浙江省台州市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （ ） A B C D 2已知等差数列 首项 ，公差 d=1，则 ） A 5 B 6 C 7 D 8 3已知实数 a， b 满足 a b，则下列不等式中成立的是（ ） A D 若实数 a， b 1， 2，则在不等式 x+y 3 0 表示的平面区域内的点 P（ a， b）共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c， a=1， b= ， A= 则 B 等于（ ） A B C 或 D 6若 + ） =2，则 ） A B C 3 D 3 7已知正实数 a， b 满足 + =1，则 a+b 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 2 8在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a+b=2， c=1， C= ，则 a=（ ） A B 1 C D 9已知 一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（ ） A若 c 是不等于零的常数，那么数列 c一定是等比数列 B将数列 的前 k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列 C 1（ n N*）是等比数列 D设 数列 前 n 项和，那么 一定成等比数列 10已知 x ， 0 y ，则 x y 的取值范围（ ） A（ ， ） B（ ， ） C （ ， ） D（ ， ） 第 2 页（共 16 页） 11如图，已知两灯塔 A， D 相距 20 海里，甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发，分别沿与成角相等的两条航线 行，经过一段时间分别到达 B， C 两处，此时恰好 B，D， C 三点共线，且 ， ，则乙船航行的距离 （ ） A 10 +10 海里 B 10 10 海里 C 40 海里 D 10 +10 海里 12若关于 x 的不等式 bx+c 0 的解集为 x| 2 x 1，则函数 f（ x） =cx+a 的图象可能为（ ） A B C D 13若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为 “钝角整数三角形 ”，下列选项中能构成 一个 “钝角整数三角形 ”三边长的是（ ） A 2， 3， 4 B 2， 4， 5 C 5， 5， 6 D 4， 13， 15 14已知实数 x， y 满足 x2+，则 x2+y2+取值范围（ ） A（ ， 6 B 0， 6 C ， 6 D 1， 6 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 15在等差数列 ，若 ，则 a2+ 16若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值为 17设 数列 前 n 项和，若 ， Sn=（ n N*），则 18已知锐角 ， 满足 ，则 += 19已知各项都不为 0 的等差数列 设 （ n N*），记数列 前 n 项和为 a12017= 20在平面四边形 ， A= B=60， D=150， ，则四边形 积的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21已知函数 f（ x） = （ 1）比较 f（ 1）与 f（ 2）的大小关系； 第 3 页（共 16 页） （ 2）求不等式 f（ x） 的解集 22已知 等比数列， 等差数列，且 a1=， a1+a2=b1+b2= （ 1）求 通项 公式； （ 2）记数列 an+前 n 项和为 23已知函数 f（ x） =x+ ） （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 f（ ） = ，求 值 24已知函数 f（ x） =2x+t， g（ x） =t（ t R） （ 1）当 x 2， 3时，求函数 f（ x）的值域（用 t 表示） （ 2）设集合 A=y|y=f（ x）， x 2， 3， B=y|y=|g（ x） |， x 2， 3，是否存在正整数 t，使得 AB=A若存在，请求出所有可能的 t 的值；若不存在，请说明理由 25若正项数列 足： = a N*），则称此数列为 “比差等数列 ” （ 1）请写出一个 “比差等数列 ”的前 3 项的值； （ 2）设数列 一个 “比差等数列 ” （ i）求证： 4； （ 数列 前 n 项和为 证：对于任意 n N*，都有 第 4 页（共 16 页） 2015年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由已知及两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得 解 【解答】 解： =50 20） = 故选： B 2已知等差数列 首项 ，公差 d=1，则 ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式能求出该数列的第 5 项 【解答】 解： 等差数列 首项 ，公差 d=1， +4 1=6 故选： B 3已知实数 a， b 满足 a b，则 下列不等式中成立的是（ ） A D 考点】 不等式的基本性质；不等式的综合 【分析】 根据已知，结合幂函数的单调性可判断 A，举出反例可判断 B， C， D，进而得到答案 【解答】 解：若 a b，则 A 正确； 当 a=1， b= 1 时，满足 a b，但 a2= B 错误； 当 a=2， b=1 时，满足 a b，但 ，故 C 错误； 当 a=0， b= 1 时，满足 a b，但 a2= D 错误； 故选： A 4若实数 a， b 1， 2，则在不等式 x+y 3 0 表示的平面区域内的点 P（ a， b）共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 根据题意，写出满足不等式 x+y 3 0 的点的坐标即可 第 5 页（共 16 页） 【解答】 解： a， b 1， 2， P（ a， b）共有 2 2=4 个，分别是（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1）和（ 2， 2）； 满足不等式 x+y 3 0 的点是（ 1， 2），（ 2， 1）和（ 2， 2）共 3 个 故选： C 5在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c， a=1， b= ， A= 则 B 等于（ ） A B C 或 D 【考点】 正弦定理 【分析】 直接利用正弦定理求解即可 【解答】 解：在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c， a=1， b= ， A= ， 由正弦定理可知： = = B= 或 故选： C 6若 + ） =2，则 ） A B C 3 D 3 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由条件利用两角和的正切公式，求得 值 【解答】 解： + ） = =2，则 ， 故选： A 7已知正实数 a， b 满足 + =1，则 a+b 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 2 【 考点】 基本不等式 【分析】 利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 正实数 a， b 满足 + =1， 则 a+b=（ a+b） =2+ + 2+2 =4，当且仅当 a=b=2 时取 等号 a+b 的最小值为 4 故选： C 第 6 页（共 16 页） 8在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a+b=2， c=1， C= ，则 a=（ ） A B 1 C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知及余弦定理可求 ，结合 a+b=2，联立即可解得 a 的值 【解答】 解： a+b=2， c=1， C= ， 由余弦定理 c2=a2+2得： 1=a2+ a+b） 2 3 3 解得： ， a（ 2 a） =1，整理可得： 2a+1=0， 解得： a=1 故选： B 9已知 一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（ ） A若 c 是不等于零的常数，那么数列 c一定是等比数列 B将数列 的前 k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比 数列 C 1（ n N*）是等比数列 D设 数列 前 n 项和，那么 一定成等比数列 【考点】 等比关系的确定 【分析】 利用等比数列的定义，分析 4 个选项，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，若 c 是不等于零的常数，那么数列 c一定是等比数列，首项为比为 确； 对于 B，将数列 的前 k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 q，正确； 对于 C，等比数列的奇数项仍是等比数列，正确； 对于 D，设 数列 前 n 项和，那么 一定成等比数列，不正确，比如 1， 1， 1， 1， 故选： D 10已知 x ， 0 y ，则 x y 的取值范围（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 不等式的基本性质；不等式的综合 【分析】 根据已知结合不等式的基本性质，可得 x y 的取值范围 【解答】 解： 0 y ， y 0， 又 x ， 第 7 页（共 16 页） x y ， 即 x y ， x y （ ， ）， 故选： D 11如图，已知两灯塔 A， D 相距 20 海里，甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发，分别沿与成角相等的两条航线 行，经过一段时间分别到达 B， C 两处，此时恰好 B，D， C 三点共线，且 ， ，则乙船航行的距离 （ ） A 10 +10 海里 B 10 10 海里 C 40 海里 D 10 +10 海里 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 求出 ， ，由正弦定理可得乙船航行的距离 【解答】 解： ， ， = ，由正弦定理可得 ， 0 +10 海里， 故选： A 12若关于 x 的不等式 bx+c 0 的解集为 x| 2 x 1，则函数 f（ x） =cx+a 的图象可能为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象；二次函数的性质 【分析】 根据韦达定理和不等式的解集得到 b=a， c= 2a， a 0，即 f（ x） =a（ x 1） 2，故可判断 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解：关于 x 的不等式 bx+c 0 的解集为 x| 2 x 1， a 0 且 = 2+1， = 2 1， 即 b=a， c= 2a， a 0， f（ x） =cx+a=2ax+a=a（ x 1） 2， 故 f（ x） =cx+a 的图象开口向下，且最大值为 0，关于 x=1 对称， 故选： C 13若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为 “钝角整数三角形 ”，下列选项中能构成一个 “钝角整数三角形 ”三边长的是（ ） A 2， 3， 4 B 2， 4， 5 C 5， 5， 6 D 4， 13， 15 【考点】 正弦定理 【分析】 设三角形的最大角为 ，则利用余弦定理可求 用同角三角函数基本关系式可求 用三角形面积公式可求三角形面积，逐一判断各个选项即可 【解答】 解：设三角形的最大角为 ，则： 对于 A， = ， = ， S= 2 3 = ，不能； 对于 B， = ， = ， S= 2 4 = ，不能； 对于 C， = ，故三角形为锐角三角形，不符合条件； 对于 D， = ， = ， S= 4 13 =24，符合条件； 故选： D 14已知实数 x， y 满足 x2+，则 x2+y2+取值范围（ ） A（ ， 6 B 0， 6 C ， 6 D 1， 6 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 设 x2+y2+，分别求得 x2+ 2别构造（ x+y） 2 0 及（ x y） 2 0，解关于 A 的不等式，即可求得 A 的取范围 【解答】 解：设 x2+y2+， x2+， 两式相加可得， 2（ x2+=2+A （ 1） 两式相减得得： 2 2 （ 2） （ 1） +（ 2） 2 得： 2（ x2+4（ x+y） 2=3A 2 0 A ， （ 1）（ 2） 2 得： 第 9 页（共 16 页） 2（ x y） 2= A+6 0， A 6 综上： A 6， 故选： C 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 15在等差数列 ，若 ，则 a2+2 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知条件利用等差数列通项公式能求出 a2+ 【解答】 解： 在等差数列 ， ， a2+a1+d+d=2（ d） =2 故答案为： 2 16若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线结合图象求出 z 的最小值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 2）， 由 z=2x+y 得： y= 2x+z， 结合图象直线 y= 2x+z 过 A（ 1， 2）时， z 最小， z 的最小值是 4， 故答案为： 4 17设 数列 前 n 项和，若 ， Sn=（ n N*），则 8 【考点】 数列递推式 【分析】 分别令 n=1， 2， 3，由数列递推公式能够依次求出 【解答】 解： ， =n N*）， 1=2， 2=2+2=4， 第 10 页（共 16 页） 3=2+2+4=8 故答 案为： 8 18已知锐角 ， 满足 ，则 += 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由 、 （ 0， ），利用同角三角函数的关系算出 值，进而根据两角和的余弦公式算出 +） = ，结合 + （ 0， ）可得 + 的值 【解答】 解： 、 （ 0， ），满足 ， = ， = 由此可得 +） = = 又 + （ 0， ）， += 故答案为： 19已知各项都不为 0 的等差数列 设 （ n N*），记数列 前 n 项和为 a12017= 2017 【考点】 数列的求和 【分析】 利用裂项求和，代入计算，即可得出结论 【解答】 解：设 an=kd+b（ k 0， d 0），则 = （ ）， （ ）， a12017=a1（ ） =a1 =2017， 故答案为： 2017 20在平面四边形 ， A= B=60， D=150， ，则四边形 积的取值范围是 （ ， ） 【考点】 解三角形 【分析】 把 度调整，两个极端分别为 C， D 重合， A， D 重合分别计算两种极限前提下 长度，利用割补法求出四边形 积的取值范围 【解答】 解：平面四边形 ， A= B=60， D=150， C=90 当把 度调整，两个极端分别为 C， D 重合时， C=1； 当 A， D 重合时，由正弦定理得 = ，解得 ； 第 11 页（共 16 页） 故 取值范围是（ 1， 2）， 设 AD=x，则 AO=x， 20四边形 积 S= = ， ， x （ 0， 1）， S （ ， ） 故答案为：（ ， ） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21已知函数 f（ x） = （ 1）比较 f（ 1）与 f（ 2）的大小关系； （ 2）求不等式 f（ x） 的解集 【考点】 分段函数的应用 【分析】 （ 1）分别算出 f（ 1）和 f（ 2）的值，比较大小即可得出答案； （ 2）当 x 1 时，解出 x 的范围；当 x 1 时，解出 x 的范围，两者取并集 【解答】 解：（ 1） f（ 1） = 3， f（ 2） = ， f（ 1） f（ 2）； （ 2）当 x 1 时， f（ x） = ， 1 x 2， 当 x 1 时， f（ x） = x 2 ， x ， 不等式 f（ x） 的解集为 x|1 x 2 或 x 22已知 等比数列， 等差数列，且 a1=， a1+a2=b1+b2= （ 1）求 通项公式； （ 2）记数列 an+前 n 项和为 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）设出公比和公差，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程组求出公比和公差，再求出 第 12 页（共 16 页） （ 2）由（ 1）求出 an+用分组求和法、等比、等差数列的前 n 项和公式求出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q，等差数列 公差为 d， 由 a1= 得， 1， +（ n 1） d， 由 a1+a2=b1+b2=， ， 解得 d=1， q=3， 所以 n 1， bn=n； （ 2）由（ 1）得， an+bn=n+3n 1， 1+30） +（ 2+32） +（ n+3n 1） =（ 1+2+n） +（ 30+32+3n 1） = = 23已知函数 f（ x） =x+ ） （ 1）求 函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 f（ ） = ，求 值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出 f（ x）的增区间； （ 2）由（ 1）化简 f（ ） = ，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出 值 【解答】 解：（ 1）由题意得 f（ x） =x+ ） = = ， 由 得， ， 函数 f（ x）的单调递增区间是 ； （ 2）由（ 1）得， f（ ） = = ， ， = 1 第 13 页（共 16 页） = 24已知函数 f（ x） =2x+t， g（ x） =t（ t R） （ 1）当 x 2， 3时，求函数 f（ x）的值域（用 t 表示） （ 2）设集合 A=y|y=f（ x）， x 2， 3， B=y|y=|g（ x） |， x 2， 3，是否存在正整数 t，使得 AB=A若存在，请求出所有可能的 t 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数的性质；函数的值域 【分析】 （ 1）通过配方求出 f（ x）的值域； （ 2）求出集合 A，通过讨论 t 的范围，求出集合 B，解不等式求出 t 的值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ x 1） 2+t 1， x 2， 3， 对称轴 x=1， f（ x）在 2， 3递增， x=2 时， f（ x）最小， f（ 2） =t， x=3 时， f（ x）最大， f（ 3） =t+3， f（ x）的值域是 t， t+3； （ 2）由（ 1）得： A=t， t+3， B 即为 |g（ x） |的值域， AB=A， A B， g（ x） =t， x 2， 3， 假设存在正整数 t 符合要求， 当 1 2 时，即 1 t 4 时， |g（ x） |的值域是 B=4 t， 9 t， 由 4 t t t+3 9 t， 2 t 3， t=2 或 3， 当