2021年高考理数全国乙卷真题试卷含答案及解析-教师版

1、外装订线请不要在装订线内答题内装订线外装订线请不要在装订线内答题内装订线 登陆二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧第 页 2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设2（z+ z ）+3(z- z )=4+6i，则z=（ ）. A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设z=a-bi, 2(z+z)+3(z-z)=5z-z2.已知集合S=s|s=2n+1，nZ，T=t|t=4n+1，nZ，则ST=（ ） A.

2、 B.SC.TD.Z【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】当n=2k(kZ) 时，S=s|s=4k+1,kz , 当n=2k+1 (kZ) 时,S=s|s=4k+3,kz 所以TS,所以3.已知命题p： xR，sinx1；命题q： xR， e|x| 1，则下列命题中为真命题的是（A.p qB. p qC.p qD.【答案】 A 【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.设函数f(x)= 1-x1+x A.f(x-1)-1B.f

3、(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】因为 f(x)= 1-x1+x=-1+2x+1 ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A.2B. 3C. 4【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x， 因

4、为D1P|OB|BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP|OD1,所以AD1O 即为所求的角，易证AO平面BDD1B1,故AOOD1, 又AO=12AC=126.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：C52C41A33=240 7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩

5、短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3 个单位长度，得到函数y=sin(x- 4 )的图像，则f(x)=（A.sin( x2-712 )B.sin( x【答案】 B 【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- 4 )的图像 上所有的点向左平移平移3个单位，纵坐标不变，得到y=sin(x+12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 74 的概率为（ ）A. 74 B. 2332 C.

6、 932【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0a1, 1b 74的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示， 直线a+b 74与正方形的两个交点分别为(34,1),(0,74),则可计算事件(a+b74R人svyf概率为P9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）. A.表高表距表目距的差+表高B.表高表距表目距的差-表高【答

7、案】 A 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M， 则ABAM+BM,设BDM=,BFM=,则 MBtan-FGtan=MF-MD10.设a0，若x=a为函数 f(x)=a(A.abB.abC.aba2D.aba2【答案】 D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】当a0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab,aba2.故B,C项错； 当aba2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。11.设B是椭圆C： x2a2+y2b2=1 （ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足A

8、.22,1)B.12,1)C.(0,【答案】 C 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02b2)+y02-2by0+b2 12.设 a=2ln1.01 ， b=ln1.02 ， A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】 B 【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质 【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-1+2x+1 ， 则b-c=f(0.02)，则f/(x)=11+x-221+2x=1+2x-(1+x)(1+x)1+2x,当x0时，1+x=(1+x)2=

9、(1+2x+x2(1+2x, 所以f/(x)0）的一条渐近线为 【答案】 4 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为又曲线方程C：x2m-y2=1(m0),一条渐近线是3x+my=0,则 m=3 14.已知向量 a =（1，3），b=（3，4），若（ a - b ） b ， 则=_。 【答案】 35【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为a=(1,3),b=(3,4), ab=(1-3,3-4),(a15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60，a2+c2=3ac，则b=_.

10、【答案】 22【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】SABC=12acsinB=16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）. 【答案】 或 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图； 当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图， 故答案为： 或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作

11、答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s12和s22（1）求 x ， y ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

12、 y - x 2s12【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 x = 110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+1y = 110s12 = 110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)s22 = 110 x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2（2）由(1)中数据得 y - x =0.3，2 s1显然 y - x

13、2 s12【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数x,y ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 ， 显然 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PBAM， （1）求BC； （2）求二面角A-PM-B的正弦值。 【答案】 （1）解：因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC，所以以 DA ， DC ， DP 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz设BC=t，A（

14、t，0，0），B（t，1，0），M（ t2 ，1，0），P(0，0，1)，所以 PB =（t，1，-1）， AM =（ -12 ，1因为PBAM，所以 PB AM =- t22 +1=0，所以t= 2 ，所以BC= 2（2）设平面APM的一个法向量为 m =（x，y，z），由于 AP =（- 2 ，0，1），则 令x= 2 ，得 m =（ 2 ，1，2）。设平面PMB的一个法向量为 n =（xt ， yt ， zt），则令 yt =1，得 n =(0，1，所以cos（ m ， n ）= mn|m|n| = 37【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分

15、析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解； （2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。19.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项和，已知 2S（1）证明：数列bn是等差数列； （2）求an的通项公式. 【答案】 （1）由已知 2Sn + 1bn =2，则 2bn-1bn + 1bn =2 2bn-1+2=2bn bn-b故bn是以 32 为首项， 12（2）由（1）知bn= 32 +（n-1） 12 = n+22 ，则 2Sn + 2nn=1时，a1=S1= 3n2时，an=Sn-Sn-1= n+2n+1 - 故an= 【考点】等差数列的

16、通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式 【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。 （2）呈上，先写出bn,再求bn前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。 （1）求a； （2）设函数g（x）= x+f（x）xf【答案】 （1）xf(x)=xf(x)+xf(x) 当x=0时，xf(x)=f(0)=lna=0，所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x)，得x1 当0 x1时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；当x0时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0

17、故即证x+f(x)xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，则f(t)=-1- 1t -(-1)lnt+ 1-tt =-1+ 所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故f(t)f（1）=0，得证。【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： xf(x)=xf(x)+xf(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。 （2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转

18、化为证明 x+f(x)xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。21.己知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值. 【答案】 （1）解：焦点 F(0,P2) 到 x2+(y+4)2=1 的最短距离为 P2+3=4 ，所以p=2.（2）抛物线 y=14x2 ，设A(x1 ， y1lPA=lPB:y=1lPA ， lPB 都过点P(x0 ， y0），则 y0

19、=12x1联立 y=12x0 x-y所以 |AB|=1+x024SPAB=12|AB而 y0-5,-3 .故当y0=-5时，【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用 【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果； （2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A,B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。四、选修4一4：坐标系与参数方程（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 C的一个参数方程； （2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 【答案】 （1）因为 C的圆心