高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值教案文苏教版.docx

第二节 函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在xI，使得f(x)M对于任意xI，都有f(x)M；存在xI，使得f(x)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值小题体验1(2019常州一中月考)f(x)|x2|的单调递增区间为_答案：2，)2若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，因为2，a(0，)，所以f(x)在2，a上也是减函数，所以f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，所以，所以a4.答案：43函数f(x)是在区间(2,3)上的增函数，则yf(x5)的一个递增区间是_解析：由2x53，得7x2，故yf(x5)的递增区间为(7，2)答案：(7，2)1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x).3两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比小题纠偏1(2019海安期中)函数f(x)的单调递减区间为_答案：和2已知函数f(x)log5(x23x4)，则该函数的单调递增区间为_解析：由题意知x23x40，则x4或x1，令yx23x4，则其图象的对称轴为x，所以yx23x4的单调递增区间为(4，)单调递减区间为(，1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，)答案：(4，)题组练透1讨论函数f(x)在x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).因为1x1x21，所以x2x10，x1x210，(x1)(x1)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1,1)上为减函数2已知函数f(x)a(aR)，判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明解：f(x)在(，0)，(0，)上均为减函数，证明如下：函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，在定义域内任取x1，x2，使0x1x2，则f(x2)f(x1).因为0x1x2，所以2x12x2，2x21,2x11，所以2x12x20,2x110,2x210，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在(0，)上为减函数，同理可证f(x)在(，0)上为减函数谨记通法1定义法判断函数单调性的步骤取值2导数法判断函数单调性的步骤典例引领求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.所以函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上所以ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，所以ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1函数f(x)log2(x24)的单调递增区间为_解析：令tx240，解得x2或x2，故函数f(x)的定义域为x|x2或x2，且f(x)log2t.利用二次函数的性质可得，tx24在定义域x|x2或x2内的单调递增区间为(2，)，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，)答案：(2，)2函数y的单调递增区间为_解析：令u2x23x122.因为u22在上单调递减，函数yu在R上单调递减所以y在上单调递增答案：锁定考向高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较数值的大小；(3)利用单调性解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 题点全练角度一：求函数的值域或最值1(2019启东中学检测)设mR，若函数f(x)|x33x2m|m在x0,2上的最大值与最小值之差为3，则m_.解析：令yx33x，x0,2，则y3x23.由y0，得1x2；由y0，得0x1，所以yx33x在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以当x0,2时，yx33x的值域为2,2，yx33x2m的值域为22m,22m当m0时，f(x)max2，f(x)min0，不符合题意；当m1时，f(x)maxf(2)23m，f(x)minf(2)3m2，f(x)maxf(x)min4，不符合题意；当0m1时，f(x)maxf(2)23m，f(x)minm，f(x)maxf(x)min22m3，解得m，符合题意；当1m0时，f(x)maxf(2)2m，f(x)minm，f(x)maxf(x)min22m3，解得m，符合题意；当m1时， f(x)max2m，f(x)min2m，f(x)maxf(x)min4，不符合题意综上可得，m.答案：角度二：比较数值的大小2设函数f(x)定义在实数集R上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则f，f，f的大小关系为_(用“”号表示)解析：由题设知，f(x)的图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，所以ffff，又1，所以fff，即fff.答案：fff角度三：利用单调性解函数不等式3设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数f(x)在定义域(，)上是增函数，f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故实数a的取值范围是(，2答案：(，24定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，求不等式f(logx)0的解集解：yf(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)在(0，)上递增yf(x)在(，0)上也是增函数，又f 0，知f f 0.故原不等式f(logx)0可化为f(logx)f或ff(logx)f，logx或logx0，解得0x或1x3.原不等式的解集为.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值5(2019南通调研)已知函数f(x)(a0，且a1)满足对任意x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)为减函数，所以解得0a.答案：通法在握函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值(五种常用方法)方法步骤单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4)利用单调性求参数的范围(或值)的方法视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的提醒若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值演练冲关1(2019连云港调研)若函数f(x)是在R上的减函数，则a的取值范围是_解析：由题意得解得6a1.答案：6,1)2函数f(x)b(a0)在上的值域为，则a_，b_.解析：因为f(x)b(a0)在上是增函数，所以f，f(2)2.即解得a1，b.答案：13已知函数f(x)ln(2|x|)，则使得f(x2)f(2x1)成立的x的取值范围是_解析：由f(x)f(x)可得函数f(x)是定义域R上的偶函数，且x0时函数f(x)单调递增，则不等式等价于f(|x2|)f(|2x1|)，即|x2|2x1|，两边平方化简得3x28x30，解得x3.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如皋中学月考)函数f(x)|x22x2|的增区间是_解析：因为函数f(x)|x22x2|(x1)21|(x1)21，所以函数f(x)|x22x2|的增区间是1，)答案：1，)2函数yx(x0)的最大值为_解析：令t，则t0，所以ytt22，结合图象知，当t，即x时，ymax.答案：3(2018徐州质检)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：因为yx和ylog2(x2)都是1,1上的减函数，所以yxlog2(x2)是在区间1,1上的减函数，所以最大值为f(1)3.答案：34已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，则满足f(2x1)f(5)的x的取值范围是_解析：因为偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，且f(2x1)f(5)，所以|2x1|5，即x2或x3.答案：(，2)(3，)5若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_解析：因为f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，所以a1.又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数所以a11，所以a0.综上可知0a1.答案：(0,16(2019海门中学高三检测)已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)成立，那么实数a的取值范围是_解析：函数f(x)满足对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)成立，函数f(x)在定义域上是增函数，则满足即解得a2.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)a，因为函数f(x)在区间(2，)上是增函数所以解得a1.答案：1，)2(2019江阴高三检测)设a0且a1，函数f(x)loga|ax2x|在3,5上是单调增函数，则实数a的取值范围为_解析：a0且a1，函数f(x)loga|ax2x|loga|x(ax1)|在3,5上是单调增函数，当a1时，yx(ax1)在3,5上是单调增函数，且y0，满足f(x)是增函数；当0a1时，要使f(x)在3,5上是单调增函数，只需解得a.综上可得，a1或a.答案：(1，)3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2x是增函数，当x2时，h(x)x3是减函数，所以h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案：14(2018徐州一模)已知函数yf(x)和yg(x)的图象关于y轴对称，当函数yf(x)和yg(x)在区间a，b上同时递增或者同时递减时，把区间a，b叫做函数yf(x)的“不动区间”，若区间1,2为函数f(x)|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是_解析：因为函数yf(x)与yg(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)f(x)|2xt|.因为区间1,2为函数f(x)|2xt|的“不动区间”，所以函数f(x)|2xt|和函数g(x)|2xt|在1,2上单调性相同，因为y2xt和函数y2xt的单调性相反，所以(2xt)(2xt)0在1,2上恒成立，即2xt2x在1,2上恒成立，解得t2.答案：5(2018金陵中学月考)定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2,2上单调递增，所以所以所以0a1.答案：0,1)6设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()， f(3)的大小关系为_(用“”表示)解析：因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数f(x)在0，)上是增函数，所以f()f(3)f(2)，所以f(2)f(3)f()答案：f(2)f(3)f()7(2018苏州高三暑假测试)已知函数f(x)x(a0)，当x1,3时，函数f(x)的值域为A，若A8,16，则a的值等于_解析：因为A8,16，所以8f(x)16对任意的x1,3恒成立，所以对任意的x1,3恒成立，当x1,3时，函数y16xx2在1,3上单调递增，所以16xx215,39，函数y8xx2在1,3上也单调递增，所以8xx27,15，所以即a的值等于15.答案：158若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：函数g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m.若a1，则函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上的最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m.所以a.答案：9已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x1x2，则x1x20，x2x10，f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x20，x1x21，所以20，所以h(x1)h(x2)，所以h(x)在(1，)上单调递增故ah(1)，即a3，所以实数a的取值范围是(，310(2019江阴期中)设函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(|t|1)f(t2)f(0)解：(1)因为f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，所以f(0)b0，所以f