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文档简介

高等数学第二十二讲1第四节一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的不定积分第三章2换元积分法;本节起，我们将被积函数的类型出发，讨论某些特殊类型的函数的不定积分法。

基本积分法:直接积分法;分部积分法3一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式假分式相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和4例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法5(2)用赋值法故取代入上式有取代入上式有 比较上式左右两端的分子有6原式=(3)用比较系数法7四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分8例2.

求解:已知9例3.

求解:原式注：分母的导数为10例4求解：说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.11(不讲)例5.求不定积分解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.12二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换u的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则变量代换通常称为“万能代换”意味着任何三角函数有理式的积分，的有理函数的积分。都可以用这种代换化为可积13令14例1.求15注：用万能代换有时计算比较复杂，的三角函数的有理式的积分常需要采用其他形式的代换。以便能更简便而迅速地得出结果。例10：求解：若用万能代换则繁！因此对某些特殊162.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令17例1.

求解:令则原式18例2.

求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令19例3.

求解:令则原式20解：令例421不讲例4

求解原式＝令原式＝22(不讲)例5.求解:原式=23例8.

求解:

原式=分析:

(不讲).

24小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如25积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用积分公式汇集成表,以备查用.如附录ⅢP273.积分表的结构:按被积函数类型排列积分表的使用:1)注意公式的条件2)注意简单变形的技巧的效率,积分表的使用26例1.求解:应使用P280公式(109).27例2.

求解法1

令则原式(P275公式39)28例2.

求解法2

令则原式(P274公式13)29内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,

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