陕西省榆林市2016年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

陕西省榆林市 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的） . 1已知集合 A=x|x+1| 1， B=x|y= ， y R，则 A ） A（ 2， 1） B（ 2， 1 C（ 1， 0） D 1， 0） 2为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 出 y（万元） 据表可得回归直线方程 =a+此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 3在区间 0， 10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间 0， 10内的概率为（ ） A B C D 4已知等比数列 项都为正数，且 1+ 与 7 的等差中项，则 ） A 27 B 21 C 14 D以上都不对 5 a、 b、 c 依次表示 函数 f（ x） =2x+x 2， g（ x） =3x+x 2， h（ x） =x 2 的零点，则a、 b、 c 的大小顺序为（ ） A c b a B a b c C a c b D b a c 6已知 a 2， 3， b 1， 2， 3，执行如图所示程序框图，则输出的结果共有（ ） A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种 7下列命题正确的个数是（ ） 命题 “ R， 3否定是 “ x R， 3x”； 已知 a=b=c= a b c； “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ 0”； 已知数列 等比数列，则 数列 递增数列的必要条件 A 3 个 B 4 个 C 1 个 D 2 个 8设 m= 将函数 f（ x） =x+）的图象向左平移 m 个单位后所得图象与原图象重合，则 的值不可能为（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 9已知（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 3+（ 1+x） n=a0+ a0+a1+26，那么 的展开式中的常数项为（ ） A 15 B 15 C 20 D 20 11过圆 C：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 的圆心，作直线分别交 x 轴、 y 轴的正半 轴于 A、 圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足 4=3，则直线（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 0 条 12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =2f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x）= ，若当 x 4， 2）时，函数 f（ x） t 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A 3 t 0 B 3 t 1 C 2 t 0 D 0 t 1 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 10如图，在矩形 ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 ，若，则 的值是（ ） A B 2 C 0 D 1 13如果复数（ 1+（ 2+i）是纯虚数，则 的值为 14某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为 15已知 等轴双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 在 C 上， 0，则|于 16等差数列 前 n 项和为 （ 1） 3+2016（ 1） =（ 1）3+2016（ 1） =则 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分）（ 2016 榆林二模）如图，已知平面上直线 A、 B 分别是 的动点， C 是 间一定点， C 到 距离 ， C 到 距离 ， 角 A、B、 C 所对 边分别为 a、 b、 c， a b，且 1）判断三角形 形状； （ 2）记 ， f（ ） = ，求 f（ ）的最大值 18（ 12 分）（ 2016 榆林二模）某单位有车牌尾号为 2 的汽车 A 和尾号为 6 的汽车 B，两车分属于两个独立业务部门对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， B 车日出车频率 地区汽车限行规定如下： 车尾号 0 和 5 1 和 6 2 和 7 3 和 8 4 和 9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 A， B 两车出车相互独立 （ ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率； （ ）设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 X 的分布列及其数学期望 E（ X） 19（ 12 分）（ 2016 榆林二模）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0，Q 为 中点 （ 1）若 D，求证：平面 平面 （ 2）点 M 在线段 ， 平面 平面 D=，求平面 平面 角的大小 20（ 12 分）（ 2016 榆林二模）已知 F（ 1， 0），直线 l： x= 1， P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 （ ）求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程； （ ）设动直线 y=kx+m 与曲线 C 相切于点 M，且与直线 x= 1 相交于点 N，试问：在 ，使得以 直径的圆恒 过此定点 E？若存在，求出定点 E 的坐标；若不存在，说明理由 21（ 12 分）（ 2016 榆林二模）已知函数 f（ x） =1（ + x2+x） +2 a， b R 且 a 0） （ 1）当 1=1， 2=0 时，若已知 函数 f（ x）的两个极值点，且满足： 1 2，求证： f（ 1） 3； （ 2）当 1=0， 2=1 时， 求实数 y=f（ x） 3（ 1+x（ x 0）的最小值； 对于 任意正实数 a， b， c，当 a+b+c=3 时，求证： 9 22（ 10 分）（ 2016 衡阳校级模拟）如图，在 ， 平分线， C 于点 E， （ ）求证： （ ）当 ， 时，求 长 选修 4何证明选讲 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 渭南一模）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度 单位相同，直线 l 的极坐标方程为： = ，点 P（ 2），参数 R （ ）求点 P 轨迹的直角坐标方程； （ ）求点 P 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 24（ 2016 北海一模）（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为M （ 1）求 M； （ 2）当 a， b M 时，证明： 2|a+b| |4+ 2016 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择 题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的） . 1已知集合 A=x|x+1| 1， B=x|y= ， y R，则 A ） A（ 2， 1） B（ 2， 1 C（ 1， 0） D 1， 0） 【分析】 先求出集合 A， B 的对应元素，然后根据集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解： A=x|x+1| 1=x| 2 x 0， B=x|y= ， yR=x| =x|x 1， x|x 1， 即 Ax| 1 x 0， 故选： C 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合 A， B 是解决本题的关键 2为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 出 y（万元） 据表可得回归直线 方程 =a+此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 【分析】 由题意可得 和 ，可得回归方程，把 x=15 代入方程求得 y 值即可 【解答】 解：由题意可得 = （ =10， = （ =8， 代入回归方程可得 =8 10= 回归方程为 = 把 x=15 代入方程可得 y=15+ 故选： B 【点评】 本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题 3在区间 0， 10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间 0， 10内的概率为（ ） A B C D 【分析】 首先分析题目求这两个数的平方和也在区间 0， 10内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直 接求得结果 【解答】 解：将取出的两个数分别用 x， y 表示，则 x， y 0， 10 要求这两个数的平方和也在区间 0， 10内，即要求 0 x2+10， 故此题可以转化为求 0 x2+10 在区域 内的面积比的问题 即由几何知识可得到概率为 = ； 故选 A 【点评】 此题考查等可能时间概 率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握 4已知等比数列 项都为正数，且 1+ 与 7 的等差中项，则 ） A 27 B 21 C 14 D以上都不对 【分析】 1+ 与 7 的等差中项，可得 2+ +7 ，可得 等比数列 性质可得： ，再利用对数的运算性质即可得出 【解答】 解： 1+ 与 7 的等差中项， 2+ +7 ，可得 由等比数列 性质可得： =16， 则 = =14 故选： C 【点 评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5 a、 b、 c 依次表示函数 f（ x） =2x+x 2， g（ x） =3x+x 2， h（ x） =x 2 的零点，则a、 b、 c 的大小顺序为（ ） A c b a B a b c C a c b D b a c 【分析】 先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解 【解答】 解：由于： f（ x） =2x+x 2， g（ x） =3x+x 2， h（ x） =x 2 在定义域上是增函数， 对于 f（ x） =2x+x 2， 由于： f（ ） = + 2 0， f（ 1） =2+1 2=1 0， 所以：函数在（ ， 1）上有唯一的零点，即 a （ ， 1）； 对于 g（ x） =3x+x 2， 由于： g（ ） = + 2 0， g（ 0） =1+0 2= 1 0， 所以：函数在（ 0， ）上有唯一的零点，即 b （ 0， ）； 对于 h（ x） =x 2， 由于： h（ 1） = 2= 1 0， h（ 2） =0， 可得：函数在（ 1， 2）上有唯一的零点，即 c （ 1， 2）； 则 b a c， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意注意函数的零点的灵活运用，属于基础题 6已知 a 2， 3， b 1， 2， 3，执行如图所示程序框图，则输出的结果共有（ ） A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种 【分析】 算法的功能是求 c= 的值，计算当 a=2 时， b=1、 2、3，输出的 c 值，再计算当 a=3 时， b=1、 2、 3，输出的 c 值，可得答案 【解 答】 解：由程序框图知：算法的功能是求 c= 的表达式， 当 a=2 时， b=1、 2、 3，则输出的结果是 c=， c=1， c= ； 当 a=3 时， b=1、 2、 3，则输出的结果是 c=， c=c=1 输出的结果有 4 个 故选： B 【点评】 本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键 7下列命题正确的个数是（ ） 命题 “ R， 3否定是 “ x R， 3x”； 已知 a=b=c= a b c； “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ 0”； 已知数列 等比数列，则 数列 递增数列的必要条件 A 3 个 B 4 个 C 1 个 D 2 个 【分析】 由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断； 利用指数式、对数式，确定各值的范围，即可判断； “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ 0 且 与 不共线 ”，可得结论； 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解： 命题 “ R， 3否定是 “ x R， 3x”，正确； a=b= a b 2， c=2， a b c，正确； “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ 0 且 与 不共线 ”，不正确； 等比数列， 若 “则 “数列 递增数列 ”，充分性成立，若 “数列递增数列 ”，则 “立，即必要性成立，故 “ “数列 递增数列 ”的充要条件，不正确 故选： D 【点评】 本题考查简易逻辑的基础知识，考查命题的否定，大小比较，充 分必要条件的判断，同时考查函数值的大小比较，属于中档题 8设 m= 将函数 f（ x） =x+）的图象向左平移 m 个单位后所得图象与原图象重合，则 的值不可能为（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 【分析】 根据积分的几何意义求出 m 的值，然后根据辅助角公式将函数 f（ x）进行化简，求出函数的周期即可得到结论 【解答】 解： 几何意义为半径为 1 的半圆的面积，即 m= ， 若函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，若所得的图象与原图象重合， 则函数的周期 T，满足 ， 即 ， 则 =4n， n Z，即 是 4 的倍数， 故 的值不可能等于 6， 故选： B 【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质以及积分的应用，根据条件确 定函数的周期关系是解决本题的关键 9已知（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 3+（ 1+x） n=a0+ a0+a1+26，那么 的展开式中的常数项为（ ） A 15 B 15 C 20 D 20 【分析】 由条件求得 n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得 的展开式中的常数项 【解答】 解： （ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 3+（ 1+x） n=a0+ 令 x=1，可得 2+22+23+2n=a0+a1+26，即 =126， 2n+1=128， n=6 根据 = 的通项公式为 = （ 1） r， 令 3 r=0，求得 r=3，可得展开式中的常数项为 = 20， 故选： D 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题 11过圆 C：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 的圆心，作直线分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A、 圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足 4=3，则直线（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 0 条 【分析】 设 x，则 x 的范 围可知，设 f（ x） =（ 4）（ 3），根据图象可知那么 x 在增大的时候， f（ x）递减； x 接近 0 时 f（ x） 0； x 接近 时 f（ x） 0，只有 f（ x） =0 即 4=3，进而可推断出在（ 0， ）上只有一个 x 使之成立， 【解答】 解：设 x，则 x （ 0， ），设 f（ x） =（ 4）（ 3）， 那么 x 在增大的时候（即 直线 时针旋转的过程中）， 4 递减， 3 递增，所以 f（ x）递减； 又 x 接近 0 时， 4 3，所以 f（ x） 0； x 接近 时， 4 3，所以 f（ x） 0， 所以 f（ x） =0 即 4=3，在（ 0， ）上只有一个 x 使之成立， 所以符合题意的直线 且只有一条 故选： A 【点评】 本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查了函数思想、数形结合思 想的运用，考查了分析及推理能力，是中档题 12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =2f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x）= ，若当 x 4， 2）时，函数 f（ x） t 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A 3 t 0 B 3 t 1 C 2 t 0 D 0 t 1 【分析】 根据题意可知 f（ x+4） =4f（ x），当 x 4， 2）时， x+4 0， 2），根据区间内的表达式求出 f（ x+4）的最小值，得出 f（ x）的最小值，进 而求出 m 的范围 【解答】 解： f（ x+2） =2f（ x）， f（ x+4） =4f（ x）， f（ x） = f（ x+4）， 当 x 4， 2）时， x+4 0， 2）， 当 x 0， 1）时，函数递减，最小值为 12， 当 x 1， 2）时，函数递增，最小值为 0， f（ x）的最小值为 0=0， 0 t， 2 t 0， 故选 C 【点评】 考查了抽象函数的性质应用和恒成立问题的转化 二、填空题 （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 10如图，在矩形 ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 ，若，则 的值是（ ） A B 2 C 0 D 1 【分析】 建立直角坐标系，由已知条件可得 F 的坐标，进 而可得向量 和 的坐标，可得数量积 【解答】 解：建立如图所示的坐标系，可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， E（ ， 1）， F（ x， 2） =（ ， 0）， =（ x， 2）， = x= ，解得 x=1， F（ 1， 2） =（ ， 1）， =（ 1 ， 2） = （ 1 ） +1 2= 故选： A 【点评】 本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题 13如果复数（ 1+ 2+i）是纯虚数，则 的值为 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由已知复数（ 1+ 2+i）是纯虚数，列出方程组，求解得到 b 的值，然后代入 ，由复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算则答案可求 【解答】 解：（ 1+ 2+i） =2 b+（ 1+2b） i， 复数（ 1+ 2+i）是纯虚数， ， 解得 b=2 = = ， 则 = 故答案为： 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 14某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为 9 【分析】 利用三视图的空间几何体的结构特征，镶嵌在长方体中求解 【解答】 解：根就三视图得出几何体为放倒的直三棱柱， 把它镶嵌在长方体中，长宽为 2，高为 1， 体对角线外接球的半径， R= = ， 该几何体的外接球表面积为： 4 =9， 故答案为： 9 【点评】 本 题综合考查了空间几何体的三角图的运用，空间思维能力的运用，属于中档题，构造思想的运用 15已知 等轴双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 在 C 上， 0，则|于 4 【分析】 根据双曲线方程，算出焦距 |2 ， 利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于 | |方程组，联解即可得到 |值 【解答】 解： 双曲线 C 的方程为： ， a2=，得 c= = 由此可得 ， 0）， ， 0），焦距 |2 0， |=|+| 2|即 |+| |8 又 点 P 在双曲线 C： 上， | |=2a=2，平方得 | 2|=4 ，得 |4 故答案为： 4 【点评】 本题给出等轴双曲线上一点对两个焦点的张角等于 60 度，求两条焦半径的积，着重考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题 16等差数列 前 n 项和为 （ 1） 3+2016（ 1） =（ 1）3+2016（ 1） =则 2016 【分析】 已知两个等式相加，再因式分解即可得到 a2+值，利用等差数列的性质与前n 项和公式可得结果 【解答】 解： （ 1） 3+2016（ 1） = ， （ 1） 3+2016（ 1） = ， +得（ 1） 3+2016（ 1） +（ 1） 3+2016（ 1） =0， 即（ 1+1） （ 1） 2（ 1）（ 1） +（ 1） 2+2016=0， 1+1=0， 即 a2+， =1008（ a2+=1008 2=2016 故答案为： 2016 【点评】 本题考查了等差数列的前 n 项和，根据条件求出 a2+值是解题的关键，属中档题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分）（ 2016 榆林二模）如图，已知平面上直线 A、 B 分别是 的动点， C 是 间一定点， C 到 距离 ， C 到 距离 ， 角 A、B、 C 所对 边分别为 a、 b、 c， a b，且 1）判断三角形 形状； （ 2）记 ， f（ ） = ，求 f（ ）的最大值 【分析】 （ 1）利用正弦定理，结合结合 而可三角形 形状； （ 2）记 ，表示出 f（ ） = ，利用辅助角公式化简，即可求 f（ ）的最大值 【解答】 解：（ 1）由正弦定理可得： 结合 a b， A B A， B （ 0， ）， 2B+2A=， A+B= ，即 C= 直角三角形； （ 2）记 ，由（ 1）得 ， f（ ） = = ）， = 时， f（ ）的最大值为 【点评】 本题考查正弦定理的运用，考查三角形形状的判定，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2016 榆林二模）某单位有车牌尾号为 2 的汽车 A 和尾号为 6 的汽车 B，两车分属于两个独立业务部门对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， B 车日出车频率 地区汽车限行规定如下： 车尾号 0 和 5 1 和 6 2 和 7 3 和 8 4 和 9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 现将汽车日出车频 率理解为日出车概率，且 A， B 两车出车相互独立 （ ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率； （ ）设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 X 的分布列及其数学期望 E（ X） 【分析】 （ ）利用互斥事件的概率公式，可求该单位在星期一恰好出车一台的概率； （ ） X 的取值为 0， 1， 2， 3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求 X 的分布列及其数学期望 E（ X） 【解答】 解：（ ）设 A 车在星期 i 出车的事件为 B 车在星期 i 出车的事件为 i=1，2， 3， 4， 5，则 由已知可得 P（ =P（ = 设该单位在星期一恰好出车一台的事件为 C，则 P（ C） =P（ ） = + =（ 1 +（ 1 该单位在星期一恰好出车一台的概率为 （ ） X 的取值为 0， 1， 2， 3，则 P（ X=0） = = P（ X=1） = = P（ X=2） = = P（ X=3） =P（ P（ = X 的分布列为 X 0 1 2 3 P X=1 【点评】 求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随 机变量取每一个值的概率值 19（ 12 分）（ 2016 榆林二模）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0，Q 为 中点 （ 1）若 D，求证：平面 平面 （ 2）点 M 在线段 ， 平面 平面 D=，求平面 平面 角的大小 【分析】 （ 1）由题意知： 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 Q 为坐标原点，分别以 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 夹角 【解答】 证明：（ 1）由题意知： Q=Q， 平面 又 面 平面 平面 （ 2） D=Q 为 中点， 平面 平面 面 面 D， 平面 以 Q 为坐标原点，分别以 x， y， z 轴 ， 建立如图所求的空间直角坐标系， 由题意知： Q（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（ 2， 0）， = =（ ）， 设 是平面 一个法向量， 则 ，取 x= ，得 =（ ）， 又 =（ 0， 0， 1）平面 一个法向量， = ， 平面 平面 角为 60 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20（ 12 分）（ 2016 榆林二模）已知 F（ 1， 0），直线 l： x= 1， P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 （ ）求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程； （ ）设动直线 y=kx+m 与曲线 C 相切于点 M，且与直线 x= 1 相交于点 N，试问：在 ，使得以 直径的圆恒过此定点 E？若存在，求出定点 E 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （ ）设出 P 点坐标，求出向量 ，代入坐标后直接得抛物线方程； （ ）联立直线方程和抛物线方程，由判别式等于 0 得到 m 与 k 的关系，从而把 M 和 N 的坐标用含有 m 的代数式表示，设出 E 点坐标，由 入坐标整理即可得到 E 点坐标 【解答】 解：（ ）设点 P（ x， y），则 Q（ 1， y），由 ，得 （ x+1， 0）（ 2， y） =（ x 1， y）（ 2， y），化简得 x； （ ）由 ，得 24） x+， 由 =0，得 ，从而有 M（ 2m）， ， 设点 E（ x， 0），使得 （ 1 x） m2+x2+x 2=0，得 x=1 所以存在一个定点 E（ 1， 0）符合题意 【点评】 本小题主要考 查相关点法求轨迹方程和直线与抛物线的位置关系的判断和应用，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般离不开联立方程组，所以要仔细运算，该题是中档题 21（ 12 分）（ 2016 榆林二模）已知函数 f（ x） =1（ + x2+x） +2 a， b R 且 a 0） （ 1）当 1=1， 2=0 时，若已知 函数 f（ x）的两个极值点，且满足： 1 2，求证： f（ 1） 3； （ 2）当 1=0， 2=1 时， 求实数 y=f（ x） 3（ 1+x（ x 0）的最小值； 对于任意正实数 a， b， c，当 a+b+c=3 时，求证： 9 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，得到关于 a， b 的不等式组，解出即可； （ 2） 求出 f（ x），得到关于 y 的表达式，求出 y，求出函数的单调区间，从而求出其最小值即可； 根据 3（ 1+x 3 x 分别取 a， b， c，相加即可证明 【解答】 解：（ 1）当 1=1， 2=0 时， f（ x） = b 1） x+1， 已知 函数 f（ x）两个极值点，则 方程 f（ x） =0 的两根， 由 a 0， 1 2， ，即 ， f（ 1） =a b+2= 3（ a+b） +（ 4a+2b 1） +3 3（ 4 分） （ 2） 当 1=0， 2=1 时， f（ x） = y=3（ 1+x， 则： y=3x（ ） 3（ ）， 令： g（ x） =3x（ ） 3（ ）， g（ x） 0，（ x 0），所以 y是（ 0， +）增函数， 且 x=1 是它的一个零点，也是唯一的一个零点， 所以：当 0 x 1 时， y 0，当 x 1 时， y 0， 当 x=1 时， y 3（ 1+x 有最小值为 3 8 分） 由 知： 3（ 1+x 3 x 分别取 a， b， c 时有 3（ 1+a 3 3（ 1+b 33（ 1+c 3 又 a+b+c=3，所以三式相加即得 9 （ 12 分） 【点评】 本题考查了函 数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题 22（ 10 分）（ 2016 衡阳校级模拟）如图，在 ， 平分线， C 于点 E， （ ）求证： （ ）当 ， 时，求 长 【分析】 （ ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步