高考数学总复习函数与方程-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章第课时函数与方程-A3演示文稿设计与制作第9课时函数与方程第9课时函数与方程考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_______成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有_____．f(x)＝0x轴零点思考感悟1．是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得______，这个__也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c思考感悟2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_____,____(x1,0)或(x2,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)(x2,0)3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点考点探究·挑战高考函数零点的求解与判断考点一考点突破判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．例1【思路分析】借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．互动探究1

若例1中x的范围改为R，试回答原来问题．二分法求方程的近似解考点二用二分法求函数零点近似值的步骤，可借助于计算器一步步地求解，也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间，而运算终止的条件是区间长度小于精确度ε.例2

用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.1)【思路分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．【解】由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点．取区间(1，1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：中点的值中点函数值符号零点所在区间区间长度(1,1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.【方法指导】求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度ε，当区间长度小于精确度ε时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．函数零点的综合应用考点三函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，函数与方程的思想是中学数学的基本思想．例3(2011年江门质检)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．【思路分析】可把函数转化为方程，其方程的两根满足x1<1，x2>1，利用(x1－1)(x2－1)<0求解；也可利用图象求解．【解】法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.法二：函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.【方法指导】此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，从而求解．互动探究2若例3中函数不变，后面的内容改为：一个零点在0与1之间，另一个零点在1与2之间，求实数a的范围，应如何求解？解：函数图象大致如图：方法感悟方法技巧1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的任一点均是这个函数零点的近似值．失误防范1．把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(3)一般我们只讨论函数的实数零点．(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)内存在零点．事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的广东高考试题来看，函数的零点、方程根的问题是高考的热点，特别新课改的省份更是新点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质；主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．预测2012年广东高考仍将以函数的零点、方程根的存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图象与性质．真题透析例(2010年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【解析】

∵f′(x)＝2xln2＋3>0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，∴f(－1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．【答案】B【名师点评】本题考查零点所在区间的判断，其方法是利用零点存在性定理，试题难度不大，本题f(x)变为ex＋x－2时，零点所在区间是哪个?名师预测1．(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(

)A．①②

B．①③C．①④D．③④答案：B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为(

)A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定答案：A3．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是(

)A．0B．1C．0和1D．(0,0)和(1,0)答案：C4．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝________.答案：10感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一