2 7.43.7m 又 AD1/2 AB DE1/2 AD1/2 3.71.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.,能力提高,例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.,解:过C作BA延长线的垂线CD,垂足为D B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300 (三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). CD= AC= 2a=a (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,A,C,B,D,150,150,例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.,2a,例3.已知:如图, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD= AB.,你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?,A,C,B,D,1、如图，在ABC中， ACB= 90，BA的 垂直平分线交边CB于D。若AB=10，AC=5，则图中等于 30的角的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5,比一比：看 谁 算 的 快,上午8时,一条船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行,10时到达B处,从A、B望灯塔C，测得NAC=42， NBC=84，求从B处到灯塔C的距离。,分析：利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得出C=42，,从而得出，再由（海里），得到 （海里）,2、 如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B两处望小岛C，测得NAC=150， NBC=300，若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁的危险？,N,A,B,C,D,3、如图，在ABC中， AB=AC， BAC= 120，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。,4、 如图，在ABC中， ACB= 90， B= 15，AB的垂直平分线分别交BC、AB 于D、E。求证：DB=2AC,要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果C90A30,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.,请你分一分,要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果C90，B30,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.,请你分一分,D,E,方法一:,作斜边AB的垂直平分线DE交AB 于D交BC于E；再连接AE即可！,方法二:,作BAC的平分线AE交BC于 E，再作EDAB于D即可！,1.如图，ABC是等边三角形，P、Q分别是AC、BC上的点，且AP=CQ，AQ与BP交于点M。求BMQ的度数。,考考你,M,C,A