高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第71讲圆锥曲线中的范围、最值问题练习理新人教A版.docx

第71讲圆锥曲线中的范围、最值问题夯实基础【p161】【学习目标】会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的范围与推导最值问题，培养推理思维能力、运算能力【基础检测】1抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是()A.B(1，1)C.D(2，4)【解析】法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d.当x1时，取得最小值，此时点的坐标为(1，1)法二：设2xym0与yx2相切，则x22xm0.44m0，m1，此时x1，点的坐标为(1，1)法三：(导数法)yx2的导数为y2x，设所求点为P(x0，y0)，则2x02.x01，P(1，1)【答案】B2若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A3，) B(3，)C(1，3 D(1，3)【解析】依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c3a，e3.【答案】A3椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是_【解析】设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2，因为k22，1，所以k1.【答案】4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_【解析】点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1，0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x.3x3，x，612，即612.故最小值为6.【答案】65点M(20，40)，抛物线y22px(p0)的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|PF|的最小值为41，则p的值等于_【解析】由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|PD|.(1)当M(20，40)位于抛物线内，|PM|PF|PM|PD|，当M，P，D共线时，|PM|PF|的距离最小，由最小值为41，即2041，解得：p42.满足题意；(2)当M(20，40)位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|PF|取最小值，即41，解得：p22或58，当p58时，y2116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去(3)当M(20，40)在抛物线上，得p40，当P与M重合时，|PM|PF|取最小值40，此时不满足，舍去【答案】42或22【知识要点】1求圆锥曲线的有关最值，常用方法有：代数法和几何法(1)代数法：借助函数求最值的方法运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法常用的方法有：配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值紧密联系，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值；基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值；三角法：借助圆锥曲线的参数方程或三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题(2)几何法：利用圆锥曲线的定义结合对称的有关结论求到两定点距离的和差的最值；利用平面几何中的有关结论求其最值2参变量范围问题通常应用转化与化归思想，将问题转化为参数的方程，在某给定范围内有解的问题，或挖掘题设的约束条件，将问题转化为与参变量相关的存在性问题，然后综合应用方程、不等式和函数等基础知识求得参变量的取值范围典例剖析【p161】考点1圆锥曲线中的最值问题如图，已知圆E：(x1)2y28，点F(1，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹的方程；(2)已知A，B，C是轨迹上的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|CB|，问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由【解析】(1)Q在线段PF的垂直平分线上，|QP|QF|，得|QE|QF|QE|QP|PE|2，又|EF|22，Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为2的椭圆，的方程为y21.(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为ykx(k0)，|CA|CB|，C在AB的垂直平分线上，直线OC的方程为yx.由(12k2)x22，|AB|2|OA|22，同理可得|OC|，SABC|AB|OC|，法一：设tk211，则k2t1，故SABC，由二次函数的图象及性质可求得当t2，即k1时，SABC有最小值为.法二：(12k2)(k22)，SABC，当且仅当12k2k22，即k1时取等号SABC.综上，当直线AB的方程为yx时，ABC的面积有最小值.【点评】圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题考点2圆锥曲线中的范围问题设抛物线y24mx(m0)的准线与x轴交于点F1，抛物线的焦点F2，以F1，F2为焦点，离心率e的椭圆与抛物线的一个交点为E；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设.(1)求抛物线的方程及椭圆的方程；(2)若，求|PQ|的取值范围【解析】(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意得解得椭圆的方程为1.点F2的坐标为(1，0)，m1，抛物线的方程是y24x.(2)由题意得直线PQ的斜率存在，设其方程为yk(x1)(k0)，由消去x整理得ky24y4k0(*)直线PQ与抛物线交于两点，1616k20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y24，y1y2，F1(1，0)，(x11，y1)(x21，y2)，y1y2，结合y1y24，y1y2消去y1，y2得k2.|PQ|，即|PQ|2，将k2代入上式得，|PQ|2161616，f()在上单调递减，f(1)f()f，即2，016，0|PQ|，即|PQ|的取值范围为.【点评】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围方法总结【p162】1有关直线与圆锥曲线的最值问题，它将解析几何知识与函数知识融为一体，综合性强解答这类问题一般有两种方法，代数法与几何法2由于解析几何的最值问题是从动态角度去研究数学问题的主要内容，常常以解析几何内容为载体，综合函数、不等式、三角等知识，涉及的知识点较多，可以充分体现在知识交汇点处命题的思想，因而是高考的重点和热点处理最值问题时要注意：(1)自变量的取值范围；(2)题设中的几何特征走进高考【p162】1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围【解析】(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4即y22y0y8x0y0的两个不同的实数根所以y1y22y0.因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)，所以y4x04x4x044，5因此，PAB面积的取值范围是.考点集训【p272】A组题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B2，2C1，1 D4，4【解析】Q(2，0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.【答案】C2设P、Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5B.C7D6【解析】设椭圆上点Q(x，y)，则x21010y2，因为圆x2(y6)22的圆心为(0，6)，半径为，所以椭圆上的点与圆心的距离为5，所以P、Q两点间的最大距离是56.【答案】D3已知O为坐标原点，P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.C4D5【解析】由0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(3，0)，而双曲线的渐近线为4x3y0，所求的距离d.【答案】B4已知点P(x0，y0)在椭圆1上，其左、右焦点分别是F1，F2，若F1PF2为钝角，则x0的取值范围是()A(3，3)B.(2，)C(，3)(3，)D(2，2)【解析】由已知可得F1(3，0)，F2(3，0)，则0，可得(x03，y0)(3x0，y0)xy90，1，可得：y3x，x02，2，可得：x3x3x9，x02，2，即x8，解得2x00，b0)的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M(a，0)，N(0，b)，点P为线段MN上的动点，若取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则()A.B.C.D.【解析】由已知e2得c2a，ba，故线段MN所在直线的方程为y(xa)，又点P在线段MN上，可设P(m，(ma)，其中ma，0，由F1(c，0)，F2(c，0)，得(2am，(ma)，(2am，(ma)，则4m26ama24a2，由ma，0，可知当m时，取得最小值，此时S12cac，当m0时，取得最大值，此时S22caac，所以.【答案】C6抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，则m的取值范围是_【解析】m0时，y0，符合题意m0时，设P(y，y1)，Q(y，y2)，关于直线l：ym(x3)对称知m，又，即y1y2m，代入解得yy5，因为(y1y2)2m2，yy2y1y2，所以2(yy)m2，即10m2，故实数m的取值范围是(，)【答案】(，)7已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_【解析】椭圆C1：1，am2，bn，cm2n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件有m2nmn，则n1，e1.由m0得m22，1，即e，而0e11，e14，求MAB面积S的最小值【解析】(1)当x04时，y04，所以M(4，4)，设切线方程为y4k(x4)，即kxy4k40，2，解得k0或k，过点M的圆的切线方程为y4或4x3y40.(2)设切线yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，切线与x轴交点为，圆心到切线的距离为d2，化简得(x4)k22x0(2y0)ky4y00，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1k2，k1k2，y04，SMABy0y232，当且仅当y08时取等号所以MAB面积S的最小值为32.B组题1已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10【解析】抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.【答案】A2若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_【解析】由椭圆y21知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.【答案】13如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围【解析】(1)联立方程得(1a2k2)x22ka2x0，解之得x0或x，所以弦长|.(2)法一：零点存在定理设圆方程为x2(y1)2r2，与椭圆联立方程消去x得(a21)y22yr2a210，由题设知方程在(1，1)上最多一解，记f(y)(a21)y22yr2a21，当r24时，f(1)r20，f(1)r240，f(1)f(1)0，所以方程在(1，1)上只有一解，a1均可，那么当r24时，第一种情况：只需44(a21)(r2a21)0，得a4a2r2r20，解得a2，即a22，得a；第二种情况：假设方程在(1，1)上有两解，则得则a22，由于方程在(1，1)上最多一解，所以a22，上述两种情况均可得到1a，离心率e，因此椭圆离心率的取值范围是00，k1k2.由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0，由于k1k2，所以1kka2(2a2)kk0，因此1a2(2a2)，对于上式关于k1，k2方程有解的充要条件是1a2(2a2)1，得a22，因此，任意以A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是1a22，离心率e，因此椭圆离心率的取值范围是0e.【点评】方程法，缩短思维旅程的好方法！法三：点差法假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中点M(x0，y0)，则两式相减得xxa2(yy)0，则(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0，得x0a2y00，因为|AP|AQ|，则AMPQ，kAMkPQ1，得，那么x0a2y00，得a21，由于1y02，因此，任意以A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是1a22，离心率e，因此椭圆离心率的取值范围是0e.【点评】点差法，一点都不差的好方法！法四：单调性法易知，弦长PA从A到B逆时针旋转半圈处处不相等，即弦长在y轴单侧单调|PA|22，设k2t，g(t)2，则g(t)在t(0，)上单调递增只需t2tt2t，即tt成立，得1，得a22，因此椭圆离心率的取值范围是0e.法五：弦长的最值