2022年黑龙江省某中学高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年黑龙江省实验中学高考理科数学一模试卷

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.（5分）设集合A={x|-2<xW2,x€Z},8={用，忘1},则AAB=（）

A.{-1,1}B.[-1,1]C.{-L0,1}D.[-1,0]

2.（5分）复数z满足（-2-i）z=5（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.1B.-IC.iD.-z

3.（5分）命题“VlWxW2,x2-2aW0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.B.C.D.〃W4

4.（5分）数列{〃〃}满足ai+3a2+3?a3+…+3"-%〃=为（九WN*）,则ma2a3“〃io等于（）

A.（护B.1-（1）10C.1-（1）9D.（》66

5.（5分）“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体.如图，网格

纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某“堑堵”的三视图.则该“堑堵”的表面积

等于（）

A.10+2V13B.12+2V13C.16+2V13D.42

1+cosaa

6.（5分）已知点P（相，-3）为角a终边上一点，且一：-----tan—=2,则m=（）

sina2

A.2B.-2C.3D.-3

7.（5分）己知面=3,b=（-3,4）,若登在了上的投影为一主则曲一2&=（）

A.V151B.V2HC.V201D.7161

8.（5分）由曲线y=W+l,直线y=-x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）

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9.(5分)已知双曲线C：$*l(a,b〉0)的左、右焦点分别为Fi,F2,过F2的直线

与双曲线C的右支相交于P,。两点，若即2=3盛，若APQFi是以Q为顶角的等腰

三角形，则双曲线的离心率e=()

A.3B.2C.V2D.V3

10.(5分)设/(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x6R,都有f(x-2)=/(x+2),

且当-2,0]时，/(x)=(j)x-1.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-logo

(x+2)=0(a>l)恰有3个不同的实数根，则实数。的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,+8)D.(V4,2)

11.(5分)已知圆锥SO的顶点和底面圆周均在球。的球面上，且该圆锥的高为8.母线

&4=12,点8在SA上，且SB=284,则过点B的平面被该球。截得的截面面积的最小

值为()

A.27TTB.32nC.45TTD.81TT

12.(5分)已知/'(x)—alnx,g(x)=(a+2)x-x2,若存在e],使得/'(xo)

Wg(xo)成立，则实数。的取值范围是()

A.+8)B.

Le—27

C.[-1,+8)D.[0,+°°)

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.(5分)已知直线A：(a-2)x-3y+5=0和/2：3x-(4■1)y-7=0互相垂直，且”,

he.R+,则一+:的最小值为.

ab

14.(5分)已知抛物线C：/=2内(p>0)的焦点为F,准线/：x=-l,点M在抛物线C

上，点M在直线/：x=-l上的射影为A,且直线AF的斜率为一旧，则的面积

为.

15.(5分)在空间四边形ABCQ中，AD=2,BC=2遮,E,尸分别是AB,CD的中点，EF=

夕，则异面直线AQ与BC所成角的大小为.

16.(5分)过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点，若|AQ：iBF]=2：3,且直线倾

71

斜角为：，则椭圆的离心率______.

4

三、解答题(共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

第2页共18页

17.（10分）已知S”为数列｛珈｝的前〃项和,且m=l,Sn=an+i-2.

（1）求｛的｝的通项公式；

2na-n1

（2）若加=log2----n--，求数列匕f——｝的前〃项和刀1.

18.（12分）己知不等式|2%-3|+|2]+1|>必-1.

（1）当。=1时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为R,求。的取值范围.

19.（12分）已知函数/（x）=d5s讥（3%+0）+2sE2（”货与—i（3>o,0V*VTT）为偶函

71

数，且/（X）图象的相邻两对称轴间的距离为了

（I）求/（X）的解析式；

（II）将函数/（X）的图象向右平移B个单位长度，再把横坐标缩小为原来的;（纵坐标

不变），得到函数g（x）的图象，若g（x）-,”=0在[-若，勺上有两个不同的根，求

m的取值范围.

x2y2

20.（12分）已知椭圆C：―+^-=1（4Q0）的左、右焦点分别为乃，F2,左顶点为

A,上顶点为8,O为坐标原点，/防0=泉BA-BFj.=5.

（1）求C的方程；

（2）过为且斜率为4的直线/交C于M,N两点，若点尸2在以MN为直径的圆内，求

k的取值范围.

21.（12分）已知三棱柱A8C-481CI中，4C=AAi=4,BC=2,ZACB=90°,A\BLAC\.

（1）求证：平面44CC1_L平面48C；

（2）若/AiAC=60°,在线段AC上是否存在一点P使平面B4P和平面4ACC1所成

角的余弦值为f?若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

4

^1^------------------71cl

22.(12分)已知函数/(x)=Inx-1,mER.

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(1)已知函数/(元)在点(1,/(I))处与X轴相切，求实数团的值;

⑵在⑴的结论下，对于任意的。〈小，证明：F-

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2022年黑龙江省实验中学高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.(5分)设集合A={x|-2<xW2,x€Z},则ADB=()

A.{-1,1}B.[-1,IJC.{-1,0,1}D.I-1,0]

【解答】解：：A={x|-2<xW2,xeZ}={-1,0,1,2},B={x|，W1}={刃-1WxW

1).

；.4nB={-1,0,1).

故选：c.

2.(5分)复数z满足(-27)z=5(i为虚数单位)，则z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

【解答】解：•••复数z满足（-2-/）z=5（i为虚数单位）,

55(-2+i)

Az==-2+i,

^2^(-2-0(-2+0

・・・z的虚部为1,

故选：A.

3.（5分）命题“VlWxW2,r-2aW0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.B.C.a22D.

【解答】解：对于命题是真命题，

故2。2（/）mor恒成立；

故心2,

即A={a|a22}

所以命题“VKW2,7-方6”是真命题的一个必要不充分条件集合B满足AU8,

故对于选项中只有A满足条件；

故选：A.

[

4.(5分)数列{〃〃}满足m+3a2+3?43+…+3"an=^(n6/V*),则ma2a3…。10等于()

A.(1)55B.1-(1)10C.1-(1)9D.(护

2n,

【解答】解：•••数列他”}满足ai+3«2+3«+-+3an=^(n€N*),①

当〃》2时，ai+3a2+32a3+-+3,!2««-1=②

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①-②得：3"一&=：=〃"=苏，（〃22）,

由①得0=施合上式，

故"”=算，

.11

.•防。2“3"0=3I+2+.....+10=产,

故选:A.

5.（5分）“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体.如图，网格

纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某“堑堵”的三视图.则该“堑堵”的表面积

等于（）

A.10+2后B.12+2后C.16+2V13D.42

【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个直三棱柱，如图直三棱柱4BC-481。,

且AB=3,4C=2,/L4i=2,S.ABLAC,

所以上、下底面面积为:x3x2=3,

2

22

^ABB-IAI=3x2=6，S^cc1Al=2x2=4，SBCC,BI=2XA/2+3=2y/13,

所以该“堑堵”的表面积等于3+3+6+4+2/13=16+2旧，

故选：C.

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1+cosaa

6.(5分)已知点P(m,-3)为角a终边上一点，且一;----tan-=2,则m=()

sina2

A.2B.-2C.3D.-3

1+cosaa

【解答】解：点尸(相，-3)为角a终边上一点，且———-tan-=2,

sina2

〜1+cosa1-cosa

所以:一:=2,

sinasina

整理得tana=1,

BPtana=—m=1,

解得：m=-3.

故选：D.

7.(5分)己知|a|=3,b=(-3,4),若a在b上的投影为一本则|3a-2b尸()

A.V151B.V211C.V201D.7161

TTTT1

【解答】解：因为|a|=3,b=(-3,4),a在b上的投影为

所以挈=1

一,

3

TT

匚G、IJ7、a・b111

所以cos<a,b>=----=一aXq=­Q»

面闻

所以=|a|网cosVa,b>=3X5X（一2）=-葛

所以|3之-2b\=J（3a-2b）2=J9a2-12a-b+4b2=19X9-12X（一|）+4X25=

V201.

故选：c.

8.（5分）由曲线y=7+1,直线y=-x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）

7810

A.一B,一C.—D.3

333

【解答】解：如图，

由方程组忧上?解得口喉萨.

...在第一象限内，曲线y=7+l与直线y=-x+3交于（1,2）.

...所求围成的图形的面积

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S=(x2+l)dx+J；(-x+3)dx=(-x3+x)|Q+(3x—^x2)殍=/+1+3=孚

9.过Fi的直线

与双曲线C的右支相交于P,。两点，若P%2=3点?，若是以。为顶角的等腰

三角形，则双曲线的离心率e=()

A.3B.2C.V2D.V3

【解答】解：设|。尸2|=机，则|P尸2|=3m,

•••△PQF1是以Q为顶角的等腰三角形，

：.\QF\\=^m,

由IQFi|-|°F2|=2a,

3m=2a,

.2

..m=

又|户为|=2〃+3,"=4〃，

22222

^a+-a-4c^ax2-16at

在△PF1F2和△QF1F2中，利用余弦定理可得"2-J—=--§~§—=一二

2x-ax-a2x-ax-a8

3333

/.c—y/2a.

/.e=—=V2.

a

故选：C.

10.(5分)设/(x)是定义在R上的偶函数，对任意的在R,都有/(x-2)=f(i+2),

且当工4-2,0］时，/(%)=(}"一1.若在区间(-2,6］内关于x的方程f(x)-logfl

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（x+2）=0（〃>1）恰有3个不同的实数根，则实数〃的取值范围是（)

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,+8)D.(V4,2)

【解答】解：V/(%-2)=f(x+2),：.f(x)=/(x+4),

：.f(x)周期为4,

:关于x的方程/（x）-log”（x+2）=0（«>1）恰有3个不同的实数根，

；.y=/（x）与y=log”（x+2）（a>l）的函数图象在（-2,6]上有3个交点,

：.[l°9a4<3,解得:V4<a<2,

（loga8>3

故选：D.

11.（5分）已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球。的球面上，且该圆锥的高为8.母线

&4=12,点8在SA上，且SB=2BA,则过点B的平面被该球。截得的截面面积的最小

值为（）

A.27ITB.32nC.457TD.81n

【解答】解：如图所示：

2

设球的球心为。，半径为R,则S0i=8,OA=R,A01=y/SA-SO^=4V5,

所以。小=001+aoj,即R2=（R_8）2+（4通）2,解得R=9,

取SA的中点M则BN=2,

所以ON=>JR2-AN2=3V5,OB=y]0N2+BN2=7,

设点C为截面圆周上一点，

若截面面积最小，则。8,截面，此时截面圆半径为r=V/?2-OB2=4V2,

所以截面面积的最小值为Ttr2=32n.

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故选：B.

S

12.(5分)已知/(x)=alnx,g(x)=(〃+2)x-/,若存在式。€心，e],使得/(xo)

Wg(xo)成立，则实数。的取值范围是()

A「〃一2el—2e、

A.+8)B,[;-^2，+oo)

C.[-1,+8)D.[0,+8)

【解答】解：(xo)Wg(xo),

/.alnxQ<(a+2)x0—x§,EP(x0—Znx0)a>XQ—2x0,

设F(x)=x-Inx,

求导/(x)=?

当OVxVl时，F(x)<0,F(x)单调递减，当x>l时，F(x)>0,F(x)单调递

增,

：.F(x)2尸(1)=l>0,

：'a-耒急'记G⑴=皆焉1

工€［万,可，

.(x_(2x—2)(x—/nx)—(%—2)(x-1)_(x—l)(x-2/nx+2)

(%—Znx)(x—lnx)

Vxe[i1,e],

A2-21nx=2(1-Inx)20,

Ax-2/nx+2>0,

...当1］时，G'(x)WO,G(x)单调递减,

当x6［l,e］时，G(x)>0,G(x)单调递增，

G(X)min—G(1)--1,

二实数4的取值范围为L1,+8).

故选：c.

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

第10页共18页

13.(5分)已知直线人：(a-2)x-3y+5=0和/2：3x-(b+1)y-7=0互相垂直，且a,

b€R+,则一+二的最小值为3+2a.

ab---------

【解答】解：•直线A：(a-2)x-3y+5=0和/2：3x-(b+1)y-7=0互相垂直，

A3(a-2)+3(6+1)=0="+%=1,

'：a,〃为正数，

-=(-+-)(a+b)=3+劲+[=3+2隹.1=3+2夜,

abababyjab

当且仅当寸，等号成立，

21

可得一+7•的最小值为：3+2或，

ab

故答案为：3+2V2.

14.(5分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为凡准线/：x=-l,点M在抛物线C

上，点例在直线/：x=-l上的射影为A,且直线A尸的斜率为-g,则△MA尸的面积

为_4遮

【解答】解：令准线/与x轴交于点N,如图所示，

•.•准线/：x=-\,

：.\FN\=2,

:直线AF的斜率为一百，

二/4尸N=60°,\AF]=4,

；抛物线的定义可得，=

...△AMF是边长为4的等边三角形，

♦:SAM4F=x4x4x=4v5.

故答案为：4V3.

15.(5分)在空间四边形A8C。中，AD=2,BC=26,E,尸分别是4B,C。的中点，EF=

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V7,则异面直线4。与8c所成角的大小为30°.

【解答】解：取AC中点。，连接EO,FO,

•.,在空间四边形ABC。中，＞40=2,BC=2®E,/分别是48,C。的中点，EF=诟,

：.E0//BC,FO//AD,《0=抽=遮，F0=1AZ）=1,

.../EOF是异面直线A。与BC所成角（或所成角的补角），

：.ZEOF=\50°,

.,.异面直线A£＞与BC所成角的大小为30°.

故答案为：30°.

16.（5分）过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点,若|AQ：|BF|=2：3,且直线倾

斜角为则椭圆的离心率—.

【解答】解：作准线与x轴交点为M,过A,B准线的垂线，垂足分别为C、D,过A作

AHLBD,垂足为H,交x轴于E,

设|AB|=5f,因为|Afl：|B尸|=2：3,则|AQ=2f,\BF]=3t,

因为AB倾斜角为3，所以484=泉则|防=¥依8|=竽匕

所以e=*

故答案为：

第12页共18页

y

三、解答题(共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知S,为数列｛a“｝的前"项和，且m=l,S〃=a〃+i-2.

(1)求｛珈｝的通项公式；

2na4-i1

(2)若d=10g2—n—,求数列｛不4—｝的前八项和加

3。必+1

【解答】解：(1)-2,.•.当"22时，Sn-i^an-2,

•»Sn〜Sn-1=a〃+i-2-(如-2)即a〃=a〃+i-••a〃+i=2。〃，

=S1=。2-2.且m=1,・'・〃2=3,・'・〃2=3。1,

・••对任意〃EN*且时，都有如+1=2板，V^2=3,・・・。“¥0,

・・・色色=2,・,•数歹从第二项起是以3为首项，2为公比的等比数列,

而

:.{〃〃}的通项公式为an—，;

13,2n-z/n>2

nnn-1

2an+12-3-2111

(2),/bn=lo6g2-------=log62---------=2〃-1,/.------=-------------=-

33bnbn+1(2n-l)(2n+l)2

11

(一)

2n-l2n+l

1illiI

Tn-5(1—亍+亍―己+。+Q---z--Q-7-r)

23352n—12n+l

=2(1-而)=2^+1-

故数歹屿上｝的前〃项和标2nTl-

18.(12分)已知不等式|2x-3|+|2x+l|>or-1.

(1)当。=1时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为R,求“的取值范围.

【解答】解：(1)令/(x)=|2x-3|+|2x+l|,

第13页共18页

f1

—4x+2,x<—j

13

则f(x)=<4,-<x<2

3

4x—2,xNq

当0=1时，不等式为|2x-3|+|2x+l|>x-1,

当工工一^时，不等式为-4x+2>x-1,解得工〈,，所以工工一*;

当—aVxV^时，不等式为4>x-1,解得x<5,所以—2Vx〈方;

当％N9时，不等式为4x-2>x-1,解得x>g,所以％之|.

综上所述，不等式的解集为R；

-4x+2,x<—2

4,-1<x<|的图象如图所示,

{4x-2,%>|

因为不等式的解集为R，

所以-4WQV4；（T）,即一4wav学，

2-03

故实数。的取值范围为［—4,学）.

19.（12分）已知函数/（x）=>/5si?i（3x+0）+2siM（色斗上）一1（3>0,OV9V兀）为偶函

第14页共18页

n

数，且/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为引

(I)求/(X)的解析式；

(II)将函数/(X)的图象向右平移2个单位长度，再把横坐标缩小为原来的;(纵坐标

不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)-m=o在［一金，刍上有两个不同的根，求

m的取值范围.

【解答】解：(I)♦函数f(x)=V3sin(ow+<p)+2sin2(笺巧一I

=V3sin((Dx+(p)-cos(a)x+(p)=2sin(a)x+(p—5)为偶函数，

・，・(p—曰=kn+ZEZ,

令人=0,可得(p=等，(x)=2sin(a)x4-^)=2cosa)x.

12,7171

*.*/(x)图象的相邻两对称轴间的距离为；x—=―,/.u)=2,A/(x)=2cos2x.

2CL)2

(II)将函数f(x)的图象向右平移三个单位长度，可得y=2cos(2%-金的图象：

再把横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2cos(4X-5)的图象，

若g(x)-租=0在［一各勺上有两个不同的根，

则cos(4x-J)=夕在［一各刍上有两个不同的根，

即函数产cos(4x-J)的图象和直线产?在［一办自上有两个不同的交点.

TT27r亢7T7T1

V4x—­彳'cos(―2)=cos-=cosO=L

1m

<—VI,求得lWmV2,

22

故机的取值范围为［1,2).

%2y2

20.(12分)已知椭圆C：—4-rj=1Ca>b>0)的左、右焦点分别为人，尸2,左顶点为

a12b2

A,上顶点为8,0为坐标原点，ABF\O=J,BA-BF.,=5.

(1)求C的方程；

(2)过F1且斜率为女的直线/交C于M,N两点，若点尸2在以MN为直径的圆内，求

%的取值范围.

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%?y2br~~

【解答】解：⑴椭圆C：—+—=1(a>^>0),NB尸10=乳.一=0①，

a"b"3c

B(0,b),A(-a,0),BA=(-a,-b),丽=(-c,-b),BA-BF^=5=ac+b2

②，

a1—b2+c2®,联立①②③可得到»=4,廿=3,02=1,

X2V2

椭圆方程为：一+工-=1；

43

(2)由已知可得直线/的斜率存在为上

直线/的方程为y=&(x+1),

由可得(3+4%)2/+8底什4必-12=0,

设M(xi,yi),N(x2,)2),

且A>0恒成立，

由点尸2在以MN为直径的圆内,

则/MF2N>90°,即有F/TF/VO,

则(%i-1,yi)•(%2-1,y2)<0,即Cxi-1)(A2-1)+yi”<0,

所以(xi-1)(X2-1)+%(xi+1)k(X2+1)<0,

整理可得(F+l)XU2+(必-1)(X1+JC2)+斤+1<0,

…、4fc2-1228k2

则(必+1)-------(k-1)-----7+k+1<0,

3+4/c2''3+4/c2

整理可得7必<9,一誓VkV斗,

故k的取值范围是(一早，子).

21.(12分)已知三棱柱ABC-4B1C1中，AC=AA\=4,BC=2,ZACB=90°,A\BLAC\.

(1)求证：平面AiACCi_L平面ABC；

(2)若/AiAC=60°,在线段AC上是否存在一点尸使平面B4P和平面A1ACC1所成

角的余弦值为遗？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

4

B

第16页共18页

【解答】(1)证明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，四边形AiACCi是平行四边形,

而AC=A4i,则平行四边形A1ACC1是菱形，连接4C,如图，

则有A1C_LA。，SA1BIAC1,AIBAAIC=AI,A\B,AiCu平面AiBC,

于是得AC,平面AiBC,

而BCu平面AiBC,贝ij4cl_LBC,由NACB=90°,

得AC_LB