信号与系统——离散傅里叶变换.ppt

1,第6章 离散傅里叶变换,6.3 离散时间系统的频域分析,6.2 离散时间傅里叶变换,6.4 离散傅里叶变换,6.5 信号频谱的数值计算,6.6 离散傅里叶变换的性质,6.7 快速傅里叶变换简介,6.1 引言,2,6.1 引 言,1、从连续信号频域分析看到： 从频域角度可以获得对LTI系统性质的更加深入的了解，使系统的分析与设计更加直观方便，与时域分析互补。,6.1 引言,3、本章学习注意： （1）与连续情况对应关系并找出相似之处和重要区别；,2、从第二章时域和第四章的复频域看到： 连续信号与系统和离散信号与系统之间可以通过抽样联系起来，二者在时域和复频域中均有对应关系。本章将会看到，二者在频域之间也有对应关系。,3,（1）实际信号与计算机能处理的信号之间的矛盾；,实际信号的特点： 时域：连续时间信号，持续时间较长 频域：频谱连续 数字处理设备（计算机）的特点 存储空间有限：只能存储有限多数据（离散的数据点，有限长的时间范围） 表示空间有限：只能表示有限多的数值（取值在一定精度内，取值在一定范围内）,4、本章要解决的问题：,6.1 引言,（2）以理论分析为依据，以工程实现为目的。,4,（6）如何用计算机实现4种信号的频谱分析；6.5,6.1 引言,（3）有限长序列频谱的计算与存储 频谱是连续周期的，只能存储有限长的频谱（一个周期即可）；只能存储有限多的频谱（离散频率点处的频谱值）。,（4）如何用计算机直接计算序列的离散频谱和反之；6.4,（5）信号被截短时，频谱发生什么变化；6.5,（2）如何从抽样信号计算原信号的频谱；6.2,5,6.2 离散时间傅里叶变换,6.2 离散时间傅里叶变换,连续非周期信号,，,FT,DTFT,IFT,IDTFT,连续,1、比较FT和DTFT,，,n 离散,连续,t 连续,离散非周期信号,6,6.2 离散时间傅里叶变换,2、对DTFT的说明,频谱密度连续，,综合式IDTFT,序列离散,分析式DTFT,综合式IDTFT不是n的周期函数，,以 为周期 因为： n为整数,7,6.2 离散时间傅里叶变换,连续频谱密度,是积分式,有利因素：频谱密度可利用离散点的数据计算，为利用计算机提供了可能。,由于,周期,所以,不利因素：计算机无法直接处理和存储连续频谱，数字处理遇到困难。,积分范围是,是求和式, 由于,非周期 且非时限，,是离散序列,对无穷多项求和,所以,8, 若,对应dt,6.2 离散时间傅里叶变换,9,6.2 离散时间傅里叶变换,3、典型信号的DTFT,解：,10,解：,6.2 离散时间傅里叶变换,解：,ROC边界在单位圆，信号不满足绝对可和的条件。但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。,由于离散时间信号的傅里叶变换是以 为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数：,利用逆变换公式得,因此,11,解：由求解逆傅里叶变换的公式有,从图中可以看出，离散时间系统的理想低通滤波器的样值响应，与连续时间系统的理想低通滤波器的冲激响应类似，即在输入没有加入前就已有了响应。 说明离散时间系统的理想低通滤波器也是一个非因果系统。,6.2 离散时间傅里叶变换,例6-4 若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性,如图所示，求它的逆傅里叶变换,（即单位样值响应）。,12,6.3 离散时间系统的频域分析,6.3 离散时间系统的频域分析,1. 离散时间傅里叶变换的性质,2. 离散时间系统的频域分析,13,1. 离散时间傅里叶变换DTFT的性质,（1）周期性、连续性 周期性：是离散信号 的DFS、DTFT的共性， 有别于 的FS、FT。,注意与FT对应，与Z变换对应,6.3 离散时间系统的频域分析,1. 离散时间傅里叶变换的性质,14,（2）线性（所有线性变换的共性）,设 、 的傅里叶变换分别为 及,其中 、 为任意常数,则,6.3 离散时间系统的频域分析,1. 离散时间傅里叶变换的性质,（3）移位（与FT一致）,若 是傅里叶变换对，则有：,频域移位：,时域移位：,15,（4）时域线性加权（频域微分）（与FT一致）,若 是傅里叶变换对，则,（5）反转与对称（与FT一致）,若 是傅里叶变换对，则,实偶,实奇,对称,为实序列,实偶,虚奇,1. 离散时间傅里叶变换的性质,6.3 离散时间系统的频域分析,16,（6）卷积定理（与FT同）,若 ， ，则,时域卷积：,频域卷积：,1. 离散时间傅里叶变换的性质,6.3 离散时间系统的频域分析,17,（7）帕斯瓦尔定理,若 是傅里叶变换对，则,即时域的全部信息量包含在频谱的一个周期内，所以只讨论频谱的一个周期就够了。,1. 离散时间傅里叶变换的性质,6.3 离散时间系统的频域分析,18,2. 离散时间系统的频域分析,6.3 离散时间系统的频域分析,2. 离散时间系统的频域分析,时域：,频域：,输入信号的频谱函数 经系统后变为,在输入信号频谱给定的情况下，要想得到需要的输出频谱结构的过程，实际上是对H()进行设计的过程。在频域中通过输入输出信号的频谱可清晰地看到系统对信号每个分量的变换过程及对H()的要求。,19,6.3 离散时间系统的频域分析,2. 离散时间系统的频域分析,例6-5 求差分方程 所描述系统的频响函数H()。若输入为 ，求响应 yn,解：对差分方程两边取傅里叶变换，有,由频响函数的定义可知,由于,则,取逆变换得,20,6.4 离散傅里叶变换,6.4 离散傅里叶变换,1.离散傅里叶级数,2.离散傅里叶变换,21,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,1. 离散傅里叶级数,DFS 离散周期信号,完备正交系,t 连续 k:(-,),级数,FS 连续周期信号,整周期抽样,（1）由FS引入DFS,22,系数,理论依据:,=,B=T,B=N,（2）对DFS的说明,一个周期主值,一个周期主值,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,23,一个周期主值,一个周期主值,周期N点,是周期函数，定义域k:,周期N点,重要意义：只要计算一个周期的N个点，即可得到全 域结果。,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,在一个周期内有N个谐波分量，第k个谐波分量为：,24,因为 离散， 所以 周期,即：,故适合计算机工作：离散 有限数, DFS总是收敛，因为是有限数项的求和。,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,25,解：由于所给信号的数字频率为 ，则该信号的 周期N为,把余弦函数用指数函数表示,由于,于是,根据,n域与k域的周期相同,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,26,此信号的频谱是以N=6为周期的周期离散频谱。,可得,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,27,例6-7 图（a）所示序列的周期N =10，求其频谱。,解：,6.4 离散傅里叶变换,1. 离散傅里叶级数DFS,28, 计算机可以处理的数据形式,6.4 离散傅里叶变换,2. 离散傅里叶变换DFT,2. 离散傅里叶变换,离散：数据离散地放在存储器的各个单元,有限：存储空间有限，计算速度有限,为了让计算机解决实际问题，必须要做的工作是：,（1）从理论研究到工程实际,29,6.4 离散傅里叶变换,时域 是信号（输入，输出）的原始形式，离散化为 ， ， （第五章已解决）。,（a）离散处理,频域 是系统设计的出发点，也应离散化为 （本节将解决）。,在时域对离散化后的序列截断或加窗，在频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期。,（b）有限化处理（本节解决）,2. 离散傅里叶变换DFT,30,6.4 离散傅里叶变换, 已有的理论基础,时域 频域,2. 离散傅里叶变换DFT,31,6.4 离散傅里叶变换, 分析离散傅里叶级数DFS（时频域均只需有限的离散数据）,离散,周期：频谱重复，一个周期内仅有N个点,（b） 对整个时域，只需要计算N个点，即可周期延拓到全时域 ；对整个频域，只需要计算N个点，即可周期延拓到全域 。,（a）对时域的每个第n点，只需要N个频域数据参与计算，对频域的每个第k点，只需要N个时域数据参与计算,2. 离散傅里叶变换DFT,32,6.4 离散傅里叶变换,（2）离散傅里叶变换DFT 从DFS到DFT (a) DFS的分析和综合式中实际参加计算的数据分别是：,它们是周期数据 在主值区间内的数据。对周期 延拓可得 ，对周期 延拓可得 。这是在保证信息不损失条件下最少的数据量。,条件： 是时间有限序列,(b) 若 是非周期序列，且为时间有限（N点），即可把它看成 的主值数据，仅用这N个点即可计算出 对应的主值 。,也就是说：直接对非周期序列,2. 离散傅里叶变换DFT,33,6.4 离散傅里叶变换, 定义DFT,DFT,IDFT,注意： (a) 标度因子N换位，这是为了让正变换简单，与DTFT对应。,DTFT,IDTFT,(b) 是非周期N点时限信号，可看成周期信号的一个主周期。,(c) 是对有限长的 的频谱 等间隔 抽样并对主值区间加窗得到的。,2. 离散傅里叶变换DFT,34,展开成矩阵形式：,DFT,DTFT,6.4 离散傅里叶变换,DFT可简写为：,(d) 频率间隔 对应的 是 的最小单位（基频分量），令 （对应z变换下的 ）,2. 离散傅里叶变换DFT,35,第6章 离散傅里叶变换,6.3 离散时间系统的频域分析,6.2 离散时间傅里叶变换,6.4 离散傅里叶变换,6.5 信号频谱的数值计算,6.6 离散傅里叶变换的性质,6.7 快速傅里叶变换简介,6.1 引言,36,6.5 信号频谱的数值计算,6.5 信号频谱的数值计算,1.周期信号的频谱分析,2.非周期信号的频谱分析,3.数据截断问题,37,1. 周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,1. 周期信号的频谱分析,连续时间周期信号xT(t)的样本xNn与xT(t)的离散频谱ck的关系：,对频带有限的xT(t)，若一个周期中抽样的离散点数N大于最高谐波次数km的二倍即：N 2km，则在忽略数值误差的情况下，ck可以精确计算：,38,1. 周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,若xT(t)频谱无限分布，用DFT必然会出现频普混叠，从而带来误差。解决的方法：适当提高抽样频率，以减少频谱混叠的影响。一般取两种不同的抽样频率进行计算，当二者的计算频谱基本一致时可认为结果正确。,根据ck 求xT(t)在主值区间离散值：,39,2. 非周期信号的频谱分析,（1）DFT与DTFT的关系, 有限长,DFT 离散变化，共N个点,DTFT 连续变化，周期为,结论：DFT是对DTFT在频域 内取N个点等间隔抽样的结果，DFT的包络线即为DTFT。,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,40,DFT：,DTFT：,对DTFT连续的频谱离散化的结果 MATLAB实现：利用FFT计算 ， 用绘图语句stem绘出 的离散频谱图。,例6-9 非周期离散序列,连续的频谱，是DFT的包络线,MATLAB实现：利用FFT计算 ， 用绘图语句plot绘出 的包络线，即 的连续频谱图。,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,41,在分析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是截断数据的过程。这种截断过程相当于对信号进行加窗，即信号乘以窗函数 ，变成 的N点有限长序列，然后可以利用DFT计算DTFT，N的大小会影响结果的准确性，应视情况慎重选择。, 无限长 、,N越大，间隔越密，在 给定的情况下，可补零加大N。,（2）N与谱线间隔,DFT对DTFT离散化的频谱间隔,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算, DFT与FT的关系 （a）关系,42,DFT与FT的关系为：,非周期连续时间信号 的傅里叶变换,抽样样本 的频谱,设 在周期延拓时的频谱混叠可忽略不计，由上式得在频谱的一个周期内,（3）非周期连续时间信号的频谱分析：用DFT计算FT,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,43,（b） 频谱换位,按上式计算出的前 个样点对应于 的频谱，而后半部分的样点对应于向左移位 的频谱，即在负频率轴上。由于模拟频率间隔为 ，则频谱中第 k 个样点对应的频率为, 利用DFT对连续非周期信号进行FT的参数选择,(a) 根据指标要求的模拟频率分辨率 来确定抽样的时间T,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,44,(d) 确定时域抽样间隔,(c) 确定抽样点数N,调整,(b) 根据抽样定理 ，选择 ，即由信号的 定,因为 ，根据 对连续信号 抽样后得N点序列,(e) 利用DFT的快速算法计算 的FT,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,45,例6-10 利用DFT方法计算连续时间信号的频谱，要求满足如下指标：频谱分辨率f0 5 Hz；信号的最高频率fm 1.25 kHz；抽样点数等于2的整数次方。试确定：（1）应记录的信号长度T；（2）抽样点数N；（3）时间抽样间隔Ts。,2. 非周期信号的频谱分析,6.5 信号频谱的数值计算,解：,（1）由于频率分辨率取决于时域信号的长度，其值为,（3）时间抽样间隔,46,3. 数据截断问题,DFT在数字信号处理中具有极其重要的地位。在应用DFT对信号与系统进行处理时，会遇到一些具体的问题。正确认识和对待这些问题对于分析处理的结果有至关重要的作用。 一般情况下，待研究的连续时间信号不具备离散性或周期性，也可能有无限长度。为了能利用DFT进行分析，应对此波形进行抽样和截断。这样一来，势必会引入误差。引入误差的原因主要有以下几种：,用DFT逼近FT可能出现的问题,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,47,(1) 时限信号抽样及频谱的混叠现象,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,48, 频域抽样与时域混叠 a、带限信号都是非时限的。,带限信号的来源,b、对带限信号进行频域抽样条件 无法实现，所以时域混叠不可避免。, 频谱泄露 a、避免时域混叠的方法：为了利用DFT计算FT，也为了避免时域混叠，必须对带限信号（非时限）在时域内截短，相当于乘上一个矩形窗。这样可以利用频域抽样条件，使得对信号的频域抽样避免时域混叠。,(2) 带限信号频域抽样及频谱泄露,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,49,b、由时域截短造成的频谱泄露 据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。即图中,所以时域混叠与频谱泄露是一对矛盾。,这种卷积过程造成了信号频谱的失真。失真频谱将产生“拖尾”（频谱延伸扩展）现象，使原有受限的频谱图形“扩展”开来，这种现象就称之为频谱泄漏。,只要对带限信号进行DFT计算，就必须先截断 ，这样一来，频谱泄露就无法避免。,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,50,c、减小频谱泄露的措施 由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如三角窗、布莱克曼窗、海明窗、汉宁窗等，它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣，减弱了频率泄漏现象。,三角窗 布莱克曼窗 海明窗 汉宁窗 Triang Blackman Hamming Hanning,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,51,（3）频率分辨率和栅栏效应, 频率分辨率 DFT本身不是非周期、有限长序列的频谱，而只是频谱的等间隔抽样样本。因此，为了使DFT能更精确地反映原信号的频谱FT，在用DFT分析信号的频谱时，就有一个频率分辨率的问题。,结论：数字频率分辨率与点数N有关，模拟频率分辨率与时域信号的持续时间T有关。,离散信号 的频率分辨率 N越大分辨率越高。 连续信号 的频率分辨率 T 越大分辨率越高，T为信号长度。,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,52, 栅栏效应 由于DFT是对有限长序列的频谱等间隔抽样得到的样本，就相当于是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙(对应离散点)去观看另一边的景象(对应连续频谱)，只能在离散点的地方看到真实的景象，因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这些被遮挡的部分就是未被抽样所抽到的部分，这就有可能漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为“栅栏效应”。 当然，在实际问题中，“大的频谱分量”被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。尽管如此，我们还是有必要讨论清楚如何避免或者说减少这种栅栏效应。提高分辨率可以减小栅栏效应，却不能消除。 以上几个问题是DFT使用者必须了解的，否则无法对计算出现的问题做出解释，甚至会导致错误的结果。,3. 数据截断问题,6.5 信号频谱的数值计算,53,6.6 离散傅里叶变换的性质,6.6 离散傅里叶变换的性质,1.线性性质,2.圆周移位,3.圆周卷积,4.奇偶虚实性,54,6.6 离散傅里叶变换的性质,1. 线性性质,1. 线性性质,若 和 是两个有限长度序列，长度分别为 和 ， 则其线性组合 的N点DFT为,其中， 和 为常数， ， 和 分别为 和 的N点DFT。,55,6.6 离散傅里叶变换的性质,2. 圆周移位,2. 圆周移位,（1）圆周移位, 对应于DTFT的平移,如图示,56,6.6 离散傅里叶变换的性质,2. 圆周移位, 对应于DFT的移位,b、移位,a、,c、截取 主周期的序列，即乘上矩形窗 ，得到位移后的序列,57,6.6 离散傅里叶变换的性质, 圆周位移的图示,右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。,2. 圆周移位,58,6.6 离散傅里叶变换的性质,此性质表明，有限长序列圆移 位，其DFT等于移位前的DFT再乘上相移因子,如果 为偶数时，若 对圆移 位，由于 ，故有,2. 圆周移位,（2） 圆移特性, 时域圆移特性,设 为 的 位圆移序列,的DFT为 ，则 的DFT为,59,6.6 离散傅里叶变换的性质, 频域圆周移位特性：,即给序列 乘以指数函数 ，其DFT为 ，圆周移位 位。此特性用于卷积计算。,2. 圆周移位,3. 圆周卷积,卷积定理,线性卷积,线性卷积,圆周卷积,60,（一）时域圆周卷积（圆周卷积定理）,若 和 均为 点有限长序列， 且 则 点圆周卷积为：,（1）时域圆周卷积定理（只有数学定义，无物理意义）,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,61,证明：,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,62, 每一个n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共5个步骤。, 对每一个n点圆移位，先计算对应各个m点的乘积 ，再对 范围内的全部乘积求和。, 是把 变量代换后的N点序列， 是把 变量代换、圆反转、圆移位后，取其前 N 个点后的 N点序列。, 圆卷积只在 区间内进行，圆卷积结果也为N点有限长序列。,（2）圆周卷积的计算特点（以 为例）,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,63,（3）圆周卷积5个步骤的图解 变量代换圆反转圆移位相乘求和,以4点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,64,解：（1）变量代换,（2）圆反转,把 圆反转为,（3）圆移位相乘求和,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,65,（4）竖式法,4 8 12 16 3 6 9 12 2 4 6 8 + 1 2 3 4,1 2 3 4,4 11 20 30 20 11 4,4 3 2 1,4 8 12 16 12 3 6 9 6 8 2 4 + 2 3 4 1,1 2 3 4,24 22 24 30,4 3 2 1,线性卷积,圆周卷积,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,66,线性卷积,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,67,（二）有限长序列的线性卷积与圆周卷积的关系,（1）线性卷积,则线性卷积为：,（2）圆周卷积与线性卷积相等的条件, 二者结果不同的原因,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,68, 解决办法：补零。使 和 均有L长：,对上例， 补 个零， 补 个零。补零后圆卷的计算结果等同于线卷。,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,69,对序列补零后求圆卷积。 这是因为圆卷积可以借助快速傅里叶变换FFT技术以较高的速度完成运算。用DFT进行快速线性卷积只需做3次FFT计算。,（三）用DFT进行快速线性卷积,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,70,注意：若不补零，结果不是 ，而是 。只有数学结果没有物理意义。,利用FFT计算卷积与直接卷积的实数乘法次数比较：,序列的点数越大，用FFT计算卷积的优越性越明显。,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,71,n=0:16; L=32 h=(0.8).n; Hk=fft(h，L); x=ones(1，10); Xk=fft(x，L); Yk=Hk.*Xk; y=ifft(Yk，L); n=0:31; stem(n，y);,解：先分别求得 和 的DFT，相乘后再求其逆变换。,程序：,程序运行结果如图所示 ：,6.6 离散傅里叶变换的性质,3. 圆周卷积,72,6.6 离散傅里叶变换的性质,4. 奇偶虚实性,4. 奇偶虚实性,若序列 为实序列，其离散傅里叶变换为 ，则,则幅度频谱为 ，是偶对称函数，相位频谱为 ，是奇对称函数。,73,根据对称性，实序列的DFT在 时不需要专门计算，从而节省了计算量。,注意：因为变量 的取值范围为 ，对称不是关于原点，而是关于 点的对称函数。,6.6 离散傅里叶变换的性质,4. 奇偶虚实性,74,1、