【荐】2015年人教版八年级下册数学教案

16 1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用 a （ a 0）的意义解答具体题目 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1重点：形如 a （ a 0）的式子叫做二次根式的概念； 2难点与关键：利用“ a （ a 0）”解决具体问题 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题： 二、探索新知 很明显 3 、 10 、 46，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数 的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如 a （ a 0） 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号 （学生活动）议一议： 1 -1 有算术平方根吗？ 2 0 的算术平方根是多少？ 3当 a0）、 0 、 42 、- 2 、 1xy、 xy （ x 0， y 0） 分析 ：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0 解 ：二次根式有： 2 、 x （ x0）、 0 、 - 2 、 xy （ x 0， y 0）；不是二次根式的有： 33 、1x 、 42 、 1xy 例 2 当 x 是多少时， 31x 在实数范围内有意义？ 分析 ：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1 0， 31x 才能有意义 解：由 3x-1 0，得： x 13 当 x 13时， 31x 在实数范围内有意义 三、巩固练习 教材 P5 练习 1、 2、 3 四、应用拓展 例 3 当 x 是多少时， 23x + 11x在实数范围内有意义？ 分析 ：要使 23x + 11x在实数范围内有意义 ，必须同时满足 23x 中的 0 和 11x中的 x+10 解：依题意，得 2 3 010xx由得： x -32由得： x -1 当 x -32且 x -1 时， 23x + 11x在实数范围内有意义 例 4(1)已知 y= 2 x + 2x +5，求 xy的值 (答案 :2) (2)若 1a + 1b =0，求 a2004+b2004的值 (答案 :25) 五、归纳小结 （学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1形如 a （ a 0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 六、布置作业 1教材 P5 1， 2， 3， 4 2选用课时作业设计 16.1 二次根式 (2) 教学内容 1 a （ a 0）是一个非负数； 2（ a ） 2=a（ a 0） 教学目标 理解 a （ a 0）是一个非负数和（ a ） 2=a（ a 0），并利用它们进行计算和化简 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （ a 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a ） 2=a（ a 0）；最后运用结论严谨解题 教学重难点关键 1重点： a （ a 0）是一个非负数；（ a ） 2=a（ a 0）及其运用 2难点、关键：用分类思想的方法导出 a （ a 0）是一个非负数； 用探究的方法导出（ a ） 2=a（ a 0） 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1什么叫二次根式？ 2当 a 0 时， a 叫什么？当 a0；（ 2） a2 0；（ 3） a2+2a+1=（ a+1） 0； （ 4） 4x2-12x+9=（ 2x） 2-2 2x 3+32=（ 2x-3） 2 0 所以上面的 4 题都可以运用（ a ） 2=a（ a 0）的重要结论解题 解：（ 1）因为 x 0，所以 x+10 （ 1x ） 2=x+1 （ 2） a2 0，（ 2a ） 2=a2 （ 3） a2+2a+1=（ a+1） 2 又（ a+1） 2 0， a2+2a+1 0 ， 2 21aa=a2+2a+1 （ 4） 4x2-12x+9=（ 2x） 2-2 2x 3+32=（ 2x-3） 2 又（ 2x-3） 2 0 4x2-12x+9 0，（ 24 1 2 9xx） 2=4x2-12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式 : （ 1） x2-3 （ 2） x4-4 (3) 2x2-3 分析 ： (略 ) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1 a （ a 0）是一个非负数； 2（ a ） 2=a（ a 0） ;反之 :a=（ a ） 2（ a 0） 六、布置作业 1教材 P5 5， 6， 7， 8 2选 用课时作业设计 16.1 二次根式 (3) 教学内容 2a a（ a 0） 教学目标 理解 2a =a（ a 0）并利用它进行计算和化简 通过具体数据的解答，探究 2a =a（ a 0），并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键 1重点： 2a a（ a 0） 2难点：探究结论 3关键：讲清 a 0 时， 2a a 才成立 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1形如 a （ a 0）的式子叫做二次根 式； 2 a （ a 0）是一个非负数； 3 ( a )2 a（ a 0） 那么，我们猜想当 a 0 时， 2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题 二、探究新知 （学生活动）填空： 2 =_； 20.01 =_； 21()10=_； 22()3=_； 20 =_； 23()7=_ （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2 =2； 20.01 =0.01； 21()10= 110； 22()3=23； 20 =0； 23()7=37 因此，一般地： 2a =a（ a 0） 例 1 化简 （ 1） 9 （ 2） 2( 4) （ 3） 25 （ 4） 2( 3) 分析 ：因为（ 1） 9=-32，（ 2）（ -4） 2=42，（ 3） 25=52， （ 4）（ -3） 2=32，所以都可运用 2a =a（ a 0） 去化简 解：（ 1） 9 = 23 =3 （ 2） 2( 4) = 24 =4 （ 3） 25 = 25 =5 （ 4） 2( 3) = 23 =3 三、巩固练习 教材 P7 练习 2 四、应用拓展 例 2 填空：当 a 0 时， 2a =_；当 aa，则 a 可以是什么数？ 分析 ： 2a =a（ a 0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当 a 0 时，2a = 2()a ，那么 -a 0 （ 1）根据结论求条件；（ 2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（ 3）根据（ 1）、（ 2）可知 2a = a，而 a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？ aa，即使 aa 所以 a 不存在；当 aa，即使 -aa， a2，化简 2( 2)x - 2(1 2 )x 分析 ： (略 ) 五、归纳小结 本节课应掌握： 2a =a（ a 0）及其运用，同时理解当 a、 0），反过来 ab= ab（ a 0， b0）及利用它们进行 计算和化简 教学目标 理解 ab= ab（ a 0， b0）和 ab= ab（ a 0， b0）及利用它们进行运算 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简 教学重难点关键 1重点：理解 ab= ab（ a 0， b0）， ab= ab（ a 0， b0）及利用它们进行计算和化简 2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1写出二次根式的乘法规定及逆向等 式 2填空 （ 1） 916=_， 916=_；（ 2） 1636=_， 1636=_； （ 3） 416=_， 416=_； （ 4） 3681=_， 3681=_ 规律： 916_ 916； 1636_ 1636； 416_ 416； 3681_ 3681 3利用计算器计算填空 : （ 1） 34=_，（ 2） 23=_，（ 3） 25=_，（ 4） 78=_ 规律： 34_ 34； 23_ 23； 25_ 25； 78_ 78。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： ab= ab（ a 0， b0）， 反过来， ab= ab（ a 0， b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例 1 计算：（ 1） 123（ 2） 3128（ 3） 114 16（ 4） 648分析 ：上面 4 小题利用 ab= ab（ a 0， b0）便可直接得出答案 解：（ 1） 123= 123= 4 =2 （ 2） 3128= 3 1 3 8 3 42 8 2 = 3 =2 3 （ 3） 114 16= 1 1 1 164 1 6 4 = 4 =2 （ 4） 648= 648= 8 =2 2 例 2 化简： （ 1） 364（ 2） 22649ba（ 3）2964xy（ 4）25169xy分析：直接利用 ab= ab（ a 0， b0）就可以达到化简之目的 解：（ 1） 364= 33864（ 2） 22649ba= 2264 839bbaa （ 3）2964xy=293864xxyy （ 4）25169xy=25513169xxyy 三、巩固练习 教材 P14 练习 1 四、应用拓展 例 3 已知 996 6xxx x ，且 x 为偶数，求（ 1+x） 22541xxx的值 分析： 式子 ab= ab，只有 a 0， b0 时才能成立 因此得到 9-x 0 且 x-60，即 60）和 ab= ab（ a 0， b0）及其运用 六、布置作业 1习题 16 2 2、 7、 8、 9 16.2 二次根式的乘除 (3) 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键 1重点：最简二次根式的运用 2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学 上台板书） 1计算（ 1） 35，（ 2） 3227，（ 3） 82a老师点评： 35= 155， 3227= 63， 82a= 2 aa2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km， h2km， 那么它们的传播半径的比是 _ 它们的比是 1222RhRh 二、探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的 二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的 比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式 学生分组讨论，推荐 3 4 个人到黑板上板书 老师点评：不是 1222RhRh= 12112 2 222hhR h hR h h h. 例 1 (1) 5312; (2) 2 4 4 2x y x y ; (3) 238xy 例 2如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=2.5cm， BC=6cm，求 AB 的长 BAC解：因为 AB2=AC2+BC2 所以 AB= 222.5 6 = 25 1 6 9 1 6 9 1 3( ) 3 62 4 24 =6.5（ cm） 因此 AB 的长为 6.5cm 三、巩固练习 练习 2、 3 四、应用拓展 例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不 是最简二次根式的化成最简二次根式： 121= 1 ( 2 1 ) 2 121( 2 1 ) ( 2 1 ) = 2 -1， 132= 1 ( 3 2 ) 3 232( 3 2 ) ( 3 2 ) = 3 - 2 ， 同理可得： 143= 4 - 3 ， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 121+ 132+ 143+ 12 0 0 2 2 0 0 1）（ 2002 +1）的值 分析： 由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式 =（ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 + + 2002 - 2001 ）（ 2002 +1） =（ 2002 -1）（ 2002 +1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其 运用 六、布置作业 1习题 16 2 3、 7、 10 16.3 二次根式的加减 (1) 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会判定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下 列各式 （ 1） 2x+3x； （ 2） 2x2-3x2+5x2； （ 3） x+2x+3y； （ 4） 3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 二、探索新知 学生活动：计算下列各式 （ 1） 2 2 +3 2 （ 2） 2 8 -3 8 +5 8 （ 3） 7 +2 7 +3 97 （ 4） 3 3 -2 3 + 2 老师点评： （ 1）如果我们把 2 当成 x，不就转化为上面的问题吗？ 2 2 +3 2 =（ 2+3） 2 =5 2 （ 2）把 8 当成 y； 2 8 -3 8 +5 8 =（ 2-3+5） 8 =4 8 =8 2 （ 3）把 7 当成 z； 7 +2 7 + 9 7 =2 7 +2 7 +3 7 =（ 1+2+3） 7 =6 7 （ 4） 3 看为 x， 2 看为 y 3 3 -2 3 + 2 =（ 3-2） 3 + 2 = 3 + 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 2 与 8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 （板书） 3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3 所以， 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并 例 1 计算 （ 1） 8 + 18 （ 2） 16x + 64x 分析 ：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（ 1） 8 + 18 =2 2 +3 2 =（ 2+3） 2 =5 2 （ 2） 16x + 64x =4 x +8 x =（ 4+8） x =12 x 例 2 计算 （ 1） 3 48 -9 13+3 12 （ 2）（ 48 + 20 ） +（ 12 - 5 ） 解：（ 1） 3 48 -9 13+3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（ 12-3+6） 3 =15 3 （ 2）（ 48 + 20 ） +（ 12 - 5 ） = 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5 三、巩固练习 教材 P19 练习 1、 2 四、应用拓展 例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 93xx+y23xy） -（ x2 1x-5x yx）的值 分析： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（ 2x-1） 2+（ y-3） 2=0，即 x=12， y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成 最简二次根式， 再合并同类二次根式，最后代入求值 解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （ 2x-1） 2+（ y-3） 2=0 x=12， y=3 原式 = 2 93xx+y23xy-x2 1x+5x yx=2x x + xy -x x +5 xy =x x +6 xy 当 x=12， y=3 时， 原式 =12 12+6 32= 24+3 6 五、归纳小结 本节课应掌握：（ 1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（ 2）相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 1习题 16 3 1、 2、 3、 5 16.3 二次根式的加减 (2) 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 运用二次根式、化简解应用题 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤 ：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固 二、探索新知 例 1如图所示的 Rt ABC 中， B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 / 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 /秒的速度向点 C 移动问：几秒后 PBQ 的面积为 35平方厘米？（结果用最简二次根式表示） BACQP分析： 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x， BQ=2x， 根据三角形面积公式就可以求出 x 的值 解：设 x 后 PBQ 的面积 为 35 平方厘米 则有 PB=x， BQ=2x 依题意，得： 12x 2x=35 x2=35 x= 35 所以 35 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 答： 35 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 例 2 要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？ 分析： 此框架是由 AB、 BC、 BD、 AC 组成，所以要求钢架的钢材， 只需知道这四段的长度 BA C2 m1 m4 m Dww w . cz sx . co m . cn解：由勾股定理，得 AB= 2 2 2 24 2 2 0A D B D =2 5 BC= 2 2 2 221B D C D = 5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5 + 5 +5+2 =3 5 +7 3 2.24+7 13.7（ m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材 三、巩固练习 教材练习 3 四、应用拓展 例 3 若最简根式 3 43abab 与根式 2 3 226a b b b是同类二次根式，求 a、 b 的值（ 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析 ：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； 事实上，根式2 3 226a b b b不是最简二次根式，因此把 2 3 226a b b b化简成 |b| 26ab ，才由同类二次根式的定义得 3a- b= 2， 2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式 2 3 226a b b b化为最简二次根式： 2 3 226a b b b= 2 ( 2 1 6 )ba =|b| 26ab 由题意得 4 3 2 632a b a bab 2 4 632abab a=1， b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 1习题 16 3 7 16.3 二次根式的加减 (3) 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用 教学目标 含有 二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 : 1计算 （ 1）（ 2x+y） zx （ 2）（ 2x2y+3xy2） xy 2计算 （ 1）（ 2x+3y）（ 2x-3y） （ 2）（ 2x+1） 2+（ 2x-1） 2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（ 1） 单项式单项式；（ 2）单项式多项式；（ 3）多项式单项式；（ 4）完全平方公式；（ 5）平方差公式的运用 二、探索新知 如果把上面的 x、 y、 z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立 整式运算中的 x、 y、 z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式 例 1计算 : （ 1） （ 6 + 8 ） 3 （ 2）（ 4 6 -3 2 ） 2 2 分析 ：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整式的运算规律 解：（ 1）（ 6 + 8 ） 3 = 6 3 + 8 3 = 18 + 24 =3 2 +2 6 解：（ 4 6 -3 2 ） 2 2 =4 6 2 2 -3 2 2 2 =2 3 -32例 2 计算 （ 1）（ 5 +6）（ 3- 5 ） （ 2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ） 分析： 刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解：（ 1）（ 5 +6）（ 3- 5 ） =3 5 -（ 5 ） 2+18-6 5 =13-3 5 （ 2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ） =（ 10 ） 2-（ 7 ） 2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习 1、 2 四、应用拓展 例 3已知 xba=2- xab，其中 a、 b 是实数，且 a+b 0， 化简 11xx+ 11xx，并求值 分析 ：由于（ 1x + x ）（ 1x - x ） =1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可 解：原式 = 2( 1 )( 1 ) ( 1 )xxx x x x + 2( 1 )( 1 ) ( 1 )xxx x x x = 2( 1 )( 1)xx+ 2( 1 )( 1)xx=（ x+1） +x-2 ( 1)xx +x+2 ( 1)xx =4x+2 xba=2- xab b（ x-b） =2ab-a（ x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （ a+b） x=a2+2ab+b2 （ a+b） x=（ a+b） 2 a+b 0 x=a+b 原式 =4x+2=4（ a+b） +2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1习题 16 3 1、 8、 9 17 1 勾股定理（一） 一、教学目的 1了解勾股定理的 发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1重点：勾股定理的内容及证明。 2难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2使学生明确，图形经过割补拼接 后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm的直角 ABC，用刻度尺量出 AB的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的 人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。 再画一个两直角边为 5和 12的直角 ABC，用刻度尺量 AB 的长。 你是否发现 32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，即 32+42=52， 52+122=132，那么就有勾 2+股 2=弦 2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例 1（补充）已知：在 ABC 中， C=90， A、 B、 C 的对 边为 a、 b、 c。 求证： a2 b2=c2。 分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸， 让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 拼成如图所示，其等量关系为： 4S +S 小正 =S 大正 421ab（ b a） 2=c2，化简可证。 发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 已知：在 ABC 中， C=90， A、 B、 C的对边为 a、 b、 c。 求证： a2 b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相 等，则两个正方形的面积相等。 左边 S=421ab c2 右边 S=（ a+b） 2 cbaD CA Bbbbbccccaaaabbbbaaccaa 左边和右边面积相等，即 421ab c2=（ a+b） 2 化简可证。 六、课堂练习 1勾股定理的具体内容是： 。 2如图，直角 ABC的主要性质是： C=90，（用几何语言表示） 两锐角之间的关系： ； 若 D为斜边中点，则斜边中线 ； 若 B=30，则 B的对边和斜边： ； 三边之间的关系： 。 3 ABC的三边 a、 b、 c，若满足 b2= a2 c2，则 =90； 若满足 b2 c2 a2，则 B 是 角； 若满足 b2 c2 a2，则 B 是 角。 4根据如图所示，利用面 积法证明勾股定理。 七、课后练习 1已知在 Rt ABC中， B=90， a、 b、 c是 ABC的三边，则 c= 。（已知 a、 b，求 c） a= 。（已知 b、 c，求 a） b= 。（已知 a、 c，求 b） 2如下表，表中所给的每行的三个数 a、 b、 c，有 a b c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19时， b， c的值，并把 b、 c用含 a的代数式表示出来。 3、 4、 5 32+42=52 5、 12、 13 52+122=132 7、 24、 25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412 19， b、 c 192+b2=c2 3在 ABC 中， BAC=120， AB=AC= 310 cm，一动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动，问当 P 点移动多少秒时， PA与腰垂直。 4已知：如图，在 ABC中， AB=AC， D在 CB的延长线上。 求证： AD2 AB2=BD CD 若 D在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 1略； 2 A+ B=90 ； CD=21AB； AC=21AB； AC2+BC2=AB2。 3 B，钝角，锐角； 4提示：因为 S 梯形 ABCD = S ABE+ S BCE+ S EDA，又因为 S 梯形 ACDG=21（ a+b） 2， S BCE= S EDA=21ab， S ABE=21c2, 21（ a+b） 2=221ab21c2。 课后练习 AD CBAC BDbccaabDCAEB 1 c= 22 ab ； a= 22 cb ； b= 22 ac 21222bccba ；则 b= 2 12a ， c= 212a ；当 a=19 时， b=180， c=181。 3 5秒或 10 秒。 4提示：过 A作 AE BC于 E。 课后反思： 17 1 勾股定理（二） 一、教学目的 1会用勾股定理进行简单的计算。 2树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1重点：勾股定理的简单计算。 2难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例 2（补充）让学生注意所给 条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例 1（补充）在 Rt ABC， C=90 已知 a=b=5,求 c。 已知 a=1,c=2, 求 b。 已知 c=17,b=8, 求 a。 已知 a： b=1： 2,c=5, 求 a。 已知 b=15， A=30，求 a， c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三 边。 分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边 ，也可能是斜边，因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例 3（补充）已知：如图，等边 ABC的边长是 6cm。 求等边 ABC的高。 求 S ABC。 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 D C B A 法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt ADC或 Rt BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD=21AB=3cm，则此题可解。 六、课堂练习 1填空题 在 Rt ABC， C=90， a=8， b=15，则 c= 。 在 Rt ABC， B=90， a=3， b=4，则 c= 。 在 Rt ABC， C=90， c=10， a： b=3： 4，则 a= ， b= 。 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 已知直角三角形的两边长分别为 3cm和 5cm，则第三边长为 。 已 知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ， 面积为 。 2已知：如图，在 ABC中， C=60， AB= 34 ， AC=4， AD是 BC边上的高，求 BC 的长。 3已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰 三角形的面积。 七、课后练习 1填空题 在 Rt ABC， C=90， 如果 a=7， c=25，则 b= 。 如果 A=30， a=4，则 b= 。 如果 A=45， a=3，则 c= 。 如果 c=10， a-b=2，则 b= 。 如果 a、 b、 c是连续整数，则 a+b+c= 。 如果 b=8， a： c=3： 5，则 c= 。 2已知：如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD DC， AB AC， B=60， CD=1cm，求 BC的长。 八、参考答案 课堂练习 1 17； 7 ； 6， 8； 6， 8， 10； 4或 34 ； 3 ， 3 ； 2 8； 3 48。 课后练习 1 24； 4 3 ； 3 2 ； 6； 12； 10； 2332课后反思： AC BDB CDA 17 1 勾股定理（三） 一、教学目的 1会用勾股定理解决简单的实际问题。 2树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1重点：勾股定理的应用。 2难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例 1（教材探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例 2（教材探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形 三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以 吗？试一试。 五、例习题分析 例 1（教材 探究 1） 分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例 2（教材探究 2） 分析：在 AOB中，已知 AB=3， AO=2.5，利用勾股定理计算 OB。 在 COD中，已知 CD=3， CO=2，利用勾股定理计算 OD。 则 BD=OD OB，通过计算可知 BD AC。 进一步让学生探究 AC和 BD的关系，给 AC不同的值，计算 BD。 六、课堂练习 1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。 2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米，则这两株树之间的垂直距离是 米 ， 水 平 距 离 是 米。 2题图 3题图 4题图 3如图，一根 12米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 4如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长 为 2公里，隧道造价为 500 万元， AC=80 公里， BC=60 公里，则改建 后 可 省 工程费用是多少？ DA BC30A BCC ABACBOABCD 七、课后练习 1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、 C两点，在江对岸取一点 A，使 AC垂直江岸，测得 BC=50米， B=60，则江面的宽度为 。 2 有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 3一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、 Q 两点， PQ=16 厘米，且 RP PQ，则 RQ= 厘米。 4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米， B= C=30， E、 F 分别为 BD、 CD 中点，试求B、 C两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度。 （精确到 1米） 八、参考答案： 课堂练习： 1 2250 ； 2 6， 32 ； 3 18米； 4 11600； 课后练习 1 350 米； 222； 3 20； 4 83米， 48米， 32 米； 课后反思： 17 1 勾股定理（四） 一、教学目的 1会用勾股定理解决较综合的问题。 2树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1重点：勾股定理的综合应用。 2难点：勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析 例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。 例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。 例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。 例 4（教材 P76 页探究 3）让 学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 RP QACB DE F 五、例习题分析 例 1（补充） 1已知：在 Rt ABC中， C=90， CD BC于 D， A=60， CD= 3 ， 求线段 AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3 个直角三角形，三个勾股定理及推 导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特 殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB ， 可 由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由 22 BCACAB ，分别在两个三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 AC=2和 BC=6。 例 2（补充）已知：如图， ABC中， AC=4， B=45， A=60，根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的 ABC不是直角 三角形，所以根据题设