2023年奥林匹克数学竞赛试题

奥林匹克数学竞赛试题(几何部分)ＭathemａtｉcsOlymｐiｃtｅst(geometricparｔ)已知在梯形ABCD中，AD∥ＢC,∠B=40°,∠C=50°,点E,F,M,N分别为四条边的中点,求证：BC=EF＋ＭN．【简朴】已知在平行四边形AＢCＤ中，对角线ＡC与BＤ相交于点O，P为平行四边形AＢCＤ外一点,且∠APＣ=∠BＰD＝9０°，求证：平行四边形ABCD为矩形.【简朴】3.已知在三角形ABC中,ＡB=AＣ,ＣD⊥AＢ于D，P为BC上一点，PＥ⊥AＢ于E,PＦ⊥ＡC于F.求证：PE+ＰＦ＝CD.【简朴】4.已知在等腰三角形ABC中,ＡB=AC，CＤ⊥ＡB，AH⊥FＨ,EF⊥ＡB，求证:EＦ＝ＣD+FH.【简朴】５.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形,连结AＤ，延长ＣE交AD与F,求证：ＣF⊥ＡD．【简朴】６.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AD交BＥ于F，连结CE交AB于Ｇ，连结ＦG，求证：FG∥CD.【简朴】７.已知三角形ＡBC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线,交AB于D，BC于E，AC于Ｆ,求证:PD+PE+PＦ=三角形的高.【简朴】8．已知三角形ABＣ为正三角形，AD为高,取三角形外一点P，向三边（或边的延长线)作垂线，交AＢ的延长线AE于M,交AC的延长线AF于N，交ＢC于Q，求证:PM+ＰN-ＰQ=AＤ.【中档】9.已知在矩形ＡＢCD中,对角线ＡC,BD相交于O，DE平分∠ADＣ交ＡC于F,若∠ＢDＥ=1５°,求∠ＣＯE的度数．【中档】10.已知三角形AＢC是直角三角形，∠BAC=90°,AD⊥BC,AE平分∠ＣＡＤ，ＢF平分∠ＡBC，交AD于G，交AE于H,连结ＥＧ,求证：EG∥AC.【中档】11．已知三角形ＡＢＣ和三角形ＢＤE都是正三角形,连结AE,CD,取AE的中点N，取CD的中点M,连结BM,BN,MＮ.求证：三角形BMN是等边三角形．【中档】12.已知在正方形ABCＤ中，作对角线AC的平行线ＥG,作BC=CH,连结BE,延长HG交BE于F，连结ＣF,求证：BＣ＝ＣF．【中档】１3.已知在直角梯形ABCD中,AD∥ＢC，AD=3，ＢＣ=5，将腰CＤ绕点D逆时针旋转90°至ＤE,连结AE，求三角形ADE的面积.【中档】１4.已知在任意四边形ABCＤ中，AＢ=CＤ,P,Q,R分别为AD,BＣ，BＤ的中点，∠ABＤ=25°，∠BDC=65°,求∠ＰQR的度数．【中档】15．已知在梯形ABＣＤ中，AＤ∥BC,Ｅ为AB的中点，求证：S三角形CＤE=S三角形ADE＋S三角形BCE.【较难】16．已知矩形ABＣD，在ＣD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取一点F，使得∠DAE=∠DＡF，ＡF和ＣD交于G,求证：S矩形ABＣD＝S三角形ＡEF.【较难】17.已知在等腰直角三角形ABＣ中,∠ＢAＣ=９０°，ＡD=ＡE,AＦ⊥BＥ交ＢC于F，过F作FG⊥ＣＤ交BＥ的延长线于Ｇ,求证：BG=AF+FＧ.【很难】【提醒：过C点作ＡC的垂线,延长AＦ,交垂线于Ｈ．】１8.已知在正九边形ABCＤEFGHI中,连结AＥ,AE＝１，求AH+AI的长．【很难】【提醒：延长ＡH使ＨK=HG,连结KG．】19.已知正方形ABCD内有一点P,且PB:ＰC:PＤ＝3：2：1,求证：∠CPＤ=135°．【超难】【提醒：过Ｃ作PC的垂线ＣＰ’,使CP=CＰ’.】２0.已知在任意四边形AB