高中数学第二章抛物线课后提升作业（十七）2.3.2.2抛物线方程及性质的应用检测（含解析）.docx

课后提升作业 十七抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.0条【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k0时,由=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=.4.(2016成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当FPM为等边三角形时,其面积为()A.2B.4C.6D.4【解析】选D.根据题意知,FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM抛物线的准线.设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,得m=2,所以等边三角形的边长为4,其面积为4.5.(2015全国卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以=k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2016兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=8.8.(2016商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1l于A1,过B作BB1l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1l于M1,则|MM1|=.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故M到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=_.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是_.【解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0,与抛物线方程y2=x联立成方程组消去x得y2-2y+m=0,令=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,则所求点的坐标是(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因为y2=4x,所以F(1,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根与系数的关系得易得AB的中点,即圆心的坐标为(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),所以易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得因为x1-1=2(1-x2),所以或所以k=2,所以直线l的方程为y=2(x-1).【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0,判别式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.12.过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00)分别作斜率为-k和k的直线l1, l2,设l1, l2与抛物线y2=2px交于A,B两点,证明直线AB的斜率为定值.【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-y+-2px0=0,由根与系数的关系得y0+y1=,所以y1=-y0.同理y0+y2=-,所以y2=-y0.由,得y1+y2=-2y0,所以kAB=-,即直线AB的斜率为定值.【能力挑战题】已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于时,求k的值.【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=,所以=,得p=,即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)