北师大版高中数学必修一数学必修第一册：5.1.1《利用函数性质判定方程解的存在性》教案

1、- 1 - / 5 利用函数性质判定方程解的存在性利用函数性质判定方程解的存在性 【教学目标】【教学目标】 1学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。 2通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。 【教学重难点】【教学重难点】 1了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点) 2掌握函数零点存在的判定方法。(重点) 3能结合图像求解零点问题。(难点) 【教学过程】【教学过程】 一、基础铺垫 1函数的零点： 定义：函数 f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。 方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。 2函数

2、零点的判定定理： 若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a) f(b)0，则 yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？ 提示 (1)不是点，是数。 (2)不一定，如 yx21，在区间(2，2)上有两个零点。 二、新知探究 1求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。 - 2 - / 5 (1)f(x)x3x； (2)f(x)x22x4； (3)f(x)2x3； (4)f(x)1log3x。 解 (1)令x3x0，解得 x3， 所以函数 f(x)x3x的零点是3 (2)令 x22x40，由于 224 4120，

3、 所以方程 x22x40无解， 所以函数 f(x)x22x4 不存在零点。 (3)令 2x30，解得 xlog23， 所以函数 f(x)2x3 的零点是 log23 (4)令 1log3x0，解得 x3， 所以函数 f(x)1log3x的零点是 3 【教师小结】 函数零点的求法，求函数 yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令 yf(x)0，根据解方程 yf(x)0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 yyf(x)的图像，图像与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点。 2判断零点所在的区间 【例 2】 (1)已知函数 f(x)的图像是连续不断的，有如下 x，f(x)的对应值表： x 1 2 3

4、4 5 6 f(x) 15 10 7 6 4 5 则函数 f(x)在区间1，6上的零点至少有( ) a2个 b3个 c4个 d5个 (2)函数 f(x)ln x2x的零点所在的大致区间是( ) a(1，2) b(2，3) c1，1e和(3，4) d(e，) (1)b (2)b (1)由已知数表可知 f(2) f(3)10 (7)0， f(3) f(4)(7) 60，f(4) f(5)6 (4)0， - 3 - / 5 故函数 f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有 3个零点。 (2)f(1)20，f(2)ln 210， 在(1，2)内 f(x)无零点，a错； 又

5、f(3)ln 3230，f(2) f(3)0， f(x)在(2，3)内有零点。 【母题探究】 1(变条件)已知函数 f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在区间是( ) a(3，4) b(2，3) c(1，2) d(0，1) c 因为 f(1)10， 所以 f(1) f(2)0， 所以 f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点， 又 f(x)仅有一个正零点，故选 c 2(变结论)探究 1中，函数 yf(x)有负零点吗？ 解 当 x1 时，f(x)x3x1x(x21)11，当1x0 时，f(x)x3x1x3(x1)(x1)0，综上知，当 x0时，f(x)0的零点个数为( ) a3 b2 c1

6、 d0 (2)函数 f(x)ln xx23 的零点的个数是_。 (1)b (2)1 (1)当 x0 时，令 x22x30，解得 x3；当 x0 时，令2ln x0，解得 xe2，所以已知函数有两个零点，故选 b (2)因为 f(1)2，f(2)ln 210； 所以 f(1) f(2)0. - 4 - / 5 又 f(x)ln xx23的图像在(1，2)上是不间断的，所以 f(x)在(1，2)上必有零点。 又 f(x)在(0，)上是递增的， 所以零点只有 1个。 【教师小结】 判断函数零点个数的三种方法 （1）方程法：若方程 yf(x)0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存

7、在零点或判定零点的个数。 （2）图像法：由 yf(x)yg(x)-h(x)0，得 g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系内作出 y1g(x)和 y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。 （3）定理法：函数 yf(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由 f(a) f(b)0即可判断函数 yyf(x)在区间 a，b 内至少有一个零点。若函数 yf(x)在区间 a，b 上是单调函数，则函数 yf(x)在区间 a，b 内只有一个零点。 三、课堂总结 1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间a，b上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，

8、函数至少存在一个零点。 2方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图像交点的横坐标，也是函数 yf(x)g(x)的图像与 x轴交点的横坐标。 3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。 四、课堂检测 1思考辨析 (1)零点即函数 yf(x)的图像与 x轴的交点。( ) (2)若方程 f(x)0有两个不等实根 x1，x2，则函数 yf(x)有两个零点。( ) (3)若函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a) f(b)0.( ) 答案 (1) (2) (3) 2yx1的图像与

9、 x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) a1，(1，0) b(1，0)，0 c(1，0)，1 d1，1 c 由 yx10，得 x1， - 5 - / 5 故交点坐标为(1，0)，零点是1 3若函数 f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则 函数 f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内； 函数 f(x)在(3，5)内无零点； 函数 f(x)在(2，5)内有零点； 函数 f(x)在(2，4)内不一定有零点； 函数 f(x)的零点必在(1，5)内。 以上说法错误的是_(将序号填在横线上)。 由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，错误。 4判断下列函数是否存在零点，