莆田学院概率论与数理统计PPT课件

1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量定义.),(,维随机变量称为二维随机向量或二则上的两个随机变量是定义在样本空间设YXYX函数对于任意实数, yx( , ),F x yP Xx Yy或称为随机的分布函数称为二维随机变量,),(YX.的联合分布函数和变量YX第1页/共50页的看成是平面上随机点若将二维随机变量),(),(YXYX落在以点就表示随机点则分布函数的坐标),(),(,YXyxF.),(矩形域内的概率为顶点的左下方的无限yx(x,y)yxo第2页/共50页落入任一矩形点这时),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性质求得 如下图1212,P

2、 xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y第3页/共50页分布函数具有以下的基本性质： ）（ 10( , )1F x y且, y对任意固定的(, )0Fy，对任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F 的不减函数或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x y F x yF x y）（3）对任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有第4页/共50页只有有限对可能取的值如果二维随机变量),()

3、,(iiyxYX.),(,是二维离散型随机变量则称或可列无限对YX记, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j满足下列条件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并称为二维离散型随机变量的分布律联合分布律.XY或称为随机变量 和 的第5页/共50页下表表示：它们的联合分布律可用和离散型随机变量,YX它们的联合分布函数则由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp.121111ipppy.222122ipppy.21ixxx.21ijjjjpppy.yx第6页/共50页例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品每次从中取1件产品检验质量，不放

4、回地抽取，连续两次如下：和定义随机变量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律试求YX第7页/共50页解得：按概率的乘法公式计算及对：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示为),(YX第8页/共50页如果存在的分布函数是设二维随机变量),(),(YXFYX有使得对于任意的非负的函数yxyxf,),( , )( , )d dyxF x

5、yf u vu v (, )X Y则称是二维连续型随机变量XY或称为随机变量 和 的联合概率密度( , )(, )f x yX Y函数称为二维随机变量的概率密度第9页/共50页具有以下性质：概率密度),(yxf( , )0f x y ）（ 1( , )d d1f x yx y ）（2）（3内的概率为）落在（上的区域是平面设GYXxoyG,(, )( , )d dGPX YGf x yx y）（4连续，则有在点若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y第10页/共50页例2由概率的性质 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, (

6、 , )0 ,x yGA其它以上式为概率密度，如果一个二维随机变量),(YX.),(上的均匀分布服从区域则称GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它设G是平面上的一个有界区域，其面积为A二维随机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为第11页/共50页3例具有概率密度设二维随机变量),(YX( , )f x y(2)2e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY试求:( )分布函数( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y x

7、y 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有第12页/共50页）（2GyxXOY上方的区域记为平面的直线把位于1于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 第13页/共50页定义个随机变量上的是定义在样本空间设nXXXn,21则12(,)nXXXnn称为 维随机向量或 维随机变量个实数对于任意n12,nx xx函数,12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXx维随机变量称为n12(,)nXXX的分布函数或.,21的联合分布函数随机变量nXXX第14页/共50页第二节第二节 边缘分布边

8、缘分布(, ),X YXY对于二维随机变量随机变量 和 各自的(, )X YXY分布函数称为关于 和 的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( ,)lim( , )yF xF x y 其中同理( )( , )YFyFy( , )lim( , )xFyF x y其中( ),( )(, )XYFx FyX Y故边缘分布函数可由的分布函数所确定( ),( )XYFx Fy记为(, )( , )X YF x y若二维随机变量的分布函数已知，则第15页/共50页则有的分布率为设离散型随机变量,),(ijpYX1( )( ,)iXi jxx jFxF xp ), 2 , 1, 2

9、 , 1(ji的分布律为X1,ii jiijP XxpP Xxp记为1,2,i 的分布律为Y1ji jjjiP YypP Yyp，记为1,2,j 分别称ip(1,2,)i jp(1,2,)j 为(, )X Y和关于关于X的边缘分布律。Y第16页/共50页(, )( , ),X Yf x y对于连续型随机变量设的概率密度为于是( )( ,)( , )d dxXFxF xf x yy x 其概率密度是一个连续型随机变量则,X( )( , )dXfxf x yy其概率密度量也是一个连续型随机变,Y( )( , )dYfyf x yx( )(, )XfxX YX称为关于 的边缘概率分布( )(, )Y

10、fxX YY称为关于 的边缘概率分布第17页/共50页1例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设 .),(,2 , 1,的分布律及边缘分布律求个邮筒内信的数目分别表示投入第YXYX解)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(. 2 , 1 , 0,取由题设，各自的取值为YXYX均不可能，因而相应的概率均为02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由对称性求得再由古典概率计算得 ：第18页/共50页所有计算结果列表如下 ：(, )XYX Y和 的边缘分布律可由的分布律确定( X,Y )关于

11、Y的边缘分布律( X,Y )关于X的边缘分布律919494910091294092921949192910210ijijppXY第19页/共50页2例将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3个盒子内红球的数目，表示落入第设个盒子中去1,X.),(,2及边缘分布律的分布律求个盒子内白球的数目表示落入第YXY解不妨分别把2只红球和2只白球看作是有差别的（例如编号），由古典概型计算得 4222211161,1381P XY 123第20页/共50页类似地计算出下表内的其他结果 ：比较一下例1的表和例2的表，立即可以发现，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的由此可知，由边缘分布并不能唯一地

12、确定联合分布9194949181181481429481481168116194814811681160210ijppXY第21页/共50页3例在区域设二维随机变量),(YX, 10 | ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服从均匀分布，求边缘概率密度，第22页/共50页解(, )X Y不难得到的概率密度他，, 0, 10, 6),(2其xyxxyxf则226d6(),01,( )( , )d0,.xxXyxxxfxf x yy其他6d6(),01( )( , )d0,.yyYxyyyfyf x yx其他第23页/共50页第三节第三节 条件分布条件分布其分布律为：是二维离散型随机变

13、量设,),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的边缘分布律分别为：和关于关于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj第24页/共50页设0jp由条件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的条件分布律条件下随机变量上式称为在XyYj若同样,地0ip|iiP YyXx,ijiP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的条件分布律条件下随机变量上式称为在XxXj不难验证以上两式均满足分布律的基本性质第25页/共50页1例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设的条件分布律。条件下随

14、机变量求在个邮筒内信的数目分别表示投入第XYYX0,2 , 1,解的条件分布律为的条件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y194914第26页/共50页.)()(),(),(的边缘概率密度和分别是关于和的概率密度为设YXyfxfyxfYXYX( )0Yfy 若则,|P Xx Yy( , )d( )xYf x yxfy记为的条件分布函数条件下称为在,XyY |( | )X YFx y的条件概率密度为时故XyY |( | )X Yfx y( , )( )Yf x yfy类似可定义|( | )Y

15、 XFy x( , )d( )yXf x yyfx|( | )Y Xfy x( , )( )Xf x yfx第27页/共50页2例具有概率密度和设随机变量YX2211( , )0,xyf x y，其他|( | )X Yfx y求解( )Yfy( , )df x yx22 1| 10,yy，其他对符合| | 1x 有的一切x221,1,( , )()2 1( )0,X YYxyf x yfx yyfy其他.第28页/共50页第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性定义分别是二维随机变量及设)(),(),(yFxFyxFYX有所有若对函数的分布函数及边缘分布yxYX,),( yYPxXPyY

16、xXP ,即)()(),(yFxFyxFYX.是相互独立的和则称随机变量YX第29页/共50页分别是连续型随机变量设)(),(),(,),(yfxfyxfYXYX独立条件等价于的相互和则密度的概率密度和边缘概率为YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共连续点上成立相互独立的条件等价于和是离散型随机变量设YXYX,),(),(的),(iiyxYX取值的所有可能对于 iiiiyyPxxPyyxxP,即., 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij第30页/共50页1例的分布律如下表所示设二维离散型随机变量),(YX?,相互独

17、立和取何值时，当YX第31页/共50页解的边缘分布律分别为YX,则有相互独立和若,YX 1111,212()939P XYP XP Y.91,92解得均成立对所有此时iijiijyxppp,.相互独立和即YX 1111,313()18318P XYP XP Y313121ipX1819121321kpY第32页/共50页2例一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 解达办公室的时间，则分别是负责人和秘书到和设YX其他，, 0,128,41)(xxfX其他，,

18、 097,21)(yyfY第33页/共50页的概率密度为由独立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其他依题意求概率121YXP画出区域：121 yx以及长方形97;128yx它们的公共部分是BCC BG 四边形记为第34页/共50页：小时。故所求的概率为超过不两人到达的时间相差才内取值于仅当12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面积）(81),(GABCAB C 的面积的面积的面积6112112112132122）（）（481121YXP于是即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为 1/48第35页/共5

19、0页维随机变量的情况推广到随机变量的独立性可以n设), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni维随机变量分别是n),(21nXXX的分布函数和边缘分布函数)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn是相互独立的。则称nXXX,21相互独立的充要条件是故连续型随机变量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互独立的充要条件是离散型随机变量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22112211,12,nx xx若对任意实数有第36页/共50页下面定理说明独立的随机变量的函数仍然是独立的。定理1 设X和Y是相互独立

20、的随机变量，h(x)和 g(y)是实数集上的连续函数，则h(X)和 g(Y)也是相互独立的随机变量。定理2 设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互独立，则Xi (i=1,2, ,m)和Yj (j=1,2, ,n)相互独立。又若h，g是连续函数，则h(X1,X2,Xm)和 g(Y1,Y2,Yn)也相互独立。第37页/共50页第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布的分布（一）YXZ的分布律为设二维随机变量),(YXijjipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz则由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP

21、,jjjkkyYyzXPzZP,或者第38页/共50页1例的分布律为设二维随机变量),(YX的分布律试求YXZ第39页/共50页解,1012X YZ由可能取的值知 的可能值为:， ， ， ，且有1 . 01, 01YXPZP5 . 03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12YXPZP的分布律为Z第40页/共50页),(),(,yxfYX的概率密度为若对于连续型随机变量的分布函数为则YXZ( )( , )d dZx y zFzP Zzf x yx y 左下方的半平面积分区域是位于直线zyx第41页/

22、共50页( )( , )d dzyZFzf x yxy令yux( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu于是( )(, )d dzZFzf uy yu y (, )d dzf uy yy u 求导上式两边对z( )(, )dZfzf zy yy的对称性由YX,( )( ,)dZfzf x zxx有卷积公式相互独立时和当,YX( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )()dZXYfzfx fzxx或者第42页/共50页2例其概率密度为正态分布都服从变量是两个相互独立的随机和设),1 , 0(,NYX221( )e2xXfxx221( )e2yYfyy的概率密度求YXZ 第43页/共50页解由卷积公式( )( )()dZXYfzfx fzxx22()221eed2xz xx22()421eed2zzxx2zxt令2224411( )eede22 zztZfzt则分布服从即)2 , 0(NZ第44页/共50页的分布（二）XYZ 3例在矩形域设二维随机变量),(YX10 , 20|,yxyxG,上服从均匀分布)(sfSYX的概率密度的矩形面积和试求边长为解的概率密度为由已知),(YX., 0,21,其他Gyxyxf则的分布函数为令,)(SsF sxyyxyxfsSPsFdd,第45页/共50页；时当0