第4章5-7 数字滤波器的原理和设计方法

1、Theory and Design Method of Digital Filter前面的一些例子已经说明了如何应用冲激不变法和双线性变换法，根据具有选频特性的低通模拟系统函数来设计无限冲激响应数字滤波器。下图画出了四种常见的选频滤波器的理想频率响应，(a)、(b)、(c)和(d)分别表示低通、高通、带通和带阻滤波器的理想频率响应。设计这样一些选频滤波器的传统方法有两种。方法1：首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换把它变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换法变换成相应的数字高通、带通和带阻滤波器。方法2：先设计了一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲

2、激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。方法1的缺点是，由于产生混叠失真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或带阻滤波器。因此本节只讨论方法2。在方法2中，从模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换，前面已经讨论过了，因此下面只讨论数字低通滤波器到数字高通、带通和带阻滤波器的转换问题。我们曾经用双线性变换将模拟系统函数变换成数字系统函数，对于低通、高通、带通和带阻型选频滤波器来说，也可以利用一种和双线性变换非常相象的有理变换从低通数字滤波器变换出来。设Hl(v)是数字原型低通滤波器的系统函数，Hd(z)是所

3、要求的滤波器的系统函数。数字域的频率变换，就是要找出一个变量代换的公式，使得所要求的系统函数这里用v-1是因为系统函数的标准形式,一般写成z-1的形式，换到v平面即是v-1。频率变换中的变量代换公式必须满足下列条件：(1)F(z-1)必须是z-1的有理函数；(2)v平面的单位圆内部映射到z平面的单位圆内部。从这些条件出发，我们可推导出频率变换的实用公式。设v平面单位圆是v=ej，z平面单位圆是z=ej，则对比等式两边，有如果把变量代换的有理函数F(z-1)看成是一个系统函数，那么该系统的幅频特性曲线在任何处恒为1，这样的函数就是全通函数。任何全通函数都可表示为其中k是F(z-1)的极点。为了满

4、足稳定性的要求，必须有|k|2/N时(这个条件一般能满足)，H(0)实际上就很近似于WR()全部从-到+的面积。2、再看=c时的卷积值，这时Hd()正好与WR(-)的一半重叠，如图4.49(d)所示，因此卷积值正好是零频响应H(0)的一半，即H(c)/H(0)0.5，如图4.49 (f)所示。3、当在通带截止频率c以内，即=c-2/N时，WR(-)的整个主瓣都在Hd() 的通带内，如图4.49(d)所示，因此卷积结果有最大值，这时频率响应出现正肩峰。4、对于=c-2/N、WR(-)的主瓣全部在Hd()的通带外，如图4.49(e)所示，在通带内旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积值达到最大负值，H

5、()在这里出现负肩峰。5、当进一步增大时，卷积值也将随着WR(-)的旁瓣在通带内的面积的变化而变化，这样就造成H()以零值为中心的上下起伏波动。6、当由-2/N向通带内减小时，WR(-)的右旁瓣进入Hd()的通带，这时，卷积值H()在WR(-)的主瓣和左右旁瓣的共同作用下将以H(0)为中心上下波动。从以上分析及图4.49(f)可以看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到加窗处理两方面的影响。第一，使滤波器的理想频率特性在不连续点处边沿加宽，出现过渡带，这主要是由窗函数频谱的主瓣引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，矩形窗对应的过渡带的宽度=4/N。一般来说， 过渡带的宽度与N成反比；第

6、二，滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象，主要是由窗函数的频谱的旁瓣造成的。根据以上讨论，可知在一般情况下，对窗函数的要求有二：旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹；主瓣宽度尽量窄，以获得尽可能陡的过渡带。但是，这两个要求是互相矛盾的，不可能同时满足。具体来说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使旁瓣变高。往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。以矩形窗为例，它的频谱为可见，改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度、改变坐标的比例以及改变WR()的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例(当然N太小时，会影响旁瓣

7、的相对值)，这个相对比例是由sinx/x决定的，或者说只由窗函数的形状来决定的。因而，当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽(4/N)，而不会改变肩峰的相对值。用矩形窗截取无限长序列hd(n)来得到有限长序列h(n)，由于突然将h(n)截短，因而破坏了序列hd(n)的均匀收敛性，这意味着人为地强迫hd(n)收敛。不均匀收敛性在频谱中是以吉布斯现象反映出来的。矩形窗所形成的FIR滤波器的频率响应的波纹幅度很大，最大肩峰值达8.95，如图4.49(f)所示。为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，但效果并不显著；另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。图4.50所示的是几种常用的窗函数：它

8、们的定义式和频谱函数分述如下：或利用傅里叶变换的调制特性，即利用和考虑到RN(n)的傅里叶变换为则得当N1时，N-1N，得到窗谱的幅度函数为因此可以认为汉宁窗的频谱由图4.51所示的3部分组成，3部分频谱相加的结果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣内，代价是使主瓣的宽度加大了一倍，即为8/N。，又称改进的升余弦窗把升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为：其频率响应的幅度函数为结果可将99.963的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同为8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。为了更进一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到Blackman窗：其频

9、谱的幅度函数为此时主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即为12/N。图4.52描绘的是N=51时上列5种窗函数的频谱函数图形，图中以相对衰减A=201g|W()/W(0)| dB为纵坐标。从图中可以看出，这5种窗函数的旁瓣衰减依次增大，主瓣宽度依次加宽。图4.53所示的是用这5种窗函数设计的低通FIR数字滤波器的频率响应特性。窗函数的长度N51，理想低通滤波器的截止频c=/2。从图中可看出，用矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带衰减指标最差，仅有-21dB左右。而用布莱克曼窗设计的阻带衰减指标最好，可达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的3倍。这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为其中，

10、I0(x)是第一类修正零阶贝塞尔函数。它可用以下的级数来计算：在实际应用中，级数取1525项就可以达到足够的精度。凯泽窗是一族窗函数。是可调参数，调节值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度，的典型值在4N， 在窗口范围内能很好地逼近hd(n)。窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。其缺点是通带、阻带的截止频率不易控制。例4.7 设计一个满足下式要求的FIR线性相位低通数字滤波器 0.98|H(ej)|1.02，0|0.18 | H(ej)|0.003，0.22|(1)选择合适的窗函数。(2)求滤波器的阶数。(3)求理想低通滤波器的截止频率c和滤波器的时延。(4)求滤波器的单位取样响

11、应。解：(1)阻带衰减为 20log(0.003)=-50.5dB查P146，表4.2，选择哈明窗可满足阻带衰减的要求。(2)题目要求的过渡带宽度为 =0.22-0.18=0.04或f=/2=0.02由表4.2知道，哈明窗的过渡带宽度与滤波器的阶数N有下列关系：=8/N，从而N=8/=8/0.04=200(3) c=(P+T)/2=(0.18+0.22)/2=0.20滤波器的时延=(N-1)/2=199/2=99.5，取=100。(4)滤波器的单位取样响应因滤波器的频率特性为H(ej)=|H(ej)|e-j所以滤波器的单位取样响应为窗函数法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取

12、成有限长的h(n)，以此h(n)来近似理想的hd(n)，这样得到的频率响应H(ej)逼近于我们所要求的理想的频率响应Hd(ej)。频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd(ej)加以等间隔抽样，所以称之为频率取样法。然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值H(k)，即令知道H(k)后，由DFT定义，可以用领域的这N个抽样值H(k)来唯一确定有限长序列h(n)，而由频域采样的内插公式(3.50)知道，利用这N个频域抽样值H(k)同样可求得FIR滤波器的系统函数H(z)及频率响应H(ej)。这个H(z)或H(ej)将逼近H(d)或Hd(ej)。根据书本P.78频率取样

13、，可以得到内插公式：(4.105)FIR滤波器的频率响应也可用H(k)表示：(4.106)其中()为内插函数，将()代入4.106，化简后可得式(4.105)和式(4.106)是用频率取样法设计FIR数字滤波器的理论基础。从内插公式我们看到，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等，即但是在抽样点之间的频响则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如下图(b)梯形理想频率特性所示。反之，如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之

14、误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹，如图(a)矩形理想频率特性所示。一般来说，在过渡带的频率响应特性变化较陡，在通带或阻带内的变化比较平缓，因此我们重点考虑过渡带抽样的优化设计问题。为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡(这种起伏振荡就使得阻带内最小衰减很小)，和窗函数法的平滑截断一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘，加上一些过渡的抽样点，这些点上抽样的最佳值由计算机算出。这样的结果，就增加了过渡带，减小了频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，因而增大了阻带最小衰减。这些抽样点上的取值不同，效果也就不同，因为

15、由频率抽样公式看出，每一个频率抽样值，都要产生一个与常数sin(N/2)/sin(/2)成正比并且在频率上位移2k/N的频率响应，而FIR滤波器的频率响应就是H(k)与内插函数(-2k/N)的线性组合。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的相邻频带(通带、阻带)的波纹得以减小，从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为-20dB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到-44dB到-54dB左右，二点过渡抽样的最优设计可达-65dB到-75dB左右，而加三点过渡抽样的最优设计则可达-85dB到-95dB左右。给

16、定理想滤波器频率响应 。根据过渡带宽和阻带衰减确定过渡点数和h(n)长度N。 。由IFFT计算IDFT得到 。频率取样方法的优点是，可以直接在频域中用选择过渡取样值的方法，来得到良好的设计效果，适合于最优化设计。这种方法的缺点是，频率控制点的位置受到频率轴上的N个取样点的限制，因而滤波器的截止频率不易控制。如果要自由地选择截止频率，就必须增加取样点数N，这样做是不经济的。例 利用频率取样法，设计一个低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形，已知c=0.5，抽样点数为奇数N=33，要求滤波器具有线性相位。解：根据指标，可画出频率取样后的H(k)序列，如下图。由于|H(k)|是对称于=的，我们只

17、对0即0k16的区间感兴趣。故可将2即17k32的图形略去不画。截止频率c=0.5满足16/33c17/33，按频率取样方式设计，N=33，则将以上值代入H(ej)，得到按此式计算 的结果如下图所示。由图看出过渡带宽为2/33，而最小阻带衰减则约为-20dB。这一衰减在大多数情况下是不令人满意的。为了改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻带交界处安排一个或几个不等于零也不等于l的抽样值。本例中用优化算法算出在k=9处，|H(9)|=0.5，则得如下图(a)所示结果。这相当于加宽过渡带，其宽度为22/N=4/33，算出阻带最小衰减约为-40dB左右，如下图(b)所示。如果要进一步增加阻带衰减

18、，可再添上第二个不等于1也不等于零的取样，这样过渡带又加宽了，如果不允许再增大过渡带宽，而又希望增大阻带衰减，还可增加抽样点数N，例如同样是c=0.5，以N=65进行取样，并在k=17，k=18处插进两个优化的取样值|H(17)|=0.5886，|H(18)|=0.1065，则其结果如下图所示，过渡带宽为6/65，并没有增加，而阻带最小衰减则可达到-60dB以上。所付出的代价是阶次提高(N=65)，因而运算量增大了。IIR滤波器的主要优点是：(1)可以利用一些现成的公式和系数表设计各类选频滤波器。通常只要将技术指标代入设计方程组就可以设计出原型滤波器，然后再利用相应的变换公式求得所要求的滤波能系统函数的系数。因此设计方法简单。(2)在满足一定技术要求和幅频响应的情况下，IIR滤波器设计成具有递归运算的环节，所以它的阶次一般比FIR滤波路低、所用存储单元少。滤波器体也小。IIR滤波器的缺点是：(1)只能设汁出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器。除幅频特性能够满足技术要求外，它们的相频特性往往是