Lebesgue积分的知识要点与复习自测

1、第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测一、非负简单函数与非负可测函数 L积分的知识要点：体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是 存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示；能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存 在与L可积的差异；熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即 几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）,并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积

2、分的两个重要的极限定理（Levi定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单 调递增的非负可测函数列，而 Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基 本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用 Levi定理证明非负可测函 数L可积的重要性质一积分的绝对连续性。注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函 数转化为非负可测函数项级数的方法；注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限 的方法。

3、会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及 Levi定理。掌握并会证明有关非负可测函数 L积分的以下几个重要的结论： 设f(x)为可测集E上的非负可测函数，则f(x)dx = 0u f(x) = 0 a.e.于E (称E为非负可测函数积分值为零的特征)； 设f(x)为可测集E上的非负可测函数，则f(x)wL(E)= f(x)在E上几乎处处有限(称为非负可测函数L可积的有限性，注意L积分存在不具有这个性质)；mE<一, f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数，%满足：yn L , limyn=", yo=0, yn 书一y

4、n<6, n J-QO则 f(x) W L(E)=2 ynmEx yn < f (x) <丫口书<代；n z0(非负可测函数L可积的积分绝对连续性)设f(x)为可测集E上的非负可测函数，若f(x)WL(E),则VA=E, A为可测集，总有m-(x)dx=0, A即/wa0, 36 >0 ,使得VAUE, A为可测集，当mA<6时，总有0 < f f (x)dx < £。A的另一种表示：若0M f(x)wL(E),可测集enu E ,且lim men = 0 ,则 nnlim f f (x)dx = 0。 n i-en将非负可测函数f (

5、x)表示成单调递增非负可测函数列的极限的几种方法：对任意自然数m ,先将m2mk k 10,收=0, m)3m,z= g*,)3m,y, k ± O Q再利用逆象集的保持集合的运算性得m2m 4k卜 +iAm2mE=Ex0Mf(x)M+®=二 Ex2m<f(x)<Ex f (x)之 m=乜 Em,k ,作非负简单函数列m(x) = 2x E xkk 1m2m "以不，1，.21x w E x f (x)至 m则中m(x)|_，且m %)x 4f)x(将非负可测函数表示成单调递增非负简单函数列的极m_ <限的方法)。称为n截断函f (x), f (

6、x) < n对任思自然数n ,取fn(x) = minn, f (x)= <n, f(x) . n数，则fn(x)|_ ,且 lim fn(x) = f (x)。n +(将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的截断函数法若0 < f (x) < +=c a.e.f (x), f(x)n 于 E,取f(x)n=b f(x)>n,则fn (x)|_ ，且 lim fn(x) = f (x) a.e.于 E 若f(x)在可测集E上非负可测，记En=EcB(0, n)(显然En口，且En收敛于E), fn(x XT x(户En x ,其中1En(x)为En的特征

7、函数,则fn(x) 口 ,且 nmfn(x)= f (x)o般可测函数L积分的知识要点:掌握一般可测函数L积分的定义，理解为什么并非可测集上的任何可测函数都 有L积分，并知道一般可测函数L可积的含义，以及与L积分存在的区别;熟练掌握L可积函数的常用性质【绝对可积性、有限性、唯一性、线性性、不 等式性、集合的完全可加性、积分的绝对连续性】熟习积分绝对连续性的三种表现形式:f(x) w L(E)= VEA0 ,三8 >0,使得VAU E , A为可测集，当mA< 6时，总 有 f f (x)dx < z ;A f (x) w L(E) = vAu E , A为可测集，总有 pm

8、ff(x)dx = 0;W A f (x) w L(E) = ven u E , en为可测集，只要 lim men =0，总有,lim f f (x)dx =0。 n .n 产二en熟练掌握L积分的控制收敛定理的两种形式：,几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理：依测度收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理：以及在mE< y下的有界控制收敛定理。并能利用控制收敛定理解决一些简单的问题(如：求某些由积分定义的数列的极限，证明一般可测函数L积分的逐项积分性(P112 第37题)等。通过几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理的证明仔细体会 Fatou引理 在讨论可测函数

9、列L积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用 Fatou引理讨论积分与极限可交换性问题的方法。通过依测度收敛 意义下的Lebesgue控制收敛定理的证明仔细体会反证法和 F.Riesz定理的联合试使用在讨论可测函数列 L积分与极限可交换性问题中的作用,进 而明白并掌握合理利用反证法和 F.Riesz定理讨论积分与极限可交换性问题的方法。三、R积分与L积分的关系的知识要点：掌握R 一正常积分与L积分的关系；在一定条件下的R 反常积分与L一积分 的关系；并能利用这些关系来求某些函数的 L积分的值(注意：在求值时，往往需要 先利用积分的惟一性将所求积分转化为某 R 可积函数的L积分，然

10、后再利用关系)， 判断某些函数的L可积性。理解函数R可积与函数连续的关系，并能利用这种关系判断某些函数 R 一不 可积。四、Fubini定理的知识要点：能正确理解并掌握Fubini定理的条件，正确叙述Fubini定理(包括 非负可测函 数的情形与一般可测函数的情形)，并了解利用Fubini定理解决概率论中的一些简单的 问题的方法(如：卷积不等式，利用分布函数将重积分转化为单积分)，并会用Fubini定理证明一些累次积分的可交换性。五、几种常用的转换方法：将可测子集上的积分转化为Rn上的积分的方法：设f(x)是Rn上的可测函数，EuRn是可测集，f(x)dx存在，记Rnf (x). x E 一F

11、(x) = f(x)，/E(x)=，则fxx Fxixd(将子集上的积分转化为Rn上E 0， x E eRn的积分的方法)；将可测函数表示成一列可测函数列的极限的几种有效方法： 设f(x)为可测集E上的可测函数， 记 En =ECB(0,n) , fn(x) = f (x)En(x),其中？En(x)为 En 的特征函数，则'mi (x)= f (x) , x= E;注意 B(0, n)也可记为 B(0,n) =x|x| < n。一般地，任取 ynL记 En=ECB(0 y , fn(x)= f(x) 4n(x),其中组(x)为巳的特征函数，则 nmfn(x) = f(x), x

12、w E。注意 B(0, yn)也可记为 B(0, %) =x|x < 丫口。 设f(x)是可测集E上的可测函数，En是E的一列收敛于E的可测子集，记fn(x) = f (x) En(x) (xE),其中？En(x)为 En 的特征函数，则lim fn(x) = f (x), xw E。 n =:设fn(x)(n =12|), f(x)都是可测集E上的可测函数，E = En，En单调递 n=1增，En为E的一列可测子集，且lim fn(x) = f(x), xwE ,记 nfn(x)= fn(x) 及n(x) ( xW E),其中4(x)为En的特征函数，则仍有场fn(x) = f(x),

13、 xW E。 设f(x)是可测集E上的可测函数，En是E的一列收敛于E的可测子集，且lim fn(x) = f (x) , xW E ,记 f n(x = fn)xx ( x= E ),其中？En(x)为 En 的特征函数，n .n则仍有 lim f n (x) = f (x), x w E。 n-. 由“mM fn(x f 3 dx=0可以推出| fn(x)- f(x打中E ,进而推出fn ( x)= f ( Xf E o复习自测题：1、据理说明下面所列的结论是否成立：(1)设E仁Rn为可测集，f (x)为E上的非负简单函数或非负可测函数，则 f (x)为E上的Lebesgue可积函数；(2

14、)设E匚Rn为可测集，f (x)为E上的可测函数，则 f(x)为E上的Lebesgue可积函数；(3)设E匚Rn为零测集，f (x)为E上的可测函数，则f(x)为E上的Lebesgue可积函数；(3)设E u Rn为可测集，且mE 收，f (x)为E上的可测函数，则f(x)为E上的Lebesgue可积函数；(4)设Eu Rn为可测集，且 mE ,若f (x)为E上的有界可测函数，则 f (x)为E上的Lebesgue可积函数;od(5)设E u Rn为可测集，fk(x) , k =1,2,111为E上的一列非负可测函数，则f(x)=£ fk(x) k=1为E1的Lebesgue可积函

15、数;(6)设EuRn为可测集，fk(x) , k =1,2,川为E上的一列非负可测函数，且lim fk(x) = f(x),则 f(x)为 E上的 Lebesgue可积函数;(7)设EuRn为可测集，fk(x) ( k =1,2川|)为E上的一列非负可测函数，则lim_fk(x)和k-7llim fk(x)为E上的Lebesgue可积函数; k(8)设EuRn为可测集，f (x)为E上的非负可测函数，则 f (x)在E上几乎处处有限；2、利用积分的绝对连续性解决下面的问题:设 EuRn 为可测集，f(x)WL(E),记 Ek=Ex|f(x)之 k, k=1,2,|,则(1) lim m&

16、; =0, limkmEk=0, lim f(x)dx = 0; k f二k f二k ： - Ek(2) 0 3 f (x) < f a.e.于 E。设EuRn为可测集，f(x)WL(E),则(1)对任意s >0,存在Rn上的连续函数 邛x),使得，1EBjx) f(x) dx<8 ;提示：注意恰当利用延拓形式的鲁金定理。(2)存在Rn上的一列连续函数 中k(x),使得， 1_.k Q(x) - f (x) dx ,进而 lim*k(x) - f (x) dx = 0。，E '、，、，kkSC * E设EURn为可测集，0E f(x)WL(E),记0 W九=1e f(

17、x)dx<-, F(0)=O, F(r) = 1EE0,r) f(x)dx , 其中 B(0,r) =G d(x,0) <r,则(1) lim,F(r) =0, F(r)在(0,)上单调递增且连续；r0 ,(2) lim F (r) = ( f (x)dx ；(3)存在不相交的可测子集E1, E2u E ,使得r 1E f (x)dx 2- e f(x)dx。提示：(1)利用积分的绝对连续性以及集合的单调性;(2)注意到极限的归结原则以及E =(Ec0 l(Ec B(0,k) )=l场Ec B(0,k),fk(x)= f(x) E -B(0,k)LI f(x),用 Live 定理可

18、得，lim F(n) = C f (x)dx ;n j：- E(3)对F(r)用连续函数的介值性得出，存在可测子集,1Je f(x)dx=5 九,再取E2 =E Ei注意到积分的集合可加性即可得出一、,1f (x)dx = 一九。- E223、利用Live定理解决下面问题:设E u Rn是可测集，f (x)为E上的非负可测函数，且f (x)也于E ,记Ek = Ex(2)EnL ,且£=。£卜=1%£fk(x)= f(x)”(x)L ,且 lim fk(x) = f(x),其中 k -eJx)为Ek的示性函数;(3)lim f (x)dx = f (x)dx。k_

19、 J Ek 、，- E 、，4、利用Fatou引理解决下面的积分与极限的可交换性问题:设EuRn为可测集，fk(x),k=1,2*|为E上的可测函数，若lim fk(x) = f (x) a.e.于 E ,且存在 0 < g(x) w L(E)，使得, k f(x), fk(x)W L(E),k =1,2,111 , JmJ fk(x)f (x) dx = 0 ,进而k .l . Elim fk(x)dx= f(x)dx。k ' E' E提示：取 Fk(x)=2g(x) fk(x) f(x)用 Fatou 引理。设 EURn 为可测集，f (x), fk(x)W L(E)

20、,k =1,2*1,若kim fk(x) = f (x) ae于 E,且 kimjfk(x) dx= ffk (x)l < g(x) ae 于 E ,则f (x) dx,则 lim fk(x) - f (x) dx =0 ,进而 lim f fk(x)dx = f f(x)dx。' 一 ' uk_5Q L EE E提示：取 Fk(x)=|fk(x) +|f(x) fk(x) f(x)用 Fatou 引理。 设EuRn为可测集，fk(x), k=1,2,巾为E上的可测函数，若lim fk(x) = f (x) a.e.于 E ,且存在 0 < gk(x), g(x)

21、w L(E),使得， kfk(x) <gk(x) , lim gk(x) =g(x) ae于 E , lim gk(x)dx = J g(x)dx , k .k E 二, E' E则 f (x), fk(x) w L(E), k =1,2,|, lim fk(x) - f (x) dx =0 ,进而 k_ic EkimfE fk(x)dx = ( f (x)dx。提示：取 Fk(x) =gk(x)+g(x) - fk(x) - f (x)用 Fatou 引理。5、利用几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理和 F.Riesz定理以及反证法解决下面的积分与极限的可交换性问题

22、：设E = Rn为可测集，fk(x) ( k =1,2,|D, f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若 fk(x)= f(x)于 E ,且存在 0 Eg (x) L (E,)使得，I fk(x) <g(x) a.e.于 E ,则 f(x), fk(x)w L(E),k =1,2,| , lim f|fk(x)- f(x) dx = 0,进而k钓 Elim fE fk(x)dx = J f(x)dx° k EE 设 EuRn 为可测集，f (x), fk(x)W L(E),k =1,2*1 ,若fk(x)= f (x)于 E ,且 UmJEl fk(x) dx=f (x) dx

23、, k EE则imc,e fk(x) 一 f (x) dx = 0 ,进而im ( fk(x)dx = Je f (x)dx。设E = Rn为可测集，fk(x) ( k =1,2,111), f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若fk(x)= f(xE,且存在 0gk(x),g(x)WL(E),使得，fk(x) gk(x) , !mgk(x) =g(x)a.e.于 E , limgk(x)dx=g(x)dx, k -k 卜 _ eE则 f (x), fk(x) w L(E), k =1,2j|, lim f fk(x) - f (x) dx =0 ,进而 'k e 、' ，&

24、#39; 'kimj fk(x)dx =E f(x)dx。设EuRn为可测集，fk(x) ( k =1,2,| ), f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若fk(x) ="*)于£,且存在 0Wgk(x),g(x)wL(E),使得,fk(x)| Egk(x)于 E ,lim L gk(x) -g(x) dx = 0 ,J E(1)gk(x)= g(x)于 E ,且 lim g gk(x)dx= J g(x)dx ;k ; ： ' E' E(2)f(x), fk(x)L(E),k =1,2,|, lim Jk二 E提示：(1)注意到fk(x) - f

25、 (x) dx = 0 ,进而|imJe fk(x)dx = fE f(x)dx。fE gk(x)dx-fE g(x)dx «jE gk(x) g(x) dx和 kimJE gk(x)-g(x)|dx = 0 ,立即可得，lim f gk(x)dx = J g(x)dx。k_.EE 对任意3 > 0 ,注意到；mEx gk(x) -g(x) 一 ； EEx|gk(x) -g (x) _;gk(x) -g(x) dx=0M JE|gk(x) -g(x) dx和 lim J gk(x)g(x) dx =0可得, k- 'E， 一 ，=0,lim ®mEx|gk(x

26、) -g(x)之司=0,即 lim mEx| gk (x) -g(x)之名所以 gk(x)= g(x)于 Eo(2)用反证法，并利用(1), F.Riesz和即可。6、利用Lebesgue控制收敛定理或Live定理解决下面的极限问题:证明:kx.(1) lim i =sinkxdx=0; lim fk 5： - (0,1 1 k2x2k_.-' (0,13k2x1 k2xysinkxdx = 0 ；km gkx2221 k xsinkxdx =0。limj："二)啖1dx =1；",(1+-)kexdx = 1 。 k7、利用L积分与R积分的关系计算下面的L积分：-

27、2>,xex ,x 0,1 Q -(1)设Q为0,1上的有理数全体，f(x) = «, x l，求ln(1 x2)esine ,x Q10,1 f(x)dx；x 0,二)Q,x Qxe”,(2)设Q为0,2)上的有理数全体，f(x) = (,ln(1 x2)esine求人 f(x)dx；(3)设P为0,1上的三分Cantor集，'3 y2 x3ex ,x 0,1() sin 1 ln(1 x2) esine , x P求篙 f(x)dx；xe”,x 0,二)E(4)设 EW0,y), mE=0, f(x) =4° x，ln(1 sinx2)esine , x

28、E求 及 石 f(x)dx。8、用Fubini定理解决下面的问题：设EURp为可测集，FURq为可测集，若f(x,y)为EMF u RpM Rq上的非负可测函数(或Lebesgue可积函数)，则 f (x, y)dxdy =dxf(x, y)dy。E , FE F9、(第3、4章的综合题)设E=Rn, mE一, f (x, y)为Em R1上的实函数，11(1)若对几乎所有的x=E, f(x, y)都是y在R上的连续函数；对任取的y= R , f(x, y)都是x在E上的可测函数，证明：对于任何E上的实值可测函数 g(x), F(x)L f(x,g(x)也是E上的可测函数。(2)设f (x,y)还满足：存在常数 0 M C < -He ,使得，对任意xw E, y w R1 ,f(x, y) <C(1 +|y ),若gn(x), g(x)是E上的可积函数，lim gn(x) =g(x) ae于E ,且 n- .“mE gn(x) dx = Ee g(x