第18章 勾股定理 学案.doc

八年级下册章庄中学审定：祝彪第1页共7页18.1勾股定理（1）班级姓名座号一、学习目标了解勾股定理的推导过程，牢记勾股定理并能利用它进行简单的计算二、学习重难点重点：勾股定理及及其应用。难点：理解勾股定理的推导。三、学习过程（一）阅读课本第64页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个；（2）若设两个较小正方形边长均为a，则它们的面积都为，设较大的正方形边长为c，则它的面积为。（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积，即有=。（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由=可知，等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第1题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（1）正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积图（2）正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积3、根据上述观察分析，你能得出什么结论（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理：；用公式表示为。变式：。直角三角形性质归纳：如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若B=30，则B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三边，则c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）b=。（已知a、c，求b）.（三）例题精讲例1、如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?例2：在RtABC，C=90已知a=b=5，求c。已知a=1，c=2,求b。已知c=17，b=8,求a。已知ab=12，c=5,求a。已知b=15，A=30，求a，c。（四）课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边2、（1）在RtABC，C=90，a=8，b=15，则c=。（2）在RtABC，C=90，a=6，b=8，则c=。（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为。3、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2。ABCABC图（1）图（2）ACBabc103035104581144xABCD7cmFE第3题八年级下册章庄中学审定：祝彪第2页共7页18.1勾股定理（2）班级姓名座号一、学习目标能运用勾股定理解决简单的实际问题二、学习重难点重难点：运用勾股定理及方程的思想解决简单的实际问题。三、知识回顾1、直角三角形性质有：如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若B=30，则B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三边，则c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）b=。（已知a、c，求b）.2、（1）在RtABC，C=90，a=3，b=4，则c=。（2）在RtABC，C=90，a=6，c=8，则b=。（3）在RtABC，C=90，b=12，c=13，则a=。四、学习过程（一）例题尝试例1：一个门框的尺寸如图所示若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3米，宽1.5米呢？若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）当堂练习：如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点测得CB60m，AC20m，你能求出A、B两点间的距离吗?例2：长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动距离的近似值你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？（结果均保留两位小数）例3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m，消防队员取来65m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是25m，请问消防队员能否进入三楼灭火?（三）巩固练习1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为。2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为（结果保留根号）4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高。5、如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？ACBabcBC1m2mA实际问题数学模型OBDCABAC第2题AEBDC八年级下册章庄中学审定：祝彪第3页共7页18.1勾股定理（3）班级姓名座号一、学习目标能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想.二、学习重难点重点：运用勾股定理解决数学和实际问题。难点：勾股定理的应用。三、知识回顾1、（1）在RtABC，C=90，a=3，b=4，则c=。（2）在RtABC，C=90，a=5，c=13，则b=。2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC=。四、学习过程（一）问题引入：1、你能画出长为2cm的线段吗？小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。3、在数轴上表示3、4、5、n的点又如何表示呢？4、你能找到5、13、17、20、，在数轴上更简便的画法吗？（二）例题尝试例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。步骤如下：1在数轴上找到点A，使OA；2作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB；3以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点当堂练习：课本第69页练习第1题例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。例3：已知：如图，等边ABC的边长是6cm。（1）求等边ABC的高。（2）求SABC。（三）小结在数轴上寻找无理数：_。（四）达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为。2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示29的点。5、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个三角形，使三角形的三边长分别是10，5，13。6、（B组）已知：在RtABC中，C=90，CDAB于D，A=60，CD=3，求线段AB的长。ABCDDCBACABD八年级下册章庄中学审定：祝彪第4页共7页18.2勾股定理逆定理（1）班级姓名座号一、学习目标了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.二、学习重难点：重点：勾股定理的逆定理及其应用难点：勾股定理的逆定理的证明三、知识回顾1、勾股定理：直角三角形的两条_的平方_等于_的_，即_.2、已知在RtABC中，C=90，a、b、c是ABC的三边，则（1）c。（已知a、b，求c）（2）a。（已知b、c，求a）（3）b。（已知a、c，求b）3、填空题（1）在RtABC，C=90，a8，b15，则c。（2）在RtABC，B=90，a3，b4，则c。（如图）4、直角三角形的性质（1）有一个角是；（2）两个锐角，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含30角的直角三角形中，30的角所对的边是边的一半四、学习过程（一）阅读课本第73页，并完成思考题：1、对于一个直角三角形，如果知道任意的两条边，我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边，例如RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，试求AB的长？2、如果已知一个三角形的三边分别为5，12，13，你能判断这个三角形的形状吗？3、若一个三角形的三边a、b、c满足222cba，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程尝试证明你的结论？（二）归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。2、命题：对一件事情做出的语句。命题由和组成，命题可以改写成“如果，那么”的形式。3、逆命题：把一个命题的和调换位置后，称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系：在一定条件下可以互相转化。原命题成立，逆命题成立（填“一定”或“不一定”）。5、互逆定理：原命题与它的逆命题经过都是正确的，这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。（三）例题精讲例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15cba；（2）15,14,13cba方法小结：给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形，应验证“较两边平方和=较大边的平方”，如相等，则是且较长边为斜边，如不相等，则不能组成直角三角形。当堂练习：课本P76习题第1题例2：说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?（1）两条直线平行，内错角相等（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等（3）全等三角形的对应角相等（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等当堂练习：课本P76习题第2题（4分钟）（三）达标练习1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是_（填序号）3，4，51，3，44，4，66，8，105，7，213，5，127，25，242、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A5，6，7B1，4，9C5，12，13D5，11，123、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A、a=9，b=41，c=40B、a=b=5，c=25C、abc=345Da=11，b=12，c=154、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A42B52C7D52或75、命题“全等三角形的对应角相等”（1）它的逆命题是。（2）这个逆命题正确吗？（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。ABCabcABCBCA勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。八年级下册章庄中学审定：祝彪第5页共7页18.2勾股定理逆定理（2）班级姓名座号一、学习目标能利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状；并解决相关实际问题二、学习重难点重难点：利用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。三、学习过程（一）复习练习1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）5,2,1cba；（2）5.2,2,5.1cba（3）6,5,5cba2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。（1）同旁内角互补，两直线平行；解：逆命题是：；它是命题。（2）如果两个角是直角，那么它们相等；解：逆命题是：；它是命题。（3）全等三角形的对应边相等；解：逆命题是：；它是命题。（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：逆命题是：；它是命题。（二）例题精讲例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？反思：（1）解应用问题的三个基本过程：建立数学模型求解数学模型回到实际问题中去；（2）本题的关键在于判断PQR的形状。当堂检验：完成课本P76练习第3题，习题第3题（独立按照格式完成）例2：如图，有一块四边形地ABCD，90B,4ABm，3BCm，12CDm，13ADm，求该四边形地ABCD的面积?反思：构造直角三角形是解题的关键。（三）达标练习（5分钟）1下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是()A1，2，3B7，24，25C58，10D7，12，152“内错角相等两直线平行”的逆命题是.3一个三角形的两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边为.4在RtABC中,90C,若5AC,3BC,则AB.5在RtABC中,90C,oA45,10b,则c.6在RtABC中,90B,oA30,则cba:.7.已知ABC的三边为a、b、c，且2:1:1:cba，求三角形三个内角度数的比8.写出下列命题的逆命题，并判断它是否正确(1)等腰三角形的两底角相等；(2)三角形的三内角之比为l：1：2，则三角形为等腰直角三角形；(3)正方形的四个内角都是直角9ABC的三边a、b、c满足0)40(32|50|2cbaba试判断ABC的形状（四）课后补充作业：课本P76习题第5题ABCD八年级下册章庄中学审定：祝彪第6页共7页第18章勾股定理全章复习班级姓名座号一、学习目标复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.二、学习重难点重点：勾股定理及其逆定理的应用；难点：利用定理解决实际问题.三、学习过程（一）知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a，b，c，90C，则。公式变形：若知道a，b，则c；公式变形：若知道a，c，则b；公式变形：若知道b，c，则a；例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：b，c.(1)在RtABC中，若90C，4a，b3，则c.(2)在RtABC中，若oB90，9a，41b，则c.(3)在RtABC中，若90A，7a，5b，则c.（二）知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。例2：在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示10的点（三）知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A12，15，17B9，16，25C5a，12a，13a（a0）D2，3，42、判断由下列各组线段a，b，c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由.（1）5.6a，5.7b，4c；（2）11a，60b，61c；（3）38a，2b，310a；（4）433a，2b，414c；（四）知识要点4：利用列方程求线段的长例4：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离（五）知识要点5：构造直角三角形解决实际问题例5：如图，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是体.练一练915b1024c练一练练一练练一练ADEBCABC练一练八年级下册章庄中学审定：祝彪第7页共7页四、课后巩固练习（一）填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是.2、直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为.3、斜边长为l7cm，一条直角边长为l5cm的直角三角形的面积