高等数学- 作业册- 第kt章(01)

高等数学（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1设有直线3210XYZL及平面，则直线（A）420XYZA平行于平面；B在平面上；C垂直于平面；D与平面斜交2二元函数在点处（C）2,0,0XYF,A连续、偏导数存在；B连续、偏导数不存在；C不连续、偏导数存在；D不连续、偏导数不存在3设为连续函数，则（B）FX1DTTYFFX2FA；B；CD2F2F04设是平面由，所确定的三角形区域，则曲3ZY0XZ面积分（D）26DXSA7；B；C；D2114215微分方程的一个特解应具有形式（B）EXYA；B；C；DABXABEXABEXAB二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方6,2428YZ程为；20XYZ2设，则；ARCTN1Z1,3D|4XDY3设为正向一周，则0；L2YX2EXLA4设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为3YZ,Z，则正数；60Z325设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若XQYP21,Y也是该方程的解，则应有112Y三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及ECOSINUXVYUVXYXU与XVY解方程两边取全微分，则ECOSEINISUUDXVDVY解出2COS,EINECOSUUXYDVUVDDXV从而222,XYXYY四、（本题7分）已知点及点，求函数在点1,A1,3B3LN2UXYZ处沿方向的方向导数AB解22,1,3，23336,YXZGRADUXZY3,6AGRADU从而21,147AB五、（本题8分）计算累次积分）24121DEDEXXYY解依据上下限知，即分区域为1212,XDXYXDY作图可知，该区域也可以表示为1,Y从而22421211DEDEDEEDXXXYYYY2211EY六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面DIZXY2YX围成的区域,0Z解先二后一比较方便，11122000ZDZIDXYD七（本题8分）计算，其中是抛物面被平面32S2YX所截下的有限部分2Z解由对称性322D0,DXSYX从而2322DYZZSYS22223232001DXY11DXRR4054TT八、（本题8分）计算，是点到点22COSDCOSDLXXYYL,2A在上半平面上的任意逐段光滑曲线,2B0解在上半平面上Y2232COSCOSSINQXXXYYY且连续，22324COS0INPXQYX从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取Y,C222224415COSDCOSDLACBXYY九、（本题8分）计算，其中为半222DDDXYZZXXY球面上侧21Z解补取下侧，则构成封闭曲面的外侧01222DDDXYZZXXY1222313DDXYVYVD2134009DRR十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，XFYTS0422SYT求XFY解21,SYFTTT222321,SYFFFFTTTTSTT由已知2223440,0,YFFTSTT即221,XFXFXFXFC1122,ARCTN4CF十一、（本题4分）求方程的通解XYOS4解解对应齐次方程特征方程为21,20RI非齐次项，与标准式COS2,FXCOSSINXMLFEPXX比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为MA0NLIK12CSSNCS2I,KXYXQXEABX2OI,4N4COS2ABAYAX代入方程得14SIN2COS2,0,4AXBXAB11COIN4Y十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为22ZYXM一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小解设点的坐标为，则问题即在求最小M,8VXYZ220ZA值。令，则由228LXYZYZA220,80,80,XYZLXLXYZXYZA推出，的坐标为3YZM,3A附加题（供学习无穷级数的学生作为测试）1判别级数是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收11LN敛解由于，该级数不会绝对收敛，1,LNUN显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛NU2求幂级数的收敛区间及和函数NNX021解212211LIMLILIMNNNARN从而收敛区间为，,2010NNNNXXX21012NNNX22200014NNXNXE3将展成以为周期的傅立叶级数0,0AXFXH，2解已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。0NA00021COS222SINSINCOSANHABFXDXDX1COI,NHF高等数学（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1设，且可导，则为（D）YZXFFUZXYA；B；22ZC；DXY2从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方,1P0,5M程是（B）A；B；360XYZ2360XYZC；D23微分方程的通解是（D）1XYA；B；21LN|YC12LN|YXCC；D2|XX|X4设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（A）L1YX2DLYSA；B；C；D345累次积分（A）24121DEDEXXYYA；B；2C；D34二填空题（每小题5分，本大题共15分）1曲面在点处的切平面方程是；XYZA0,A0XZA2微分方程的待定特解形式是；23EXYXYBE3设是球面的外测，则曲面积分2XZ322DDYZXY4三、一条直线在平面上，且与另两条直线L1及L220XY14XYZ（即L2）都相交，求该直线方程（本4120XYZ421Z题7分）解先求两已知直线与平面的交点，由,10,14XYZXYT,4,1,50,XTYZTTZM由220YZ2,4,3,1,XTTTXZ由两点式方程得该直线12XZY四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数23U,20M的方向导数（本题7分）解0,1,GRADXYZGRADU沿梯度方向上函数的方向导数043M五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省（本题8分）解设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件RH2SRH下的最小值。21RH223322214,40,DSSRRRRHR由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省3314,H六、设积分域D为所围成，试计算二重积分24,0,XYXY（本题8分）2SIND解观察得知该用极坐标，24,0,XYXY24,COS0,IN,2RRR22222000SINSINDSINCOS1COS4DRXYRDDR七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台ZV21ZXY体（本题8分）解解观察得知该用先二后一的方法22242111D5ZDZVZDXYZD八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分F,，其中曲线L是从点到点22D1DLYXYFXY23,A的直线段（本题8分）1,B解在上半平面上0Y2211QXYFFXYFXY且连续，211PQFXFFY从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，0Y取折线3,21,BAC212233142DDDDLYFXFXYFXYFY212211623332633TFYYXFXFTXFY213942XY九、计算曲面积分，其中，为上半球面DXYZS（本题8分）220XYZR解由于，故,XYZDXYZSZ为上半球面，则COS0,2,/,XYNNR原式2220DZRXYRDXYDD2324001RRRR32十、求微分方程的解（本题8分）COS2DTANE,|1XXYXY解COSDT2,XYXCOTCOTSLNSICOSLNIE2EDXDXXEDCCOSCOS112INSINSIXXY由，得2|XCOS,2EINXCY十一、试证在点处不连续，但存在有24,0,0,XFYY,0一阶偏导数（本题4分）解沿着直线，2,XKY222400LIM,LI1YYXKXKKF依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。0,而,0,0,XYFXFYFF十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为EXYY，试确定常数，并求该方程的通解（本题4分）2E1EXXY,解由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，12,R否则不能有这样的特解。从而特征方程为230R因此3,2为非齐次方程的另一个特解，1XYE11,2XXYEYE2E1,23,1XXE故，通解为3,2EXYY1EEXXYC附加题（供学习无穷级数的学生作为测试）1求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数13NX解211LIMLI3NNNAR由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为3X3X,3看，1,01NSTTS则10,LN1,TNTTTDTT从而1LN1,3,0,3,03NXXXS2求函数在处的幂级数展开式2LN4FXX01解1LN511LN51FXXXX10L5NNX211100LN51L55NNNNNXX22061LL5NNX3将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围0,21FX解作周期延拓，2200114,TLAFXDX2201COSCOSSINNNXNAFD220111IICONNXFD从而1SIN,22NFXKZ高等数学（下册）测试题三一、填空题1若函数在点处取得极值，则常数22,FXYAXY1,A52设，则1EDYXF10FDE3设S是立方体的边界外侧，则曲面积分,Z3567DSXYZXYA4设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为0NA311NNAX2,5微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形243EXYY式为2XABC二、选择题1函数在点处（D）22SIN,0,XYXYFXY,（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续2设，则（B）SEC1ZXYZX（A）；（B）；TANSEC1TANYXY（C）；（D）2TY2T3两个圆柱体，公共部分的体积为（B）2XR2XZV（A）；（B）20DDRY；228X（C）；（D）2RXY224DDRXY4若，则数列有界是级数收敛的（A）0NA1NKSANS（A）充分必要条件；（B）充分条件，但非必要条件；（C）必要条件，但非充分条件；（D）既非充分条件，又非必要条件5函数（为任意常数）是微分方程的（C）SINYXC2DSINYX（A）通解；（B）特解；（C）是解，但既非通解也非特解；（D）不是解三、求曲面上点处的切平面和法线方程E4XYZ0LN2,1M解021,E,4LN2/1,LN2XYXYZZZN切平面为LLN1L0XZ法线为22LZXY四、求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行0XLZ于直线1Y解设过直线的平面束为20,XZXY即0,1,XYZN第一个平面平行于直线，1LX即有11,2,2NS从而第一个平面为110,34,323XYZXYZN第二个平面要与第一个平面垂直，也即1,32,260,N从而第二个平面为40XYZ五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直,2线相切240XY解直线为，从而有定解条件，2,1YXK01,2Y特征方程为212430,0,3RRR方程通解为，由定解的初值条件12XYCEC，由定解的初值条件312X12从而，特解为5,C35XYE六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程FUSINXZFY222EXXY试求出函数FU解因为22SIN,SINSINXXXZZFEYFUEYFUEY22CO,COIXXXFUFFY222E,0XXZFFUFFUX特征方程为212120,RRFCE七、计算曲面积分，2COSSODSXYXZA其中是球体与锥体的公共部分的表面，22Z2Y，是其外法线方向的方向余弦COSCOS解两表面的交线为2222121,0,XYZXYZZZ原式，投影域为，2DVDXY用柱坐标20,1,1RZR原式222111200RRDZDRZD12220RR1131342200TTDRDR11532452200TT8705451另解用球坐标02,02COS4原式2COS242200INCOSINDD2COS44330II547350CS2COSD1168457229941TTDT168230T710八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并20EDXTFX指出其收敛区间）解2200N1DNXXTFT21N0,NX九、判断级数的敛散性0,1N解11LIMLINNU当，级数收敛；当，