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文档简介
1、13-1,2021/2/10,类型一、可分离变量微分方程,第二节 一阶微分方程 的常见类型及解法,类型二、齐次方程,类型三、一阶线性微分方程,13-2,2021/2/10,分离变量,类型一、可分离变量的微分方程,两边同时积分,13-3,2021/2/10,例1. 求微分方程,的通解,解: 分离变量得,两边积分,得,即,C 为任意常数,或,说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解,13-4,2021/2/10,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,C 为任意常数,故所求特解为,13-5,2021/2/10,例3. 求下述微分方程的通解,
2、解: 令,则,故有,即,解得,C 为任意常数,所求通解,13-6,2021/2/10,类型二、齐次方程,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解,解法,分离变量,13-7,2021/2/10,例4. 解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,C 为任意常数,13-8,2021/2/10,例5. 解微分方程,解,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,C 为任意常数,13-9,2021/2/10,类型三、一阶线性微分方程,若 Q(x) 0,称为一阶线性非齐次微分方程,称为一阶线性齐次微分方程,13-10,2021/2/10,1. 解齐次方程,分离变量得,两边积分得,故通解为,13-11,2021/2/10,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,常数变易法,则,故原方程的通解,即,即,设通解,两端积分得,13-12,2021/2/10,例6. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,常数变易法）令,代入非齐次方程解得,故原方程通解为,注: 亦可直接带公式计算,13-13,202
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