【清华电路原理课件】第15章 拉普拉斯变换

第 15章 拉普拉斯变换 15.9 卷积定理 15.1 拉普拉斯变换 15.2 常用函数的拉普拉斯变换 15.3 拉普拉斯变换的基本性质 15.5 复频域中的电路定律 、 电路元件与模型 15.6 拉普拉斯变换法分析电路 15.7 网络函数 15.8 网络函数的极点和零点 15.4 拉普拉斯反变换 本章重点 本章重点 . 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数 . 返回目录 15.1 拉普拉斯变换 一、拉氏变换（ Laplace transformation）的定义 ttfsF st de)()(0 正变换 de)(j21)( jjssFtf st反变换（ Laplace transformation） （ inverse Laplace transformation） f(t)和 F(s)是一对拉普拉斯变换 （ Laplace pairs） 对 。 记号 f(t)表示取拉氏变换。 -1 F(s)表示取拉氏反变换。 f(t) ， t 0,)称为 原函数（ original function），属时 域（ time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 称为象函数（ transform function），属复频域 （ complex frequency domain） 。象函数 F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)， U(s)。 js称为复频 率 （ complex frequency）。 积分下限从 0 开始，称为 0 拉氏变换 。 积分下限从 0+ 开始，称为 0+ 拉氏变换 。 当 f(t)含有冲激函数项时， 此项 0 0+ 拉氏变换和 0拉氏变换的区别： ttfttfttfsFstststde)(de)( de)()(0000 为了把 0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。 二、拉氏变换存在条件 可进行拉氏变换。存在，的全部范围内收敛，即在则时当)(de)(e)( 0e)(l i m 000tfttftftftttt 不同的 f (t)， 0的值不同，称 0为复平面 s内的收敛横坐标。 0 j 0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 电工中常见信号为指数阶函数，即 为有限实数。是正实数，式中 CMtMtf Ct ),0 e)( tMttf tCt dede)( )(00 CMC选进行拉氏变换。就可以对衰减函数，为，则，选例)(ee)5(5e)( 505tftf ttt 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。 返回目录 0e1 sts0)(e1 tasas as 1 0 de0 tst)()(.1 ttf )(e)(.2 ttf at )()(.3 ttf 00d)( tt= 1 s115.2 常用函数的拉普拉斯变换 0 ( ) ( ) e dstt t t 0 e e e da t a t s t t j 1 e jts 0 ( ) ( ) e dstt t t 0elimstnttnttf )(.4stnst ed0nststntsstdee00 ttsn stn de01 0 e dn n s tt t t n nts 1nt 1n当 ，21ts ； n当 2，232ts ； 依 次 类 推 ， 得1nnnts 1 f1(t) e-t t 0 例 求图示两个函数的拉氏变换式 ssF1)(1 f2(t) e-t t 0 解 由于定义的拉氏变换积分下限是 0 ，两个 函数的拉氏变换式相同 ( 0)t 当取上式的反变换时，只能表示出 0t 区间的函数式 返回目录 1 e ts 1 15.3 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性（ linearity）性质 1 1 12 j j jss 22s)11(ssA1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( )f t F s f t F s若 12 ( ) ( ) a f t b f t则 )()( 21 sbFsaF As A例 1 ( 1 e ) tA 例 2 s i n t例 3 jj1 ( e e ) 2jtt 二、原函数的微分（ differentiation） s i n1 022 tss 22 ss1)(1 0 tss ( ) ( )f t F s设 d ( ) ( ) ( 0 )dft s F s ft则 11 ( )0d ( ) ( ) ( 0 )dn nn n k knkft s F s s ft 1d c o s ( s i n ) dttt例 1 ( ) t d ( ) dtt例 2 三、原函数的积分（ integration） 例 ( ) ( )f t F s设 01 ( ) d ( )t f F ss 则 t 0 ( ) d t 2 ( ) 1tss 四、时域平移（ time shift） f(t) (t-t0) t t0 0 t f(t-t0) (t-t0) t0 0 f(t) (t) t 0 f(t) (t) f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t-t0) 不是平移 ( ) ( )f t F s设 000 ( ) ( ) e ( )stf t t t t F s 则 例 1 求图示函数的拉氏变换式 )()()( Ttttf sTsssF e11)()()()( Tttttf )()()()()( TtTTtTttttf sTsTsTsssF ee11)( 22例 2 求图示函数的拉氏变换式 1 T t f(t) 0 T T f(t) 0 例 3 周期函数（ periodic function）的拉氏变换。 设 f1(t)为第一个周期的函数， )2()2( )()()()()(111TtTtfTtTtfttftf证：eee1)( 321 sTsTsTsF)(e111 sFsT. t f(t) 1 T/2 T 0 11 ( ) ( )f t F s 11 ( ) ( )1e sTf t F s则 21 1 1 ( ) ( ) e ( ) e ( )s T s Tf t F s F s F s )e1()e1(1)( 2TssTssF )e1(12Tss)2()()(1 Ttttf )e1(1)( 21TsssF五、 复频域平移（ frequency shift） ( ) ( )f t F s设 e ( ) ( )t f t F s 则 六、初值 (initial-value)定理和终值 (final-value)定理 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在 t = 0处无冲激， 则 22)( ss2)(1s22)( s例 1 例 2 例 3 存在时)(lim tft )(lim)(lim0ssFtfst 终值定理 f(t)及其导数 f (t)可进行拉氏变换，且 ，则 e tt e s in t t e c o s t t 例 1 11l i m)( 0 sstst例 2 2215)(sssI3)/212/115(l i m)2215(l i m)0( sssssiss例 3 1)111(l i m)(0 ssstist返回目录 1 ( ) ts 11( ) 1 e 1-tIsss 15.4 拉普拉斯反变换 一、由象函数求原函数 （ 2）经数学处理后查拉普拉斯变换表 )()()()( 21 sFsFsFsF n)()()()( 21 tftftftf n象函数的一般形式： )( )()()( 11011021 mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二、将 F(s)进行部分分式展开（ partial-fraction expansion） f(t)=L-1F(s) （ 1）利用公式 jj1( ) ( ) e d 02 jstf t F s s t较麻烦 nsssF ，有不等实根 12 0)(.1 nnssksskssksF2211)(nitsiiktf1e)(1)()( 11 sssFssk 2)()( 22 sssFssk nssnnsFssk )()()( 1ss )( 1ss)( 1ss)( 1ss等式两边同乘 (s-s1) =0 )()()(l i m211sFsFsssF iss i )()(21iiFsF)()(21iii sFsFkki也可用 分解定理 求 nitsii isFsFtf1 21 e)()()()()(lim21sFsssFk issi inniissksskssksFsFsF 1121)()()()( iss )( iss)( iss)( iss等式两边同乘（ s-si） )( iss应用洛比达法则求极限 0021321sksksk5.2)( 01 SssFk2( ) 2 . 5 5 e 1 . 5 e ( 0 )ttf t t )2)(1(52sssss例 1 )23(5)( 22ssssssF5)1)( 12 SssFk5.1)2)( 23 SssFk例 2 52)(2 ssF用分解定理 2311s - 2 s - 32223( ) ( )( ) e e( ) ( ) 3 e 7 e ( 0 )ttttF s F sftF s F st 6554)(2 ssssF)()(21iii sFsFk32 21 ss21122ss2( ) 2 ( ) 2 e e ( 0 )ttf t t t )2)(1(32sss例 3 23772)(22sssssF m n，用长除法，得 有共轭复根)( .2 2 sF12()jjkkFsss k1 , k2也是一对共轭复数。 )eeee()( )j(j)j(j tt kktf eee )(j)(j tttk2 e c o s ( ) ( 0 )tk t t 1 , 2 js 假设只有两个根 j1 ekk j2 ekk可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。 设 52)( 2ssssF 2j11 s6.26559.024j22j122 2j11 Sssk6.26559.024j22j122 2j12 Sssk)6.262co s (e5 5 9.02)( ttf t0)6.262co s (e12.1 ttt 例 2j12 s法一： 部分分式展开，求系数。 法二： 522 sss2222 2)1(12)1(1sss1( ) e c o s 2 e s i n 2 ( 0 )2ttf t t t t ( ) 1 . 1 2 e c o s ( 2 2 6 . 6 ) ( 0 )tf t t t 或 表 示 为 22 2)1( ss将 F2(s)改写为 (s )2 + 2 22 2)1(11ss有相等的实根（重根）)(.3 2 sF21211211)()()()(sskssksssFsF1)()( 212 SSsFssk 1)()(dd 211 SSsFsssk 21121 )()( kssksssF 等式两边乘 21 )( ss 1112( ) e e ( 0 )s t s tf t k k t t 221)1()1( SkSk2)1(52)(sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2)( tttf tt例 1 32322221)2()2()2( sksksk32)2(22)(ssssF例 2 2)2()2(42233223 Sssssk等式两边乘 3)2( s23222213 )2()2()2)( kskskssF 122dd21)2()2()22(dd21223322221 ss sssssssk2 2 2 2( ) e 2 e e ( 0 )t t tf t t t t 2)22()2()2(22dd2233222 sS ssssssk22213 )2(2)2)(dd kskssFs32 )2(2)2(2)2(1)(ssssF23222213 )2()2()2)( kskskssF 213222)2)(dd kssFs )()(1110nmmmssasasasFnnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情况 1)()( 1 SSnn sFssk 1)()(dd11 SSnn sFsssk 1)()(dd211222 SSnn sFsssk 1)()(dd)!1(11111 SSnnnsFsssnk 返回目录 一、电路元件的运算形式（ operator form） 电阻 R u = R i )()( sGUsI )()( sRIsU 15.5 复频域中的电路定律 、 电路元件与模型 + u - i(t) R + U(s) - I(s) R 取拉氏变换 电感 L tiLu LL dd)0()()0()()(LLLLLLiss L IissILsUsisLsUsI LLL)0()()( iL + uL - L + - sL )0( LLiUL(s) IL(s) - + 取拉氏变换 )0(d10 LtLL ituLisL + - UL(s) IL(s ) si L /)0( 电容 C susIsCsU CCC )0()(1)()0(d10 CtCC utiCu)0()()( CCC Cuss CUsI+ uC - iC IC(s) 1/sC uC(0-)/s UC(s) + - - + 1/sC CuC(0-) IC(s) UC(s) - + 取拉氏 变换 tuCi CC ddtiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111Miss M IiLsISLSUMiss M IiLsISLSU互感 M 取拉氏 变换 M L 1 L 2 i 1 i 2 + u 1 - + u 2 - + U2(s) - + - I1(s) sL1 sL2 sM + - + + - - U1(s) I2(s) )0(11 iL )0(22 iL )0(1 Mi)0(2 Mi+ - 1211uuRiu)()()()(1211sUsURsIsU受控电源 + - U1(s) + - R I1(s) U1(s) + - U2(s) + u 1 - + u 2 - R i1 u1 + - 二、电路定律的运算形式 0 K V L 0 K C Lui 0)( sU 0 )( sI ttiCtiLiRu0d1dd)(1)()()( sIsCss L IRsIsU + u - i R L C 设电路无初始储能 + U(s) - I(s) R sL 1/sC )1)(sCsLRsI sCsLRsZ 1)( )()()( sIsZsU )()()( sUsYsI )(1)(sZsY 运算形式的欧姆定律 运算阻抗 （ operational impedance） 运算导纳 （ operational admittance） 三、运算电路模型 （ 1）电压、电流用象函数形式。 （ 2）元件用运算阻抗或运算导纳。 （ 3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 时域电路 0)0( 0)0( LC iuR R L C i1 i2 E(t) + - 运算电路 R R sL 1/sC I1(s) I2(s) E/s + - uC(0-) = 25V iL(0-) = 5A 时域电路 t =0 时打开开关 例 5 2F 20 10 10 0.5H 50V + - uC + - iL 换路后 运算电路 0.5s UC(s) 20 - + + 1/2s 25/s 2.5 5 IL(s) + - - 解 返回目录 15.6 拉普拉斯变换法分析电路 步骤 （ 1）由换路前电路计算 uC(0-) , iL(0-) ； （ 2）画运算电路模型； （ 3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数； （ 4）反变换求原函数。 V100)0( Cu已知：t = 0时闭合 S，求 iL， uL。 例 1 200V 30 0.1H 10 - uC + 1000F iL + - uL + - S A5)0(1 Li）（ 2）画运算电路 ssL 1.0sssC1 0 0 0101 0 0 0116V100)0( Cu200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - 解 3 回路法）（221 )200()40000700(5)(sssssI5.0200)(10)1.040)( 21 ssIssIssIssI 100)()1 0 0 010()(10 21 )(1 sI)(2 sI200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - )(l i m)0()0( 1 ssFii sL 5200400)40000700(5l i222 sssss)(l i m)()( 01 ssFii sL 5200400)40000700(5l i m2220 sssss2222111 )2 0 0(2 0 0)( sKsKsKsI（ 4）反变换求原函数 221 )200()40000700(5)(sssssI校核初值和终值 01 )( SssFK5200400)40000700(50222Sssss1500)200)( 2 0 0222 SssFK2222111 )2 0 0(2 0 0)( sKsKsKsI0)()200(dd2 0 0221 SsFssK21 )2 0 0(1 5 0 0)2 0 0(05)(ssssI2001( ) ( ) ( 5 1 5 0 0 e ) A ( 0 )tLi t i t t t 5.0)()( 1 sLsIsU L2)200(3 0 0 0 0200150ss2 0 0 2 0 0( ) 1 5 0 e 3 0 0 0 0 e V ( 0 )ttLu t t t 要考虑初值 思考： uL是哪两端 的电压？ 200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - U