2014年五一高中物理竞赛提高班后端习题1答案

2014 年 五一 高中 物理竞赛提高班 后端习题 答案 （第 一 次） 试卷说明 本测试与 2014 年 全国中学生物理竞赛复赛 难度相当，并与实际授课难度接近。希望学员经由本试卷了解 物理竞赛复赛 题型及难度，对 14 年 9 月 全国中学生物理竞赛预赛 举办之前的学习进度给出合理安排。 本习题用于学生对水平进行自我评估，如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 第二套后端习题将于 2014年 5月 15日 12:00发布。 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-6 2014-5-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年五一高中 物理竞赛提高班后端习题 1 答案 一、 （ 15 分）在水平地面某一固定点 O 用枪射击，射出的子弹在水平面上落点所能够覆盖的最大面积是 A 。若在 O 点正上方高度为 h 的 O点用同一支枪射击，射出的子弹在水平面上落点所能够覆盖的最大面积是多少？不计空气阻力，不计枪支的长度，每次射出的子弹初速度大小相同。 【解析】 对地面上的抛体运动，设抛出角为 ，初速度为 0v ，则易得轨迹方程为 2220ta n 2 c o sgy x xv 可以看到，轨迹方程为一族抛物线，且抛出角 与轨迹方程一一对应。抛物线在包络内两两相交，因此对包络内任意点，有两条抛物线轨迹经过该点，而对包络线上的点，仅与一条抛物线对应，即此处 是单值的，因此有 2220( t a n ) 02 c o sgx x yv 计算整理得 20tan vgx 将上式代入轨迹方程消去参数 得到包络线方程为 2 20202 2v gyxg v 另外，将轨迹方程中的 2cos 用 tan 表示 整理得 2 2 2 2 200( ) t a n ( 2 ) t a n ( 2 ) 0g x v x v y g x 该式为关于 （ 与 tan 一一对应）的一元二次方程，利用包络线上 的单值条件，上述方程只有单根，即 2 2 2 2 2 2004 ( 2 ) 4 ( ) ( 2 ) 0b a c v x g x v y g x 整理也可得包络线方程为 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 2 20202 2v gyxg v 由包络线方程可知，在地面上射击时，子弹能达到的最大水平位移为包络线方程中0y 时对应的 x 的绝对值，即 20max vx g 由已知条件可知 220vA g 由于包络线方程的推导与抛出点的高度无关，若在地面上方一点抛出，则包络线方程中的 y 值可取负值， y 的最小值为抛出点高度 h 。因此，在 O 点上方 O点射出子弹时，子弹能达到的最大水平位移为包络线方程中 yh 时对应的 x 的绝对值，即 2200m a x2 2vvxhgg 此时落点所能覆盖的最大面积为 2 2 2 22 0 0 0 0m a x 22 22v v v vA x h h A h Ag g g g 二、 （ 20 分）如图所示，外海和港口有一个直线的防波堤相隔，平面波从外海传来，这个平面波的振幅和波长一定，薄面平行于防波堤。在防波堤上有一开口，供船只进入，其宽度为 h ，并且可以在与波长差不多的范围内变动。设外海平面波的波速不变，不考虑防波堤和岸边的反射。 1. 进入港口的波在离开口很远的地方可以看作一个以开口中心为顶点的球面波，试说明原因。 2. 当 hr 时，在距离开口中心为 r 处的 C 点，波的振幅 a 与开口宽度 h 有什么关系？ 3. 实际上，港口内的球面波有一个顶角 ，若已知沿波面长度为 L 的波的能量在振幅一定的情况下，与振幅的平方以及 L 成正比，试确定球面波的顶角 与开口宽度 h的关系。 4. 试确定 C 点的振幅 a 与 C 点到开口的距离 r 的关系。 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 【解析】 1. 波经过小孔会发生衍射，根据惠更斯原理，任一波面上的点均可视为一个子波源而发出新的波，这些子波的包络面构成一个新的波前，因此会形成以开口中心为顶点的球面波。 2. 当 hr 时，开口上各点到 C 点的距离几乎相同，而以这些点为子波源的衍射波为相干波，其初相位相同，振幅与波长也相同，因此在 C 点时相位相同，发生相长干涉。可以认为，开口宽度上分割出的子波源间隔是相同的，因而子波源的数量n 与开口宽度 h 成正比，而相长干涉时合振幅 a 与波的数量 n 也成正比，因此 C 点出的振幅 a 与 开口宽度 h 成正比，即 a kh ， k 为比例常数。 3. 设开口处的振幅为 A ，则开口处波的总能量为 2E khA 其中 k 为比例常数，注意与第 2 问中的 k 意义不同。 在 C 点所在的波前，波的能量为 2E kr a 根据能量守恒，两能量相等，即 22r a hA 若开口宽度 h 变为原来的 b 倍，由第 2 问可知， C 点所在波前的振幅 a 也变为原来的 b 倍，此时顶角变为 ，仍需满足能量守恒，即 2 2 2r b a bhA 记 h bh ，代入上式整理得 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 2 2 22 2 2r ha h Ar h a h A 此时能使能量守恒在开口宽度变化后仍得到满足，得到 与 h 的关系为 consth 即 1h 4. 由第 3 问可知 22 hAra 因此，当 h 一定时，结合第 3 问中 consth ，得 12ar 三、 （ 25 分） 质量为 M 的宇航站与质量为 m 的飞船对接在一起沿半径为 nR 的圆形轨道绕地球运动，其中 1.25n ， R 为地球半径。在某一时刻，飞船从宇航站沿运动方向发射出去，并沿某椭圆轨道飞行，新轨道的最远点到地心的距离为 8nR ，如果希望飞船绕地球运动一周后恰好与宇航站再次相遇，则质量比 mM应为多少？ 【解析】 飞船由宇航站发射，发射后速度大于原速度，因此发射点处成为飞船新轨道的 近地点 ，而由于动量守恒，发射飞船后，宇航站速度 小于原速度，因此发射点处成为宇航站新轨道的 远地点 。记地球质量为 eM ，飞船被发射前，与宇航站的共同运动速度为 u ，由动力学方程得 2 e2()() ()G M M mM m unR nR 解得 eGMu nR 飞船发射后的瞬间，记飞船的速度为 v ，宇航站的速度为 V ，由动量守恒得 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 ()M m u MV mv 解得 m V uM u v 对飞船的新轨道， 近地点 距离 1r nR ， 近地点 速度 1vv ； 远地点 距离 2 8r nR ，远地点 速度 2vv ，由角动量守恒以及能量守恒得 22ee8112 2 8v n R v n RG M m G M mm v m vn R n R 解得 e4433GMvunR 同理，对宇航站的新轨道， 近地点 距离 1rr ，近地点速度 1vV ；远地点距离2r nR ，远地点速度 2vV ，由角动量守恒以及能量守恒得 22ee1122V r V n RG M M G M MM V M Vr n R 解得 e22GMrrVun R r n R n R r 设飞船新轨道的运行周期为 t ，宇航站新轨道的运行周期为 T ，两者的半长轴分别为1 8922nR nRa nR和2 2nR ra ，由开普勒第三定律得 3322(9 ) ( )nR nR rtT 解得 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 322 9t nRnR rT 又飞船运行一周后恰好与宇航站相遇，即有 , 1, 2, 3,t kT k 代入周期之比得 2323(9 )k nRrk 而宇航站不能与地球相撞，则应有 rR ， 代入 1.25n ， 解得 11k 将 r 代入 V 的表达式并代回质量比表达式得 232 123 3 3 1 8 2413rm V u rn R r kM u v n R r 又质量比为正值，即 23 92k ，解得 10k 综上， 10k 或 11k ，因此质量比为 0.048mM 或 0.153mM 四、 （ 20 分）平行板电容器两极板都是正方形，其面积均为 221.0 10 mS ，板间距离为31.0 10 md ，将电容器与电源相连，电源电动势为 100V 。再将厚度也 d ，大小与极板相同的电介质板（相对介电常数 2r ）以匀速 22.3 10 m sv 插入极板间， 不计电源内阻与导线电阻，忽略电介质板与极板间的摩擦， 求： 1. 电介质板插入过程中，电路中的电流为多少？ 2. 电介质板插入过程中，电源输出的能量为多少？ 3. 电介质板插入前后电容器储存的能量有何变化？比较该能量变化与电源输出的能量是否相同，并说明原因。 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 【解析】 1. 在电介质板插入过程中，电容器电容不断增大 。插入电介质板的部分与未插入电介质板的部分可看做两电容并联，总电容可视为从初始电容中减掉电介质板插入深度的初始电容，再并联等面积的带电介质板的电容，这是一个线性变化，又由于电介质板匀速插入，故插入过程中电流为恒定值，则 经过 t 时间后，电容变为 0 0 000 ( 1 )rrS v t S v t S v tC C Cd d d 电容增量为 00 ( 1 )r S v tCCC d 由电容与电荷量关系得 0( 1 )r S v tQC d 故电流为 90( 1 ) 2 1 0 Ar SvQI td 2. 电源输出的电能为 79 1 0 JSW I t I v 3. 未插入电介质板时，电容器储存的电能为 2 2 701011 4 . 4 3 1 0 J22 SWC d 插入电介质板后，电容器储存的电能为 22 0 11 22 rW C W 因此插入电介质板后电容器储存的能量增加为 72 1 1 4 . 4 3 1 0 JW W W W 显然，电源输出的能量 WW 。 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 将电介质板插入电容器极板间的过程中，电介质板上会产生极化电荷，极板上的自由电荷对极化电荷产生引力，要使电介质板能匀速插入电容器极板间，必须有一个外力克服电荷间的引力做负功，因此电源输出的这部分能量将转化成其他形式的能量释放。 五、 （ 25 分） 如图是由 24 个等值电阻连结而成的电阻网络。又有一电源，电动势为3.00V ，内阻 2.00r，电源与一阻值为 28.0R的电阻和二极管 D 串联后引出引线作为供电电路，引线点记为 P 和 Q。二极管 D 的伏安特性曲线如图所示。 1. 若将 P、 Q 两端与电阻网络 E、 G 两点相接，测得二极管两端的电压为 0.86V ，求电阻网络 E、 A 间的电压 EAU 。 2. 若将 P、 Q 两端与电阻网络 B、 D 两点相接，求二极管 D 的电流 DI 以及电阻网络 E、G 间的电压 EGU 。 【解析】 1. 由二极管的伏安特性曲线查得，当二极管电压 D1 0.86VU 时，对应的电流为D1 25.0mAI ，则电阻网络两端的电压为 E G 1 D 1 D 1 D 1 1 . 3 9 VU I R I r U 利用电阻网络的对称性，当接入 E、 G 两点时电阻网络的等效电路如图所示： F E H R 1 D C B A G R 2 R 3 R 4 R 6 R 5 R 7 R 9 R 8 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 20 R 21 R 22 R 23 R 24 1.6 1.0 100 50 10 I 0 /mA 0 U/V 0.2 A R 1 H G C E R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 20 R 21 R 22 R 23 R 24 F 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 解得等效电阻为 EG 137RR 又有 EGEGD1 55.6UR I 解得 EG7 29.913RR 由等效电路图可以看出，EA EG12UU，故有 EA 0.695VU 2. 当引线两端 P、 Q 与电阻网络 B、 D 两点相接时，等效电路如图所示： 由图解得等效电阻为 BD 5 21.47RR 通过二极管的电流 D2I 与二极管两端的电压 D2U 关系为 D 2 D 2 B D()U I R R r 代入数据得 D B A H G C E R 1 F R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 22 R 23 R 20 R 24 R 21 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 D 2 D 23 51.4UI 而 D2U 与 D2I 又满足二极管 D 的伏安特性曲线，故将上式所表示的方程画在伏安特性曲线中，如图所示，其与伏安特性曲线的交点即为所求电压与电流。 由图解得 D2 40.5mAI 根据电阻网络的等效电路的对称性可知， E、 G 两点所在支路电流为零，故 E、 G间的电势差为 D 2 4 1 D 2E G 1 1 222( ) 3 0 . 5 2 V7 2 2 7 2I R R IU R R R 六、 （ 20 分） 液体 A、 B 互不相容，它们的饱和蒸汽压 ip 与 热力学 温度 T 的关系为 )BA(ln0或 ibTapp iii 式中 0p 为标准大气压 ， a 、 b 为液体本身性质所决定的常量 。 已测得两个温度点的0ppi 值如下 ： C40 ： 284.00A pp ， 07278.00B pp C90 ： 476.10A pp ， 6918.00B pp 1. 在外部压强为 0p 时 ， 确定 A、 B 的沸点。 2. 现将液体 A 和 B 各 100g 注入 容器中，并在 A 表层覆盖有薄层无挥发性的液体 C， 1.6 1.0 100 50 10 I 0/mA 0 U/V 0.2 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 C 与 A、 B 互不相容， C 的作用是防止 A 自由挥发， 因而不考虑 C 的状态变化。液体内因重力而形成的压强可以忽略， A、 B 的摩尔质量比为 8BA MM 。对容器缓慢持续加热 ， 液体温度 t 随时间 的变化如图所示 。 试确定图中温度 1t 、 2t（精确到 1）以及在 1 时刻液体 A 和液体 B 的质量（精确到 0.1g）。假设 A、 B蒸汽均可视为理想气体，可以使用道尔顿分压定律。 【解析】 1. 沸点实际上是液体饱和蒸汽压等于外部气压时的温度 ， 因此在沸点时有 10App ， 10Bpp 代入饱和蒸汽压与温度的关系得到 0AAA bTa 0BBB bTa 因此，两液体沸点与常数 a 、 b 相关 。 将 A 液体测得 压强比代入公式得 AAAA9015.2 7 3)4 7 6.1ln (4015.2 7 3)2 8 4.0ln (baba 解得 K49.3748A a ， 711.10A b 同理可得 B 气体的常数为 P 0 C B A O t t 2 t 1 1 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 K64.5121B a ， 735.13B b 因此液体 A、 B 的沸点为 C100K89.372 C77K45.349BA TT 2. 温度 -时间图上有两个平台 ， 这表明该过程中包含两个沸腾过程 。 第一次沸腾时温度为 1t ， 第二次沸腾时温度为 2t 。 在 A、 B 交界面处，存在 A、 B 的饱和蒸汽，由道尔顿分压定律可知，此处液体的等效饱和蒸汽压为 BA ppp ，而在 B、 C 的交界面处，只有 B 的饱和蒸汽。显然，A、 B 交界面处的饱和蒸汽压将先于 B、 C 交界面处的饱和蒸汽压到达外部气压 0p ， 即1t 温度时 A、 B 交界面处发生沸腾。 此时 ， 有压强关系 01B1A )()( ptptp 又根据饱和蒸汽压与温度的关系有 ii btai eptp )15.273(01 1)( 因此可解得 C671 t 第一次沸腾完成后 ， A、 B 交界面消失，只剩一种液体，因此第二次沸腾温度 2t 一定为剩余液体的沸点 ， 即 C772 t 或 C1002 t 。 第一次沸腾过程中 ， 产生的气体为 A、 B 气体的混合气体，其分压分别为其饱和蒸汽压，因而混合气体中的两气体质量比为 )( )(8)( )( 1B 1A1BB 1AABA tp tptpM tpMmm 而 C671 t 时 ， A、 B 的饱和蒸汽压分别为 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 01A 734.0)( ptp ， 01B 267.0)( ptp 故而可得 0.22BA mm 即第一次沸腾过程中产生的气体中 A 气体质量是 B 气体质量的 22 倍，显然 A 液体将率先全部汽化，故而第二次沸腾前只剩液体 B，则 C1002 t 由第一次沸腾时产生气体中 A 与 B 的质量比可知， 当 100g 的 A 液体全部汽化时 ，B 液体汽化 4.5g，故在 1 时刻 ， 容器中 A 液体的质量为 0， B 液体的质量为 95.5g。 七、 （ 20 分） 如图所示，凸透镜焦距为 m15.0f ，主光轴上有一小光源 S ，另一侧两个反射面相向放置的平面镜，两平面镜彼此垂直，且与透镜主光轴成 45交角。两平面镜的交线与透镜主光轴垂直。现已知小光源中心到两平面镜交线的距离 m9.0SO ，透镜到两平面镜的 交线距离 m3.01 OO ， 试求 ： 1. 小光源 S 在透镜主光轴上共成几个像？指出像的虚实及位置。 2. 小光源 S 在透镜主光轴外共成几个像？指出像的虚实及位置。 【解析】 1. 如图所示 ， 小光源 S 发出的光经过透镜第一次折射成像于主光轴上 1S ， 根据成像公式fvu 111 ， 且 m6.011 SOu ， m15.0f ， 解得像距为 清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 m2.0111 SOv 像 1S 为实像 。 根据反射定律，像 1S 经过彼此垂直的平面镜将成三个像 2S 、 4S 和 6S ，而 2S 与 1S关于 O 点对称 ，即 m1.02 OS 显然像 2S 为虚像 。 像 2S 将经过透镜 第二次折射成像 3S ，同样根据成