2020版高考数学第7章立体几何第1节空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积教学案理北师大版.docx

第一节空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积考纲传真1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式1简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆或圆直径所在的直线3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图2多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r，外接球半径Ra.(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R.(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径ra，外接球半径Ra.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)菱形的直观图仍是菱形()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()答案(1)(2)(3)(4)2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱B圆锥C四面体 D三棱柱A由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形3(教材改编)如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体C由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱4(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cm D cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)5一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.空间几何体的三视图和直观1(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() ABC DA由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 Ba2 C.a2 Da2D法一：如图所示的实际图形和直观图，由可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa，所以SABCABCDaaa2.法二：SABCaasin 60a2，又S直观图S原图a2a2.故选D3某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是()A. B C. D3A由三视图可知该几何体为一个三棱锥DABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为1的正方形，高为2.所以AB1，AC，BC，CD，DA2，BD，因此最长棱为BD，棱长是.空间几何体的表面积与体积考法1根据几何体的三视图计算表面积、体积【例1】(1)(2018合肥一模)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A518 B618C86 D106(2)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36(1)C(2)B(1)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为24122122321386.(2)法一(分割法)：由题意知，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积V132436.上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积V232627.所以该组合体的体积VV1V2362763.法二(补形法)：由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，故圆柱的底面半径为3，高为10414，该圆柱的体积V13214126.故该几何体的体积为圆柱体积的一半，即VV163.法三(估值法)：由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，所以45V几何体90.观察选项可知只有63符合考法2求空间几何体的表面积、体积【例2】(1)(2019南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_(1)(3)(2)(1)由图中数据可得：S圆锥侧2，S圆柱侧212，S底面12.所以几何体的表面积SS圆锥侧S圆柱侧S底面2(3).(2)(等积法)三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VD1EDFVFDD1E1.规律方法(1)以三视图为载体的表面积、体积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量，必须还原出直观图(2)若所给定的几何体的体积不能直接得出，则常用转化法、分割法、补形法等方法进行求解 (1)(2016全国卷)如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28(2)(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B3C.1D3(3)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为_(1)A(2)A(3)4(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.故选A.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体的体积V12331.故选A.(3)法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CHDG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC和一个斜三棱柱BEFCHG.由题意，知V三棱柱DEHABCSDEHAD22，V三棱柱BEFCHGSBEFDE22.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG224.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半又正方体的体积V正方体ABHIDEKG238，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG84.与球有关的切、接问题【例3】(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 BC6 DB由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R，ABC的内切圆半径为2，R2.又2R3，R，Vmax3.故选B母题探究(1)若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积(2)若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解(1)将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1(图略)，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球，所以体对角线BC1的长为球O的直径因此2R13，故S球4R2169.(2)如图，设球心为O，半径为r，则在RtAFO中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.规律方法与球有关的切、接问题的求解方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体利用2R求R.确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解(3)一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱 (1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且BAC，AA1BC2，则球O的体积为()A4 B8C12 D20(2)(2019福建十校联考)已知三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB，BC，AC2，则此三棱锥的外接球的体积为()A. BC. D(1)A(2)B(1)在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圆的半径为r，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半径为R，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的体积为R34.故选A.(2)AB，BC，AC2，PA1，PC，PB2.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球长方体的对角线长为2，球的直径为2，半径R，因此，三棱锥PABC外接球的体积是R3()3.故选B1(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3 D2B由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为2.故选B图图2.(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18C24 D54B设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 609，得x6.设ABC的外接圆半径为r，则2r，解得r2，所以球心到ABC所在平面的距离d2，则点D到平面ABC的最大距离d1d46，所以三棱锥DABC体积的最大值VmaxSABC69618.3(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A BC. DB设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B4(2016全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81B由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B5(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1B2 C4DB如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B6(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为