《常微分方程》习题解答

1、需微分方程习題解答习题1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1) ydy = xdx解：积分，得丄护=丄，+ 即*y2=c2 2 1 ?dy(2) = yh ydx解:y = 0, y = l为特解，当 yHO, yHl 时，=dx ,y In y积分，得bi|hi y| = x + cp In y = eClex =cex cHO,即 y = ecc dy 严(3) - = edx解：变形得edy = exdx积分，得R - / = c(4) tan ydx cotxdy = 0解：变形得空=竺上，y = 0为特解，当，工0时，史竺，=沁厂 dx cotxsin y cosx积分，得 h

2、|sin,| = hi|cos| + cp ln|sinycos.v| =q, 即 sin ycosx = = c, c H 02.求下列方程满足给定初值条件的解：牛=心 j),y(o)= iclx解：y = 0, y = l 为特解，当 yHO, yHl 时，()dy = dx,y -1 y枳分，得 ln|-_ | = x4-Cj,_ =ecex =cecO将y(0) = 1代入，得c = 0,即y = l为所求的解。(2) (x2 - l)yr + 2xy2 = 0, y(0) = 1解： 空=一2匸二、y = o为特解，当yHO时，竺=一_厂clx JC_1”)厂 JC_积分，得- =

3、-lnx2-l +C将y(O) = 1代入，得c = -.即，=1lnx2-l +1为所求的解。(3) y = 3疔*(2) = 0解：y = 0为特解，当，工0时，二=厶，3点1积分，得 y3 =x + c. y = (x + cY将y(2) = 0代入，得c = _2,即y = (x-2)3和y = 0均为所求的解。(4) (y2 +xy2)dx-(x2 + yx2)dy = 0、y(l) = -1解:x = 0,y = 0为特解，当时,丄一丄丄_丄- = Z =cec0 y积分，得一丄 + ln|x| + -ln|y| = cpx y将y(l) = 一1代入，得c = -2,即丄 y4.

4、求解方程 Xyj y2dx+ yyli x2dy = 0解：x = 1 (-1 y l),y = l(-lx 0)6. 求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可囤成 一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为y = y(x)对其上任一点(x, y)的切线方程：r-y = /（X 一劝 于X轴上的截距为d = %- 由题意建立方程：X- -x = x-0 即 y=_丄，y（l） = 2 尹x求得方程的通解为xy =，cHO 再由2 = Z 得c = In2,得所求曲线为为 X） = 27. 人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）

5、如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时时的细菌数为得1（/个，在5小时时的细菌数为得4x10“个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q，由题意建立微分方程 = kq k0dt求解方程得q = cek,再设1 = 0时，细菌数为你,求得方程的解为q = qoekl（1） 由 0（4） = 2q 即 qQe4k = 2qQ 得 R =410 2qQ2） =4 =切0(5) = qQe5k =4xl04=8t/0 = 104(2)由条件 ?(3) = qoe3k = IO4.In 4比较两式得“2得你=1.25x10习题1.31解下列方程：（y

6、，-2与）心+ 2心=0解：方程改写为 竺=2（上）-（丄尸dx x X令 u =，有 u + X = 2u-ir 整理为（丄一一!du = （”工0,1） xdxu i t -1x积分，得 ln|=Ink 即it = C|A代回变量，得通解x(y-x) = cyy y = 0也是方程的解(4) xyr - y = xtan x解：方程改写为- = tan-dx x xAy , dusinu nrl f dx z .“令 m = , W x=tan/ = 即cot nd u = (sinuHO)xdxcosux积分，得sinu =cx代回变量，得通解sin = exx(5) xyf - y =

7、 (x + y)In -x解：方程改写为 _-2： =(i+l)indx x x x令 u =，有 x = (l + i/)hi(l + z/)xdx积分，得 hi(l+ ) = cx代回变量，得通解ln(l + =) = cx(6) xy = yjx2-y2解：方程改写为= Jl-(-)2 +- dx V x x令w = 2,有竺=口xdx八dx z t分离变量,=一 (-1 w 0,对充分大的X,当xxA时，有I f(x) 故ICI + pl /(5)I exdsyW +o0)由s的任意性有lim y(x) = 0.Yf+30习题1.51 (1) 2xydx + (x2 一 y2 )dy

8、= 0解：因为 = 2x = 以方程是全微分方程.于是方程的通解为3x2y-y3=C. dydx dx 一 (2y + xex )dy = 0解： =-v =,所以方程是全微分方程.于是方程的通解为= cdydx 2.求下列方程的积分因子和积分.(1) (%2 + y2 +x)dx + xydy = 0解:由于 = 2y. = y以方程不是全微分方程.dydxiBN1而=只与X有关，故可得积分因子为“(x) = xN dy oxx以积分因子乘以原方程两端，得全微分方程:(X3 + xy QM dN而=() = 2x只与兀有关，故积分因子为“(%) = + xN dy dx用积分因子乘以原方程两

9、端，得全微分方程：(2x3y2 +4x+ 旳2 +勺,+2y)/山+2(-y + x)edy = 0 )dx + x2ydy = 0 则原方程的的通解为3x4+6x2y2+4x3=C .(2) (2xy4ey +2xy3 + y)dx+(x2y4ey -x2y2 -3x)dy = Q解：由于巴=8小0+2%/+6% + 1, = 2aVv-2a-3,所以方程不是 dydx1 dM dN41全微分方程.而(-)=-一只与y有关，故可得积分因子为“(y) = -r-M dydxyy以积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：9 Y 1v2 V(2xey + + 丄)dx + (/R -冷一二)dy =

10、 0 则原方程的的通解为v X2 X 厂xe + + = C .y y(3) (x4 + y4 )dx 一 xydy = 0解：因为二一=4)凡二=-y,所以方程不是全微分方程.而肓(二一-二)=-二只与xoydxN 6 dx x有关，用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：(X1 + X*54 )dx-xyydy = 0 于是原方程的通解为lnx4 -x-14 = C.(4) (2x3y2 +4x2y + 2xy2 +xy4 +2y)dx + 2(y3 -x2y + x)dy = O公人彳 7解：由于二 =4x3y + 4x2 + 4卩+ 4小 + 2.= 4卩+ 2,所以方程不是全微分方程

11、.oydx于是原方程的通解为(2x2y2 + xy + y4 )* = C.习题1.61.求解下列方程.d)y,2-y2=o解:因为(y+y)(y-y) = O,所以 y = -y 或)r = y.由 y* = -y 得=7;由 y* = y 得 y = Cel因此原方程的通解为y = C戶.8严27，解：令p = y可得8/,=27儿 此式关于x求导数整理得24少=27dx27于是p2=x + C 从而原方程的通解为y2 = (x + C)312另外,y = 0也是原方程的解.心+1)= 1解：首先，y = l是方程的解.令，=/,则卩=也二匚.于是从而x= f - .dt + C = -y

12、j-r -C. J VT7由此可得原方程的通解为x+c = -Vi-Fy = t即(x + C)2 + y2=.解：方程关于y,y；y是齐次的,作代换y = e：dx可把方程降一阶，其中z是x的新的未知 函数故y1 =yn = （z+z2.把” y ； 的表达式代入方程并消去y =川加，得F(z+才)=(1一疋几或 x2zf+2xz = l,I c 这是线性方程，它的左边可以写成(x2z = 由此得= x +或z = - + -,A 2| Zjdx = J(+= In |x|- 4- In C、.X X原方程的通解是y = J=严或),=c2xe-c,x.此外力程还有解y = 0习题2.1 / = x2;(3)S；(4)字=dx(5)字訓dx 1 1解：(1)由于 f(x.y) = a9不依赖于x和y,(1) yf = a (a 为常数);11.试绘出下列各方程的积分曲线图:所以线素场的线素均平行，其斜率为“从而可以 根据线素场线素的趋势，大体描岀积分曲线.如图（1）所示.（2）由于f（x,y） = x