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1,由牛顿莱布尼兹公式知: 计算定积分,因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新 变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改 变积分限. 下面举例说明.,6.4 定积分的计算方法,一.凑微分法,第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分 .,的关键在于求出(x)在a, b上的一个原函数F(x); 而由,2,例11 计算,3,4,(1) 在,上单调连续且具有连续导数;,(2) ()= a, ()= b, 则,二.换元积分法,定理8 若(x)在a, b上连续, 而 x =(t) 又满足,证 设F(x)是(x)的一个原函数,5,此式称为定积分的换元公式.,(3) 求出,在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:,(1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;,(2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;,求不定积分那样把 (t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可.,后,不必象,6,例12 当 a 0时, 计算,7,注1 由几何意义知, 此定积分,即为圆,8,在第象限的面积.,性质1 设(x)在a, a上连续, 则,证,(1)若为(x)偶函数, 则有(x)=( x),令x = t, 则 d x = d t, 且,9,从而,(2)若为(x)奇函数, 则有(x)=( x),令x = t, 则 d x = d t, 且,从而,10,注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算.,例13 计算,解 (1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0.,令x = tanu, 则,(2) 被积函数为偶函数, 故,11,例14.设,解 设x = t +2, 则 t = x2, d x = d t,12,性质2 设(x)在0, 1上连续, 则,13,三.分部积分法,定理9 若u = u(x)及v = v(x)在a, b上有连续导数, 则,14,证 因d(uv) = udv + vdu, 两边积分得,注3,注4 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故 在计算过程中自始至终均不变限,u 、 v的选择与不定
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