第五章模型与方程的建立

1、第五章第五章 模型与方程的建立模型与方程的建立 建立方程是把模型建立方程是把模型“翻译翻译”成数学方程式的过程，成数学方程式的过程，把非正规的、概念的构思转换成正式的定量的数把非正规的、概念的构思转换成正式的定量的数学表达式学表达式规范的方程。规范的方程。51 状态方程状态方程 状态变量状态变量，是随时间而变化的积累量，是物质、，是随时间而变化的积累量，是物质、能量与信息的储存环节。能量与信息的储存环节。5.1.1 状态方程的标准格式状态方程的标准格式 状态方程的标准格式：状态方程的标准格式：L LEV.K=LEV.J+DT*(INFLOW.JK-OUTFLOW.JK)5.1.2 状态变量的确

2、定原则状态变量的确定原则（1）是否把一个量定义为状态变量，取决于是否）是否把一个量定义为状态变量，取决于是否能把这个量看作为某种对时间的积累过程。能把这个量看作为某种对时间的积累过程。例如：人口、企业雇员数、库存、生产能力、血清例如：人口、企业雇员数、库存、生产能力、血清胆固醇、银行结存、文化传统、人的习惯、人的胆固醇、银行结存、文化传统、人的习惯、人的感受等。感受等。 当设想把时间暂停的时候，这些量也不会消失。当设想把时间暂停的时候，这些量也不会消失。（2）是否把一个量定义为状态变量，要看它的变）是否把一个量定义为状态变量，要看它的变化速度与模型的时间坐标比较是快还是慢而定：化速度与模型的时

3、间坐标比较是快还是慢而定：变化速度慢的量可定义为常数，变化速度快的量变化速度慢的量可定义为常数，变化速度快的量可定义为辅助变量，一般情况则视为状态变量。可定义为辅助变量，一般情况则视为状态变量。（3）量纲无助于判断是否是状态变量）量纲无助于判断是否是状态变量。5.2 速率方程速率方程 速率变量的功能是把影响系统状态的诸因素转速率变量的功能是把影响系统状态的诸因素转换成改变系统状态的行动。换成改变系统状态的行动。 速率方程没有同一的标准格式。速率方程没有同一的标准格式。 （1）LEV.K*CONST R RATE.KL=LEV.K*CONST例如1：BAL 银行结存IPR 利息FAIR 年利率图

4、 银行付息结构流图方程式：方程式： R IPR.KL=BAL.K*FAIR式中：式中： IPR利息（元利息（元/年）；年）； BAL银行结存（元）；银行结存（元）； FAIR年利率（年利率（1/年）。年）。方程中的量纲要保持一致：方程中的量纲要保持一致： IPR元元*（1/年）元年）元/年年 例如2：INV 库存PR 产量PROD生产率WF 劳动力SR 发货率SR 销售量图 产量PR的形成结构流图方程式：方程式： R PR.KL=WF.K*PROD式中：式中： PR产值（件产值（件/月）；月）； WF雇员（人）；雇员（人）； PROD生产率（件生产率（件/人人*月）。月）。检验量纲的一致性：检

5、验量纲的一致性：PR人人*（件（件/人人*月）件月）件/月月（2）R RATE.KL=LEVEL.K/LIFE 式中：LIFE使用年限或寿命使用年限或寿命例如1：BCKLOG订货积压SR 发货率DD 交货延迟 R SR.KL=BCKLOG.K/DD式中：式中： SR发货率（件发货率（件/周）；周）； BCKLOG订货积压（件）；订货积压（件）； DD交货延迟（周）。交货延迟（周）。 交货延迟：从订货开始到交货为止所需要交货延迟：从订货开始到交货为止所需要的平均时间。的平均时间。例如2：EGGS 卵LAPV 幼虫PUP 蛹ADLTS成虫DR 产卵率HR 孵化率PR 成蛹率MR 成熟率DR 死亡率

6、DES 孵化期DLS 幼虫期DPS 蛹期TMD 衰老期例如例如3： 矿区人口模型矿区人口模型（3）（）（GOAL-LEVEL.K）/ADJTM方程式：方程式：R RATE.KL=(GOAL-LEVEL.K)/ADJTM式中：式中： ADJTM调整时间。调整时间。例如：例如：WF 劳动力HFR 纯雇佣率WFS 期望劳动力WFAT 劳动力调节时间方程式：方程式： L WF.K=WF.J+DT*HFR.JK R HFR.KL=(WFS.K-WF.K)/WFAT 纯速率纯速率，是指输入速率和输出速率的代，是指输入速率和输出速率的代数和，其值可正或负或零。数和，其值可正或负或零。 纯速率纯速率能使劳动力

7、人数增或减，取决于能使劳动力人数增或减，取决于WF与与WFS值的相对大小。值的相对大小。（4）LEVEL.K*AUX.K与与LEVEL.K/AUX.K方程式：方程式：R RATE.KL=LEVEL.K*AUX.KR RATE.KL=LEVEL.K/AUX.K式中：式中：AUX辅助变量。辅助变量。例如例如1：方程式：方程式：R PR.KL=WF.K*PROD.KINV 库存PR 产量PROD生产率WF 劳动力SR 发货率SR 销售量图 产量PR的形成结构流图 例如例如2： 方程式：方程式： R POLA.KL=POL.K/POLAT.KPOL 污染POLA 污染净化率POLAT 污染净化时间（5

8、）EFFECT.K+NORM.K方程式：方程式： R RATE.KL=NORM.K+ EFFECT.K 式中：式中： RATE速率；速率； NORM额定速率；额定速率； EFFECT某些因素的影响作用。某些因素的影响作用。例如例如1：WP 雇员HR 雇佣率QR 离退率AQR 平均离退率TAQR 离退率平滑时间WFS 期望雇员WFAT 雇员调整时间雇佣率的方程式：雇佣率的方程式：R HR.KL=AQR.K+(WFS.K-WF.K)/WFAT式中：式中：HR雇佣率（人雇佣率（人/月）。月）。AQR平均离退率（人平均离退率（人/月）；月）；WF雇员（人）；雇员（人）；WFAT雇员调整时间（月）。雇员

9、调整时间（月）。 其中，其中，AQR（平均离退率，即为额定雇（平均离退率，即为额定雇佣率）相当于标准公式中的额定速率佣率）相当于标准公式中的额定速率NORM，企业就是按，企业就是按AQR雇佣新雇员以代雇佣新雇员以代替正常的离退人员，以保持雇员的总数。替正常的离退人员，以保持雇员的总数。 (WFS.K-WF.K)/WFAT相当于标准公式中的相当于标准公式中的某些因素的影响作用某些因素的影响作用EFFECT。 例如例如2：INV 库存PR 产量SR 发货率ASR 平均发货率TASR 发货率平滑时间BC订单积压校正IC库存校正BAT 订单积压调整时间B 订单积压DB 期望订单积压DI 期望库存IAT

10、 库存调整时间PR产量的方程式：产量的方程式： R PR.KL=EFFECT1.K+EFFECT2.K+NORM.K= AUX.K +NORM.K 详细的详细的PR方程式：方程式：R PR.KL=ASR.K+AUX.KA AUX.K=IC.K+BC.KA IC.K=(DI-INV.K)/IATA BC.K=(DB-B.K)/BAT（6）EFFECT.K*NORM.K 此表达式是此表达式是SD模型中最普遍使用的一种模型中最普遍使用的一种速率方程。它的特点是把速率考虑为某一速率方程。它的特点是把速率考虑为某一额定速率乘以一个因子或与多个因子连乘额定速率乘以一个因子或与多个因子连乘的积。的积。如如P

11、167的图的图8.18所示。所示。5.3 辅助变量方程辅助变量方程 辅助变量是表述系统内部信息的变量。辅助变量是表述系统内部信息的变量。 辅助变量所包括的具体含义是多样性的，它们辅助变量所包括的具体含义是多样性的，它们的量纲各不相同。的量纲各不相同。例如：例如： 期望雇员期望雇员WFS人；人； 库存校正系数库存校正系数IC 件件/月；月； 污染净化时间污染净化时间年；年； 生产率生产率件件/人人/周。周。等等。等等。 所以，不能从量纲的类型去判断一个变量是否所以，不能从量纲的类型去判断一个变量是否是辅助变量。是辅助变量。5.3.1 辅助变量的确定原则：辅助变量的确定原则： 在一个系统中，除去状

12、态变量和速率变量，在一个系统中，除去状态变量和速率变量，余下的变量则应为辅助变量。余下的变量则应为辅助变量。5.3.2 辅助变量方程的代数表达式辅助变量方程的代数表达式 辅助变量方程式的表达式类似于速率方程，都辅助变量方程式的表达式类似于速率方程，都是代数运算，而且无标准格式。是代数运算，而且无标准格式。 若辅助变量是一个或一个以上具有同一量纲的若辅助变量是一个或一个以上具有同一量纲的量的函数，则他们之间应为代数相加的关系；若量的函数，则他们之间应为代数相加的关系；若辅助变量的量纲不同于组成它的诸因素的量纲，辅助变量的量纲不同于组成它的诸因素的量纲，则它们之间应为乘或除等的关系。则它们之间应为

13、乘或除等的关系。例如例如1：A NA.K=AREA-CA.K这里确定那一个为辅助变量，应根据研究问这里确定那一个为辅助变量，应根据研究问题的角度确定。题的角度确定。NA 景物面积CA 供游客使用面积VDEN游客密度VDY 每年游客人数某名胜游客反馈系统因果关系图例如2：A OB.K=S.K*OBPS式中：式中： OR订货率（件订货率（件/月）；月）； S推销员（人）；推销员（人）； OBPS 每个推销员完成的交货率（件每个推销员完成的交货率（件/月月*人）。人）。推销员规模S 推销员OB 订货率财政收入企业推销员的增减因果关系图5.4 模型的参数模型的参数 系统动力学模型在进行模拟之前，首系统

14、动力学模型在进行模拟之前，首先必须对模型中的所有常数、表函数及状先必须对模型中的所有常数、表函数及状态变量方程的初始值赋值。辅助变量和速态变量方程的初始值赋值。辅助变量和速率均可从状态变量于常数算出，所以通常率均可从状态变量于常数算出，所以通常不必单独地计算它们的初始值。不必单独地计算它们的初始值。SD模型参数与参数估计方法模型参数与参数估计方法 （1）参数的种类：）参数的种类： 1）常数类：常数（面积、生产率等）、）常数类：常数（面积、生产率等）、转换系数、调节时间、参考值等；转换系数、调节时间、参考值等； 2）表函数；）表函数； 3）初始值。）初始值。 （2）参数值估计方法：）参数值估计方

15、法： 1）经过调查获得第一手材料；）经过调查获得第一手材料； 2）从模型中部分变量间的关系中确定；）从模型中部分变量间的关系中确定；例如例如1：从城市系统模型中求建筑物毁损率：从城市系统模型中求建筑物毁损率HD的值的值 R HD.K=H.K/HL C HL=60式中：式中： HD建筑物毁损率（座建筑物毁损率（座/年）；年）； H建筑物（座）；建筑物（座）； HL建筑物评价寿命（年）。建筑物评价寿命（年）。例如例如2：从：从SMOOTH方程的变量关系确定平滑时间方程的变量关系确定平滑时间STIME的值的值 A SVAR.K=SMOOTH(VAR.K，STIME) 式中：式中： SVAR已平滑变量

16、；已平滑变量； SMOOTH平滑函数；平滑函数； VAR待平滑变量；待平滑变量； STIME平滑时间。平滑时间。如如VAR突增突增100后经后经4个月个月Th达到其终值的达到其终值的50，则根据一阶系统参数关系式有：则根据一阶系统参数关系式有： 0.69*STIME=Th把把Th4代入得：代入得： STIMETh/0.69=4/0.69=5.863）分析已掌握的有关系统的知识估计参数）分析已掌握的有关系统的知识估计参数值。值。4）根据模型的参考行为特性估计参数值。）根据模型的参考行为特性估计参数值。55 方程的初始值方程的初始值模型中状态方程的初始值有三类：模型中状态方程的初始值有三类：（1）

17、拟合历史数据；）拟合历史数据；（2）模型模拟从平衡开始；）模型模拟从平衡开始；（3）模型模拟始于某些特殊的增长（或降）模型模拟始于某些特殊的增长（或降低）规律。低）规律。5.5.1 模拟从平衡状态开始模拟从平衡状态开始 平衡类模型：研究模型的动态过程涉平衡类模型：研究模型的动态过程涉及偏离平衡的问题。研究这类问题时，先及偏离平衡的问题。研究这类问题时，先是建立平衡模型，然后施以适当的扰动，是建立平衡模型，然后施以适当的扰动，使其产生特点的动态行为。使其产生特点的动态行为。 库存、捕食与被捕食、研究商业周期等库存、捕食与被捕食、研究商业周期等模型。模型。 所谓模型处于平衡是指模型中各状态所谓模型

18、处于平衡是指模型中各状态变量的输入和输出速率达到均衡，整个模变量的输入和输出速率达到均衡，整个模型处于动态平衡状态，各状态变量值保持型处于动态平衡状态，各状态变量值保持不变。不变。 例如1：LEV 状态IN 输入速率OUT 输出速率EXOG 外生输入速率CONST 常数简单的平衡系统方程式：方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*(IN.JK-OUT.JK) N LEV=? R IN.KL=EXOG.K R OUT.KL=LEV.K/CONST按照系统平衡的定义得知，欲使系统平衡应有：按照系统平衡的定义得知，欲使系统平衡应有： IN=OUT IN=EXOG OUT=LEV/CONST LE

19、V/CONST=EXOG所以所以 LEV=EXOG*CONST例如2：P194 库存控制模型5.5.2 模拟从非平衡状态开始模拟从非平衡状态开始略5.6 DYNAMO的差错问题的差错问题5.6.1 错误分类错误分类 DYNAMO把程序中的错误按其严重程度分为三把程序中的错误按其严重程度分为三类：警告错误、严重错误和致命错误，并给出适当类：警告错误、严重错误和致命错误，并给出适当的指示与说明。的指示与说明。 （1）凡是）凡是DYNAMO能鉴别出来，但不影响模拟结果能鉴别出来，但不影响模拟结果的错误称为警告错误。例如：时间下标的错误；的错误称为警告错误。例如：时间下标的错误； （2）凡是影响模拟结果的错误称为严重错误。例如：）凡是影响模拟结果的错误称为严重错误。例如：在分时系统中在分时系统中DYNAMO将自动停止模拟。在批处理将自动停止模拟。在批处理系统中，系统中，DYNAMO将把模拟继续下去，得出包含错将把模拟继续下去，得出包含错误的结果，让用户自己从运行结果中寻找；误的结果，让用户自己从运行结果中寻找；（3）凡是导致模拟无法进行的错误称为致）凡是导致模拟无法进行的错误称为致命错误，模拟不能进