2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第四单元第一节导数的概念及运算.ppt

第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 , (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数a为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c为常数); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点p（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点p（2，4）的切线方程.,分析 (1)点p处的切线以点p为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点p（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点p（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点p（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点p（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则. 解得 ,即点p(1,0), 点p到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点p（0,0）,求过点p(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过p点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q，当点q趋近于点p时，割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线，因此过点p的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线pq的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点p的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 p(2,0),且在点p处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析： f(x)过点（2,0）, ,解得a=-8, 同理，g(2)=4b+c=0. f(x)=6x2-8,在点p处切线斜率 . 又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16. 综上，a=-8,b=4,c=-16.,11. 设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析: 将 中的x换成 ， 可得 将其代入已知条件中得 ,12. (2008宁夏)设函数 (a,bz),曲线y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程为y=3. (1)求f(x)的解析式； （2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对 称中心； （3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所 围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析: (1)f(x)= . 于是 ,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数， 函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的 中心对称图形.由 可知f(x) 的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位， 再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的. 故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点 , 由 知， 过此点的切线方程为. 令x=1,得 ,切线与直线x=1的交点为 . 令y=x,得 , 切线与直线y=x的交点为 . 直线x=1与y=x交点为(1,1). 从而所围三角形面积为 所以所围三角形的面积为定值2.,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1. 两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos +sin sin ;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos -sin sin ;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos -cos sin ;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos +cos sin .上述公式对任意的、都成立.,2. 公式t(-)是 ,公式t (+) 是 ，它们成立的条件是,3. 二倍角公式 在s (+)中，令 =,可得到sin 2= 2sin cos ,简记为s2. 在c (+)中，令 =,可得到cos 2= cos2-sin2,简记为c2. 在t (+)中，令 =,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为t2.,4. 在c2中考虑sin2+cos2=1可将c2变形为cos 2=cos2-sin2= 2cos2-1 = 1-2sin2，它简记为c2.,5. 半角公式 在c2中,用 代替得 ,将 公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式：,7. 派生公式 (1)(sin cos )2= 1sin 2; (2)1+cos = (3)1-cos = (4)tan +tan = tan(+)(1-tan tan );,典例分析,题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题 【例1】 已知- x0,sin x+cos x= 求sin x-cos x的值. 分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：由sin x+cos x= 平方,得 sin2x+2sin xcos x+cos2x= ,即2sin xcos x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 又- x0, sin x0,cos x0,sin x-cos x0, sin x-cos x=,方法二：联立方程 sin x+cos x= , sin2x+cos2x=1. 由得sin x= -cos x,将其代入,整理,得 25cos2x-5cos x-12=0, 学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为 (sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.,举一反三 1. （2009梅州月考）已知 ,求sin 及 解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式,得 即sin -cos = . 由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故cos +sin = . 由和得sin = ,cos =- , 因此tan =- ,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用 【例2】化简下列各式.,分析 （1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式; （2）注意1sin ,1cos 形式的转化.,解 (1),(2),sin 4+cos 40,cos 40, 原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.,举一反三,2. 化简（cos +sin ）（ cos -sin ）（ 1+tantan ）.,解析： 原式=cos（1+tan tan ）=cos +sin tan =cos +2sin cos =cos + =cos +1-cos =1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】已知 且 分析 抓住条件中的角“ ”、“ ”与结论中的角 的关系：,解,学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三 3. 已知 ,且02. (1)求 的值； (2)求.,解析,(2)由0 ,得0- ,cos(-)= 由=-(-),得 cos =cos -(-) =cos cos(-)+sin sin(-),题型四 三角恒等式证明 【例4】(14分)已知tan(+)=2tan . 求证 ：3sin =sin(+2).,分析 观察条件与结论间的差异可知: (1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同. (2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同. 证明 由已知tan(+)=2tan ,可得 sin(+)cos =2cos(+)sin 4 而sin(+2)=sin (+)+ =sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,8,又sin =sin (+)- =sin(+)cos -cos(+)sin =2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin 12 故sin(+2)=3sin 14,学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.,举一反三 4. 已知a、b为锐角，求证： 的充要条件是 （1+tan a）(1+tan b)=2.,证明：（充分性）(1+tan a)(1+tan b)=2, 1+(tan a+tan b)+tan atan b=2,且tan atan b1, tan(a+b)（1-tan atan b）=1-tan atan b, tan(a+b)=1. 0a ,0b ,0a+b,a+b= (必要性)a+b= ,tan(a+b)=tan ， 即 ,整理得（1+tan a）(1+tan b)=2. 综上，若a、b为锐角，则a+b= 的充要条件是(1+tan a)（1+tan b）=2.,易错警示,【