2018届数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业13理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15-学必求其心得，业必贵于专精小题专练·作业（十三)一、选择题1．(2017·广东清远三中月考)已知直线l1：(k－3)x＋（4－k）y＋1＝0与l2:2（k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2答案C解析当k＝4时,显然不合题意；当k≠4时,可得eq\f（k－3,k－4)＝eq\f(2(k－3),2）,解得k＝3或k＝5.经检验，都符合题意，故选C。2．(2017·海淀区练习)圆x2＋y2－2y＝0与曲线y＝|x|－1的公共点个数为(）A．4 B．3C．2 D．0答案D解析本题考查直线与圆的位置关系．曲线方程可化为y＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x－1，x≥0，，－x－1，x<0，）)圆的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，则圆心(0,1)到直线y＝x－1（x≥0)的距离为eq\f(|0－1－1|,\r(12＋（－1）2））＝eq\r（2)〉1，圆心(0，1)到直线y＝－x－1（x〈0)的距离为eq\f(｜0＋1＋1｜,\r(12＋12)）＝eq\r(2）〉1,所以曲线y＝｜x｜－1与圆相离，无交点，故选D。3．（2017·衡水调研）已知双曲线C:eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0)的一个焦点为（2，0）,且该焦点到渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为(）A．x2－eq\f（y2,4)＝1 B。eq\f(x2,4）－y2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D。eq\f(x2，3)－y2＝1答案D解析由一个焦点为(2，0)，得c＝2，又eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f（b，a）x，即bx±ay＝0,焦点(c，0)到渐近线的距离d＝eq\f(|bc｜,\r（a2＋b2））＝b，∴b＝1，a2＝c2－b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2，3)－y2＝1，故选D。4．(2017·课标全国Ⅱ，文)若a〉1，则双曲线eq\f(x2,a2）－y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（eq\r(2）,＋∞) B．(eq\r(2)，2）C．（1，eq\r（2）) D．（1，2)答案C解析依题意得,双曲线的离心率e＝eq\r（1＋\f（1,a2)),因为a〉1，所以e∈(1，eq\r(2)),选C。5．（2017·唐山模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右两个焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l:eq\r(5)x－eq\r（3）y＋t＝0与圆O有公共点,则实数t的取值范围是（)A．［－2,2] B．[0，2]C．［－4，4］ D．［0，4］答案C解析双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别是F1(－eq\r(2)，0），F2(eq\r(2)，0)，从而圆O的方程为x2＋y2＝2。因为直线eq\r（5）x－eq\r（3)y＋t＝0与圆O有公共点，所以有eq\f（｜t|,\r（5＋3))≤eq\r（2）,即｜t｜≤4，从而实数t的取值范围是［－4，4］，故选C。6．(2017·郑州质量预测）已知P为双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A，B,则|PA｜·｜PB｜的值为（）A．4B．5C.eq\f（4,5)D．与点P的位置有关答案C解析如图，设P(m，n），由题意得eq\f（n2,4）－m2＝1，即n2－4m2＝4,由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(y＝2x，，y－n＝－\f(1，2）(x－m），）)得B（eq\f（m,5）＋eq\f（2n,5）,eq\f(2m，5)＋eq\f(4n，5）），同理，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（y＝－2x,，y－n＝\f(1,2)（x－m)，)）得A（eq\f（m,5）－eq\f（2n，5），－eq\f(2m,5）＋eq\f（4n，5))，则eq\o(PB,\s\up6(→)）＝(－eq\f（4m,5）＋eq\f(2n,5)，eq\f（2m，5）－eq\f(n,5)),eq\o(PA,\s\up6(→）)＝（－eq\f（4m，5）－eq\f（2n,5),－eq\f(2m,5)－eq\f(n，5）），设eq\o(PA,\s\up6(→）)，eq\o(PB,\s\up6（→)）的夹角为θ,由图可知其恰为两条渐近线的夹角的补角，在y＝2x与y＝－2x上分别取两点(1,2),（1，－2)，则cosθ＝eq\f（1×1＋2×（－2），\r（12＋22)×\r（12＋（－2）2)）＝－eq\f（3，5），所以｜PA｜·|PB｜＝eq\f(\o（PA,\s\up6(→）)·\o（PB,\s\up6（→)），cosθ）＝eq\f（\f（3（4m2－n2），25）,cosθ)＝eq\f（－\f(12，25)，－\f（3，5)）＝eq\f(4,5）。7．(2017·乌鲁木齐诊断)已知双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为（eq\r（3)－1）a，则其离心率为（)A。eq\r（3) B．2C。eq\r（3）＋1 D．2eq\r（3）答案A解析本题考查双曲线的定义与几何性质．由双曲线的定义知，｜AF1｜－|AF2｜＝2a，所以Rt△AF1F2内切圆半径为eq\f(|AF2|＋｜F1F2｜－|AF1|,2）＝eq\f（2c－2a，2）＝c－a＝(eq\r（3)－1）a,即c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r（3），故选A.8．（2017·福州五校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0,b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合,且其离心率e＝eq\f(3，2），则该双曲线的方程为(）A。eq\f（x2,4）－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2，5）－eq\f（y2,4）＝1C.eq\f（y2,4）－eq\f（x2,5）＝1 D。eq\f(y2，5）－eq\f（x2，4）＝1答案A解析易知抛物线y2＝8x的焦点为（2，0)，所以双曲线的右顶点是(2,0），所以a＝2.又双曲线的离心率e＝eq\f（3,2），所以c＝3,b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4）－eq\f（y2，5）＝1，选A。9．(2017·南昌一模）如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB＝（）A。eq\f(\r(5)，10) B．－eq\f(\r(5),10）C。eq\f(9,10) D．－eq\f（9,10）答案D解析方法1：因为圆x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2,所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝eq\f（｜2×0－0＋1｜，\r（22＋（－1）2))＝eq\f(1，\r（5))，所以弦长｜AB|＝2eq\r（22－（\f(1，\r（5）））2）＝2eq\r(\f（19,5））.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(｜OA｜2＋|OB|2－｜AB｜2,2｜OA|·|OB｜)＝eq\f（4＋4－4×\f(19,5）,2×2×2）＝－eq\f(9,10）。方法2：取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，且∠AOB＝2∠AOD，又圆心到直线的距离d＝eq\f(｜2×0－0＋1|,\r（22＋（－1）2))＝eq\f(1，\r（5))，即｜OD｜＝eq\f（1,\r（5)),所以cos∠AOD＝eq\f（｜OD|，｜OA|）＝eq\f（1,2\r(5）），故cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝2×(eq\f（1，2\r(5)））2－1＝－eq\f(9,10)。10．（2017·兰州实战模拟）若直线l：ax＋by＋1＝0（a>0，b>0)把圆C:(x＋4）2＋（y＋1）2＝16分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线l的距离是()A．4 B．8eq\r（17)C．2 D。eq\f（8\r（17）,17）答案D解析∵圆C：(x＋4)2＋(y＋1）2＝16的圆心C（－4，－1)，直线l:ax＋by＋1＝0(a〉0，b〉0)把圆C分成面积相等的两部分，∴直线l过圆C的圆心．∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1。又1＝4a＋b≥2eq\r（4a×b)＝4eq\r（ab)⇒ab≤eq\f(1,16)(当且仅当a＝eq\f(1，8),b＝eq\f（1，2)时取“＝")，∴当ab取得最大值时，直线l的方程为eq\f(1,8)x＋eq\f(1,2)y＋1＝0，此时坐标原点到直线l的距离是eq\f（1,\r(（\f（1，8）)2＋（\f（1,2））2))＝eq\f(8\r（17）,17),故选D.11．(2017·杭州质检）设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点,设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若eq\f（｜AF｜,｜BF|）＝m，则cosα的值为(）A。eq\f(m－1，m＋1) B.eq\f（m，m＋1)C。eq\f（m－1,m) D.eq\f（2\r（m),m＋1)答案A解析本题考查直线与抛物线的位置关系。eq\f（|AF｜，｜BF|)＝m，当m＝1时，|AF｜＝｜BF｜,α＝eq\f（π,2),cosα＝0，排除B和D；当α≠eq\f（π，2)时，如图，分别过点A，B作AM，BN与准线l′：x＝－eq\f（p，2）垂直,垂足分别是M，N,过点B作BC⊥AM于点C,设｜BF｜＝n,则｜AF｜＝mn，在直角三角形ABC中,|AC｜＝mn－n，cosα＝eq\f（｜AC|,｜AB｜）＝eq\f(mn－n，mn＋n)＝eq\f（m－1,m＋1)，故选A。12．（2017·长沙二模）给出关于双曲线的三个命题:①双曲线eq\f（y2,9)－eq\f(x2,4）＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(2，3)x；②若点（2，3）在焦距为4的双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1上，则此双曲线的离心率e＝2；③若点F，B分别是双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析本题考查双曲线的几何性质．对于①，双曲线eq\f(y2,9）－eq\f（x2,4)＝1的渐近线方程是y＝±eq\f（3，2)x，①错误;对于②，2c＝4,c＝2，且eq\f（4，a2）－eq\f（9，b2）＝1，a2＋b2＝4,解得a＝1，则该双曲线的离心率e＝eq\f(c，a）＝2，②正确，对于③，F(±c，0），B(0，±b),FB的中点坐标(±eq\f（c,2)，±eq\f(b,2)）均不满足其渐近线方程y＝±eq\f（b,a）x，③正确，所以正确命题的个数是2,故选C。13．（2017·山西协作体）已知A1，A2分别为双曲线eq\f（x2,4)－eq\f(y2，9)＝1的左、右顶点，P为双曲线上第一象限内的点，直线l：x＝1与x轴交于点C，若直线PA1，PA2分别交直线l于B1，B2两点，且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为()A.eq\f(\r(3),3） B.eq\f(1,2)C。eq\f（\r（3),2） D。eq\f(1,3）答案B解析由已知,显然直线PA1的斜率存在，故可设直线PA1的方程为y＝k（x＋2）,由已知k>0，则由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2），,\f（x2,4)－\f（y2，9)＝1)）得(9－4k2)y2－36ky＝0，易知9－4k2≠0，因而P（eq\f(18＋8k2，9－4k2）,eq\f(36k,9－4k2）)，所以kPA2＝eq\f(9，4k)，则直线PA2的方程为y＝eq\f（9，4k)（x－2）,直线PA1,PA2与直线l分别交于B1（1，3k)，B2（1，－eq\f(9,4k）)，因而eq\f（1,2)×3×3k＝eq\f（1,2)×1×eq\f（9，4k)，得k＝eq\f（1,2)，故选B。14．(2017·太原二模)已知双曲线eq\f（x2,3)－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线y＝kx＋m与该抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2，2)是AB的中点,则△AOB（O为坐标原点）的面积是(）A．4eq\r(3） B．3eq\r(13）C.eq\r（14) D．2eq\r(3）答案D解析如图，记抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点为F,因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的坐标为（2,0)，所以F(2,0），所以抛物线的方程为y2＝8x.设A（x1，y1），B(x2，y2)，x1≠x2，则y12＝8x1，y22＝8x2，所以y22－y12＝8（x2－x1），所以k＝eq\f（y2－y1,x2－x1）＝eq\f（8,y2＋y1),因为M(2，2）为AB的中点，所以y1＋y2＝4，k＝2，所以直线AB的方程为y＝2x＋m,因为直线过点M（2,2)，所以m＝－2，所以直线AB的方程为y＝2x－2，其与x轴的交点为C(1,0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（y＝2x－2，,y2＝8x，））得y2－4y－8＝0，所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4，,y1y2＝－8，)）所以｜y1－y2|＝eq\r（（y1＋y2）2－4y1y2)＝4eq\r(3），所以△AOB的面积为eq\f(1，2)×1×｜y1－y2｜＝2eq\r（3)，故选D。二、填空题15．(2017·东北四市一模)已知抛物线ny2＝x(n>0）的准线与圆x2＋y2－8x－4y－5＝0相切，则n的值为________．答案eq\f(1，4）解析本题考查抛物线的几何性质、直线与圆的位置关系．由题意得y2＝eq\f（x，n），其准线方程为x＝－eq\f（1,4n）。圆的方程化为（x－4)2＋(y－2）2＝25，则有|4＋eq\f(1,4n)｜＝5，结合n>0，解得n＝eq\f(1,4）.16．(2017·成都诊断）如图,抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F,取线段OB的中点D，延长OA至点C，使｜OA｜＝|AC|,过点C,D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则｜EG|的最小值为________．答案4解析设A（x1，y1），B（x2，y2)，C（x3,y3),D(x4,y4），则｜EG|＝y4－y3＝eq\f(1，2)y2－2y1.因为AB为抛物线y2＝4x的焦点弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝eq\f(1，2）y2－2×(－eq\f（4,y2））＝eq\f(1,2）y2＋eq\f（8，y2）≥2eq\r（\f（1，2)y2×\f(8，y2））＝4，当且仅当eq\f(1,2)y2＝eq\f（8，y2)，即y2＝4时取等号,所以｜EG｜的最小值为4.17．（2017·课标全国Ⅱ,理)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|＝________．答案6解析方法1：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0）,准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M（a，b)(b>0），所以a＝1,b＝2eq\r（2），所以N（0，4eq\r（2）），｜FN|＝eq\r(4＋32）＝6.方法2：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1,所以|MF｜＝1－(－2）＝3,｜FN|＝2｜MF｜＝6。18．(2017·南昌一模)已知x2＋y2＝4,在这两个实数x，y之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________．答案eq\f（3\r（10）,2)解析设在这两个实数x，y之间插入三个实数后,这五个数为x，a1，a2,a3，y，因为这五个数构成等差数列,所以这个等差数列后三项和为a2＋a3＋y＝eq\f(x＋y，2）＋eq\f（\f(x＋y，2）＋y,2)＋y＝eq\f(3,4）（x＋3y）．方法1：由x2＋y2＝4，可设x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x＋3y＝2（cosθ＋3sinθ)≤2eq\r(12＋32）＝2eq\r（10），所以a2＋a3＋y＝eq\f(3，4)（x＋3y)≤eq\f（3，4)×2eq\r(10)＝eq\f(3\r（10）,2）.方法2:令z＝x＋3y，则当直线z＝x＋3y,即x＋3y－z＝0与圆相切时，z取得最大值与最小值．又x2＋y2＝4表示圆心为（0，0)，半径为2的圆，由圆心到直线的距离等于半径,得eq\f（｜z|,\r（12＋32）)＝2，得z＝±2eq\r(10），所以z的最大值为2eq\r（10)，所以（a2＋a3＋y)max＝eq\f（3,4）×2eq\r(10）＝eq\f(3\r（10),2).19．(2017·长沙二模）已知双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0,b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为eq\f(π,2）的直线l过F2且与双曲线交于M，N两点，且△F1MN是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±eq\r(2)x解析由题意知，F2（c,0)，c＝eq\r（a2＋b2)，设M（c,yM）,由eq\f(c2,a2)－eq\f(yM2,b2)＝1得yM2＝b2×(eq\f（c2，a2）－1）＝eq\f(b4,a2)，|yM｜＝eq\f(b2,a).因为△F1MN是等边三角形，所以2c＝eq\r(3）|yM|，即eq\f（2，\r(3））＝eq\f(b2，ac)＝eq\f（c2－a2,ac），即c2－a2－eq\f（2，\r(3))ac＝0，得eq\f(c,a）＝eq\r（3)，c2＝3a2，又a2＋b2＝c2,所以b2＝2a2，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a）x，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r（2）x。20．（2017·福州五校联考）已知直线l与椭圆eq\f（y2，a2)＋eq\f（x2,b2)＝1（a